Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5596

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

а можно заменить

ln x

t, x

et , dx d et

et dt ,

а также

x 6

e 6t , и

тогда

ln x

ln xdx

e 6t tet dt

te 5t dt .

Этот интеграл также известен:

e 5t

te 5t dt

e 5t t

e 5t dt

e 5t t

C .

dV e 5t dt

e 5t

Но t

ln x , а e 5ln x eln x 5

x 5 , и ответ совпадёт с полученным выше.

Пример 7. Найдём интеграл

xdx

вначале непосредственно по частям, а

cos2

затем – также по частям, но после предварительной замены.

1-й способ. Пусть x

U , тогда dV

, dU

dx , V

tg x , и

cos2 x

xdx

sin x

cos x

C .

x tg x

tg xdx

x tg x

cos x

cos2 x

cos x

2-й способ. Заметим, что

tg x ,

и обозначим tg x

t . Тогда x

arctg t

cos2

и, с учётом этого,

xdx

xd tg x

arctgtdt .

cos2 x

Взяв arctg t

U , получаем, что dV

dt , а также dU

d arctg t

и V

t .

t 2

По формуле интегрирования по частям

arctg tdt

t arctg t

tdt

t arctg t

d t2

t arctg t

ln t2

C .

Но t 2

1 tg2 x

и по свойствам логарифма

cos x

cos2 x

поэтому ответы одинаковы.

ЗС3. Найдите интегралы непосредственно по частям, а затем по частям, но предварительно заменив переменную:

x ln xdx;

x2 ln xdx;

x3 ln xdx;

ln x

dx;

ln x

dx; x ln 2xdx;

ln 4x

dx ;

arcsin tdt;

arccostdt;

arcsin 2tdt;

arctg tdt; arctg 4tdt;

arc ctg

dt .

§ 7. Интегрирование дробно-рациональных функций

Рациональная дробь		Pn	x	– это отношение двух полиномов (многочленов)
		Qm	x
P x a	a x a		x2	a	n	xn	и Q x b b x b xm .
n	0 1	2					m	0 1	m
Дробь правильная, если n				m . Если n			m , дробь неправильная, и её можно

представить как сумму некоторого полинома и правильной дроби. Например,

Элементарными называют дроби 4 видов:

;

II)

;

III)

; IV)

x b

b k

x2 px

q k

где k 1 – целое число, и

0 (иначе дробь 3-го вида распадается на сум-

му двух дробей 1-го вида).

Элементарность означает, что дробь невозможно разложить на сумму более простых рациональных дробей. Неэлементарную, но правильную дробь всегда можно разложить на сумму элементарных:

6 2x

;

6x2 17x 17

4x 5

, и т.п.

x2 1

x 1 x 1

x 3 x2 1

x 3 x2

Итак,

–любая дробь – или правильная, или неправильная;

–неправильная дробь равна сумме полинома и правильной;

–правильная дробь равна сумме элементарных дробей.

Интегралы от элементарных дробей находят по стандартным схемам:

C ;

Aln

x b

;

k 1

заменой x

t приводит к сумме первообразных вида

ln x2

и arctg

с некоторыми коэффициентами.

Дробь 4-го типа интегрируется, но сложно, и здесь не рассматривается.

Далее показано, как разложить дробь в простых случаях. За основу взят метод «вычёркивания». Общая схема разложения и универсальный метод неопределённых коэффициентов довольно громоздки, их можно найти в литературе (и также в конце § 7). При решении применяют любой способ поиска неопределённых коэффициентов – или более понятный, или более короткий.

ИД1. В заданиях 1 – 6 найдите числа A, B, C в разложении дроби	mx2	nx p
	Q3	x

на сумму элементарных, в зависимости от вида Q3 xи от значений m, n, p, а за-

тем проинтегрируйте полученную сумму:

1)	mx 2 nx p		A		B		C		;
1)	x 2 x 4 x 3		x 2 x 4 x 3						;

а) m = 0, n = 0, p = 1; г) m = 0, n = 2, p = –3; ж) m = 1, n = 1, p = –1; к) m = 1, n = 2, p = 0;

2)	mx 2	nx	p	A	B
	x x	2 x	2	x	x 2

б) m = 0, n = 1, p = 0; д) m = 3, n = 0, p = –2; з) m = 0, n = 2, p = –8;

л) m = 1, n = –1, p = –12;

x C 2 ;

в) m = 1, n = 0, p = 0; е) m = –1, n = 3, p = 0; и) m = 1, n = 0, p = –9;

а) m = 0, n = 0, p = 1; г) m = 0, n = 0, p = 5; ж) m = 0, n = 5, p = –3; к) m = 0, n = 8, p = –24;

