тестом Чоу состоит в том, что нужно построить только одно, а не три уравнения тренда.

Отметим в заключение, что тест Чоу, а также модель с фиктивными переменными, может использоваться при проверке гипотез о структурной стабильности и в более сложных моделях взаимосвязи двух и более временных рядов.

1.8. Сезонная декомпозиция временного ряда

Это один из наиболее простых методов анализа временных рядов и прогнозирования на их основе будущих значений изучаемого процесса, если считать, что на формирование значений показателей временного ряда оказывают влияние три выше рассмотренных фактора – случайная, трендовая и сезонная компоненты. От случайной компоненты обычно избавляются путём усреднения, трендовую компоненту можно выделить, например, используя МНК, как в предыдущем пункте, а случайная компонента нужна для проверки адекватности модели, о чём речь ниже.

Для прогнозирования временного ряда, включающего все три компоненты, необходимо определить, каким образом они сочетаются при формировании значений элементов временного ряда – мультипликативно или аддитивно.

Считается, что если вклад сезонной компоненты остаётся на постоянном уровне для всего рассматриваемого периода времени, то желательно использовать аддитивное представление, а если по мере движения по времени амплитуда сезонной компоненты изменяется, то рекомендуется использовать мультипликативную модель временного ряда, хотя возможны и другие критерии.

В моделях с аддитивным и с мультипликативным представлением компонент элементов временного ряда общая процедура анализа в принципе одинакова. Обычно она состоит в установлении и исключении воздействия на величину элементов временного ряда каждой компоненты по отдельности. Этот процесс называется разложением или сезонной декомпозицией временного ряда.

Рассмотрим кратко эту процедуру для мультипликативной модели.

На первом шаге избавляемся от сезонной компоненты на основе усреднения простыми скользящими средними. Причём интервал усреднения берётся равным длине сезонности. Поскольку длина сезонности, как правило,

23

величина чётная (4 – если поквартальные данные и 12 – если помесячные), то усреднение проводится на основе вычисления хронологической или центрированной скользящей средней.

В результате получаем трендовую составляющую (Tt) в виде совокупности точек. Разделив исходные данные на трендовую компоненту, получим сезонно-случайную компоненту (если исходная модель имеет вид: yt = Tt St It, то получаем – yt/Tt = St It).

Усреднив случайную компоненту (вычисляя среднюю арифметическую уровней элементов полученного ряда по соответствующим периодам), получим в чистом виде сезонную компоненту или индекс сезонности (St). Он показывает, во сколько раз в среднем уровни ряда в соответствующем сезоне отличаются от аналогичных уровней по полученному в предыдущем шаге тренду.

Вычислив индекс сезонности, делим на него уровни исходного ряда и получаем данные, исправленные на сезонность (yt/St) = Tt It.

И уже по этим данным путём аналитического выравнивания методом наименьших квадратов подбираем адекватную модель тренда как функцию от времени (Tt =f(t)).

Прогноз по этому методу осуществляется на основе тренда с поправкой на сезонность (ft = Tt St).

Для аддитивной модели все рассмотренные процедуры аналогичны, только вместо деления надо брать вычитание, а вместо умножения – суммирование.

Рассмотрим реализацию этого метода на примере мультипликативного представления модели временного ряда. Пусть имеются данные, показывающие продажу учебников (в тыс. шт.) за последние три года поквартально (таблица 1.1).

Таблица 1.1 – Поквартальные данные продажи учебников

Анализ начнём с геометрического представления исходных данных.

24

Таблица 1.2 – Расчет прогноза с учетом сезонной компоненты

1.9.Полиномиальные модели экспоненциально взвешенных средних

Вэтом направлении разработан целый комплекс моделей. Кратко рассмотрим несколько из них. Здесь предполагается, что анализируемые ряды нестационарны и имеют линейный или квадратичный тренды.

Хольта линейное экспоненциальное сглаживание предполагает, что среднее прогнозируемого показателя yt изменяется линейно по времени:

yt = μt + λt t + εt,

где μt – среднее процесса, λt – его скорость (меняются во времени), а εt – случайная ошибка. При этом оценка λt осуществляется по показателю роста bt, который вычисляется как экспоненциально взвешенное среднее разности между текущими экспоненциально взвешенными средними значениями элементов временного ряда ut и их предыдущими значениями ut-1 и предыдущим значением bt-1. В свою очередь, текущее значение экспоненциально взвешенного среднего ut включает в себя значение прошлого показателя роста bt-1, адаптируясь таким образом к предыдущему значению линейного тренда.

Уравнения метода Хольта:

ut = αyt +(1-α)(ut-1 + bt-1) и bt = β(ut - ut-1) + (1 – β)bt-1,

где α и β – параметры сглаживания.