б) m = 0, n = 1, p = 0; д) m = 1, n = –2, p = 0; з) m = 1, n = 2, p = –3; л) m = 3, n = 0, p = –4;

в) m = 1, n = 0, p = 0; е) m = 1, n = 0, p = 4; и) m = –1, n = 0, p = 1;

3)	mx 2	nx	p	A	B	C	;
	x2	x	1	x	x2	x 1

	а) m = 0, n = 0, p = 1;				б) m = 0, n = 1, p = 0;
	г) m = 1, n = 0, p = –1;				д) m = 1, n = –1, p = 0;
	ж) m = 0, n = 2, p = 5;				з) m = 1, n = –2, p = 3;
	к) m = 0, n = –7, p = 6;				л) m = 6, n = 0, p = –7;
4)	mx2	nx p	A	B		C	;
	x 3	2 x 2	x 3 x 3 2			x 2

	а) m = 0, n = 0, p = 1;				б) m = 0, n = 1, p = 0;
	г) m = 0, n = 2, p = 3;				д) m = 0, n = 3, p = 2;
	ж) m = –1, n = 5, p = 0;				з) m = 1, n = 2, p = 0;
	к) m = 2, n = 3, p = 0;				л) m = 0, n = 25, p = 10;

в) m = 1, n = 0, p = 0; е) m = 3, n = –10, p = 0; и) m = –1, n = 0, p = 2;

в) m = 1, n = 0, p = 0; е) m = 2, n = –3, p = 4; и) m = 1, n = 0, p = –9;

5)	mx 2	nx	p	Ax	B	C	;
	x2	6 x	2	x2	6	x 2

	а) m = 0, n = 0, p = 1;					б) m = 0, n = 1, p = 0;
	г) m = 0, n = 4, p = 5;					д) m = 4, n = 0, p = 5;
	ж) m = 1, n = 0, p = –4;					з) m = –1, n = 2, p = 0;
	к) m = 3, n = 0, p = –1;					л) m = 1, n = 3, p = 0;

6)	mx 2	nx	p	Ax	B
	x2	9 x	4	x2	9

а) m = 0, n = 0, p = 1; г) m = 1, n = 0, p = –1; ж) m = 1, n = 1, p = 0; к) m = 1, n = 4, p = 0;

x C 4 ;

б) m = 0, n = 1, p = 0; д) m = 0, n = 1, p = 1; з) m = 3, n = 0, p = 2; л) m = 1, n = –4, p = 0.

в) m = 1, n = 0, p = 0; е) m = 2, n = 3, p = 0; и) m = 0, n = 3, p = –1;

в) m = 1, n = 0, p = 0; е) m = 0, n = 1, p = –1; и) m = 1, n = 0, p = –16;

Пример 1. Пусть для дроби

mx 2

указаны параметры m = 3, n = 0

и p = –5. Тем самым дана дробь

3x2

, или

x 2 x

4 x 3

Когда все множители в знаменателе – линейные скобки, дробь раскладывается так, как указано в заданиях 1 и 2:

3x	2 5	A	B	C
					.
x 2 x	4 x 3	x 2	x 4	x 3	.

Задача – подобрать коэффициенты A, B, C , чтобы равенство выполнялось при любом значении x (при котором знаменатель не обращается в 0).

Это можно сделать методом «вычёркивания», для чего

корень знаменателя, соответствующего очередному коэффициенту,

подставляем в первоначальную дробь, из которой этот знаменатель вычеркнут.

Таким образом,

A		3x 2		5		в точке	x	2 , т.е. A	3		2 2	5					7		;
A	x	4	x		3	в точке	x	2 , т.е. A	2	4		2	3		6				;
	x	4	x		3				2	4		2	3		6
B		3x2		5		в точке	x	4 , т.е. B	3 42		5			43	;
B	x	2	x		3	в точке	x	4 , т.е. B	4	2	4	3	42		;
	x	2	x		3				4	2	4	3	42
C		3x2		5		в точке	x	3 , т.е. C	3		3 2	5				22		.
C	x	2	x		4	в точке	x	3 , т.е. C	3	2		3	4		7			.
	x	2	x		4				3	2		3	4		7

Поместим A, B, C не в числителях, а перед дробями:

														3x2						5												7							1						43							1			22								1						.
									x 2 x 4 x 3																								6					x 2							42			x 4									7			x 3									.
Значит,											3x2				5									dx								7							dx						43							dx						22							dx					.
Значит,																								dx																																														.
							x 2 x 4 x 3																									6 x 2 42 x 4 7 x 3
Все интегралы – простейшие и находятся по таблице, поэтому
										3x2					5								dx							7				ln			x		2						43	ln				x		4						22	ln				x						3				C .
										3x2					5															7															43													22
					x				2		x				4			x		3										6															42													7
					x				2		x				4			x		3										6															42													7
Ответ:		а)								3x2					5														7						1							43				1								22				1				;
Ответ:		а)				x			2			x			4			x		3							6				x						2		42						x 4										7			x	3			;
													3x		2			5																	7										43													22
		б)											3x					5							dx										7		ln		x 2						43					ln			x 4					22					ln					x 3						C .

								x		2 x					4					x		3								2					6										42														7
								x		2 x					4					x		3													6										42														7
Пример 2. Пусть для дроби																											mx									nx					p			указаны m = 2, n = –5, p = 1 и тем

																										x x								5 x					1
																										x x								5 x					1
самым дана дробь													2x 2						5x 1						. Все множители – линейные скобки, поэтому
самым дана дробь													x x					5			x	1			. Все множители – линейные скобки, поэтому
													x x					5			x	1
																					2x2 5x									1									A						B							C				.
																																																								.
																				x x		5						x		1									x					x	5						x				1
Корни знаменателей: xA																						0,					xB								5,				xC					1 . По аналогии с примером 1:
	A		2x2						5x 1								в точке xA													0											A				2 02							5 0 1											1					;
	A		x		5					x	1						в точке xA													0											A				0					5		0			1									5				;
			x		5					x	1																																		0					5		0			1									5
	B		2x2						5x 1							в точке xB														5											B				2					5 2					5				5 1 76 38																;
					x x				1
																																																				5			5			1														30 15
																																																				5			5			1														30 15
	C		2x2						5x		1					в точке xC											1												C				2 12							5 1 1									2												1	.
	C				x x				5							в точке xC											1												C						1		1					5									6											.
					x x				5																																				1		1					5									6								3
Итак,	2x2				5x 1												1 1 38 1																				1 1								, и соответственно
Итак,	x x	5					x		1								5		x			15					x			5							3			x			1		, и соответственно
													2x2						5x			1			dx											1			dx						38					dx					1				dx								.

													x x 5 x 1																							5 x									15 x 5 3 x 1
													x x 5 x 1																							5 x									15 x 5 3 x 1
По таблице основных интегралов находим, что
				1 dx							38							dx				1							dx										1							38			ln				x						1	ln						x							C .
				1 dx							38							dx				1							dx										1		ln			x		38									5				1										1
																																									ln			x											5														1
				5 x 15 x 5 3 x 1																																			5						15													3
				5 x 15 x 5 3 x 1																																			5						15													3

Ответ: а)

2x2

5x 1

1 1 38 1

1 1

;

x x 5

5 x

5 3 x

б)

2x 2

x 5

x 1

C .

x x

5 x

Пример 3. Пусть для дроби

mx2

даны параметры m = 1, n = 0, p = –3.

x x 5 2

Раскладываем дробь

. Множители в знаменателе линейны, но один из

x x

них – в квадрате. В этом случае

x x 5 2

x 5

x 5 2

Скобке, стоящей в квадрате, всегда соответствуют 2 дроби. Знаменатель одной из них – это скобка в 1-й степени, знаменатель другой – та же скобка в квадрате.

Корни знаменателей						xA 0,	xB	5,	xC			5 . Коэффициенты A и C можно
найти методом вычёркивания:
A	x2	3			в точке xA	0	A	02	3				3		0,12	;
	x	5	2					0	5	2		25

C	x2	3		в точке xC		5	C	5 2			3			22	4,4
	x								5			5

(поиск C требует умножения первоначальной дроби на x																5 2 , а не на x 5 ).

Коэффициент B вычёркиванием найти нельзя – возникнет деление на 0. Чтобы найти B, представим, что будет, если свести всё к общему знаменателю:

		A	B			C				A x 5 2					Bx x 5 Cx					.
		x	x 5			x	5 2						x x			5 2
Достаточно увидеть, что в числителе появится																Ax2		Bx2 ,			или		A B x2 , а по
условию в числителе стоит x2 с коэффициентом 1. Значит,																			A			B	1. Подставим
A 0,12 : 0,12 B 1, откуда B							1,12 . Итак,
					x2	3		0,12				1,12				4,4	,
				x x 5 2					x			x 5 x 5 2					,
и тогда
		x2	3		dx	0,12			dx		1,12			dx		4,4		dx				.
	x x		5 2		dx	0,12			x		1,12		x		5	4,4		x	5		2	.
	x x		5 2						x				x		5			x	5		2

Здесь

5 1

C ,

остальные интегралы –

5 2

табличные и находятся так же, как в примерах 1 и 2.

Ответ:

а)

0,12

1,12

4,4

;

x x

5 2

x 5 2

б)

0,12 ln

1,12 ln

4,4

C .

5 2

x x

Замечание. Коэффициент B можно найти и другими способами.