Если τ – горизонт прогнозирования, то прогноз на τ моментов времени по модели Холта вычисляется по формуле

ft+τ = ut + bt τ.

Здесь ut – оценка среднего текущего значения, bt – ожидаемый показатель изменения.

Значения α и β подбираются по минимальной ошибке прогноза. Параметр α предназначен для сглаживания оценки постоянного уровня элементов временного ряда, β – для оценки тренда.

27

Брауна линейное экспоненциальное сглаживание предполагает, что прогноз на τ моментов времени вычисляется по формуле

Брауна квадратичное экспоненциальное сглаживание предполагает,

что прогноз на τ моментов времени вычисляется по формуле

ft+τ = а0 + а1 τ + а2 τ2,

причём параметры а0, а1 и а2 выбираются так, чтобы на любой момент времени i взвешенная сумма квадратов отклонений между наблюдаемыми и ожидаемыми значениями обращалась в минимум:

i ( yt i ft i )2 = min.

Параметр γ в методе Брауна аналогичен параметру (1-α) в методе Хольта (показатель дисконтирования наблюдений) и задаётся из априорных соображений, в том числе и из условия минимизации указанной суммы.

Модель Винтера с сезонной компонентой. Эта модель, как и модели Хольта и Брауна, основывается на экспоненциально взвешенных средних. Оценке здесь подлежат отдельно каждая из составляющих ряда: стационарная, трендовая (в виде линейного тренда) и сезонная. Для каждой такой оценки вводятся свои параметры сглаживания: α, β и γ. При компьютерных расчётах они определяются в автоматическом режиме по минимальной ошибке прогноза. При этом прогноз на τ периодов времени строится по линейному тренду с учётом сезонности St+τ:

ft+τ = (ut + btτ) St-s+τ.

При этом оценки ut и bt оцениваются аналогично, как и в модели Хольта (с учётом сезонности):

ut = α(yt/St) +(1-α)(ut-1 + bt-1) и bt = β(ut - ut-1) + (1 – β)bt-1,

а для оценки сезонной составляющей используется

St = γ(yt/ut) + (1- γ)St-s+ τ.

Здесь s – длина сезонности.

Двойное экспоненциальное сглаживание предполагает экспоненциаль-

но сгладить простую экспоненциально сглаженную:

где ST – простая экспоненциально сглаженная;

28

DT – двойная экспоненциально сглаженная.

Прогноз по этой модели осуществляется по соотношению

1 (ST DT ) .

Взаключение отметим, что здесь были приведены только простейшие адаптивные методы моделирования нестационарных временных рядов, на основе которых можно анализировать и прогнозировать тенденции уровней временных рядов (в том числе и с учётом сезонности).

При выборе той или иной модели при работе с конкретным временным рядом можно пользоваться различными критериями. Один из них – минимальная ошибка прогноза.

Впрограмме Statgraphics имеется процедура, позволяющая выбрать среди нескольких моделей лучшую по одной из таких ошибок. На рисунке 1.19 приведён пример использования такой процедуры.

Рисунок 1.19 – Отчёт о расчёте моделей с использованием ошибок прогноза

Как видно из этого рисунка, имеется пять моделей, и если среди них надо выбрать лучшую, ориентируясь на ошибку, то можно предпочесть модель (А) – линейный тренд, хотя у модели (В) средняя процентная ошибка (МРЕ) меньше.

29

В EViews результат расчёта по модели Хольта приведены на рисунке 1.20. Здесь исходная информация несколько отличается от предыдущего примера. Так, наравне с вычисленными значениями коэффициентов α и β приведены прогнозные значения ut и bt.

Рисунок 1.20 – Окно отчёта для модели Хольта из EViews

1.10. Моделирование стационарных временных рядов

Большое внимание в эконометрических исследованиях уделяется моделированию стационарных временных рядов. Это объявляется тем, что многие временные ряды могут быть приведены к стационарному виду после операции выделения тренда, удаления сезонной компоненты или взятия разности. К тому же ряды ошибок статистических моделей, как правило, являются стационарными.

Среди моделей стационарных временных рядов наиболее распространены модели авторегрессии и модели скользящего среднего.

Рассмотрим наиболее простые из них.

1.10.1. Процессы белого шума и случайного блуждания

Процессом белого шума называют стационарный временной ряд, для которого математическое ожидание равно нулю, дисперсия постоянна и не зависит от времени, и коэффициенты автокорреляции любого порядка равны нулю. Последнее означает, что речь идёт о чисто случайном стационарном процессе без какой-либо автокорреляции. Процессом авторегрессии в простейшей форме (авторегрессия первого порядка или AR(1)-процесс без константы) называется процесс, описываемый следующим уравнением:

30