Так, можно увидеть, что после приведения к общему знаменателю в числите-


ле появится 10Ax			5Bx	Cx , а в числителе первоначальной дроби x в первой сте-
пени	отсутствует		(т.е.	стоит 0x). Тогда из	уравнения 10A 5B C 0 при
A	0,12 и C	4,4 также получается B 1,12 .

Наконец, можно взять любое число, отличное от уже использованных значе-

ний xA		0 и xC		5 , например,							x 1, и подставить его в основное равенство:
									12		3			A		B		C	,

							1		1		5 2		1		1	5	1	5 2
что равносильно					1		A		1	B		1	C . Поскольку A						0,12 и C 4,4 , из урав-
что равносильно				18			A		6	B	36		C . Поскольку A						0,12 и C 4,4 , из урав-
				18					6		36
нения		1	0,12		1	B		1		4,4 находим B							1,12 .
нения	18		0,12	6		B	36			4,4 находим B							1,12 .
	18			6			36

Любой верный способ даёт одно и то же значение коэффициента.

Пример 4. Разложим дробь									3x		7		. В знаменателе одна из скобок – в

							x	2 2			x	3
квадрате. В этом случае, по аналогии с примером 3,
					3x	7					A		B			C
																	.
					x 2 2 x 3					x 2 x 2 2						x 3	.
Так же находим
B	3x	7	при x		2 , а именно B							3 2	7		0,2 ;
B	x	3	при x		2 , а именно B							2	3		0,2 ;
	x	3										2	3
C	3x	7		при	x 3:	B		3			3	7		16	0,64 .
C	x	2 2		при	x 3:	B		3			2 2		25		0,64 .
	x	2 2						3			2 2		25

Чтобы найти A, возьмём любое значение x, кроме –3 и 2, например, x 0 , и подставим в разложение дроби, учитывая, что B 0,2 и C 0,64 :

							3 0		7								A				0,2					0,64			.
								2 2													2 2								.
					0			2 2	0		3			0			2		0		2 2					0		3
После упрощений							0,58 3						0,5A				0,05			0,21 3 ,							или 0,5A						0,32 . Значит,
A 0,64 (значение точное). Итак,																3x			7				0,64					0,2				0,64		.
A 0,64 (значение точное). Итак,															x 2 2 x 3								x 2 x 2 2											.
															x 2 2 x 3								x 2 x 2 2									x 3
Тогда		3x		7		dx		0,64						dx			0,2			x	2				2 dx			0,64			dx		, интегралы
Тогда		2 2				dx		0,64									0,2			x	2				2 dx			0,64					, интегралы
	x	2 2		x	3							x		2																	x 3
находятся так же, как в примере 3.
Ответ: а)				3x 7						0,64							0,2				0,64				;
Ответ: а)			x 2 2 x 3							x 2 x 2 2															;
			x 2 2 x 3							x 2 x 2 2											x 3
	б)				3x		7		dx				0,64 ln					x	2		0,2						0,64 ln			x	3		C .
					3x		7														0,2

				x	2 2		x	3														x		2
				x	2 2		x	3							4x		5					x		2
Пример 5. Разложим дробь															4x		5			и проинтегрируем. Один из множи-

											x2			5			x		6
											x2			5			x		6

телей знаменателя – квадратичное выражение. Согласно общей схеме, в числителе соответствующей дроби пишется не просто коэффициент, а линейная функция относительно x:

5 x 6

x 6

Методом вычёркивания можно найти только C:

при

4 6

0,707 .

Можно быстро найти A, если заметить, что в числителе исходной дроби нет

слагаемого с

x2 , а в правой части основного равенства приведение к общему

знаменателю даёт Ax2

Cx2 :

Ax B

Ax B x 6 C x2

2 Bx 6 Ax 6B Cx 2 5C

5 x 6

Тогда A

0 , откуда A

0,707 .

Коэффициент B также легко найти, если увидеть, что после того же приведе-

ния остаются свободные коэффициенты

5C ,

а в исходной дроби стоит

свободный коэффициент –7.

Поэтому

7 ,

или

6B 5

0,707

7 , и тогда B 0,577 . Получи-

ли разложение

0,707x

0,577

0,707

x 6

Значит,

0,707

xdx

0,577

0,707

5 x 6

x 6

Как показано ранее (например, в § 2),

xdx

d x2

C .

x2 5

2 x2

5 2

Остальные интегралы – табличные.

Ответ: а)

0,707x 0,577

0,707

;

5 x

б)

0,707

ln x2

0,577

arctg

0,707ln

x 6

(модуль заменили простыми скобками, поскольку всегда x2

0 ).

В следующем примере просто подставим числа и решим уравнения.

Пример 6. Проинтегрируем

. Заметим, что x3 8x

x x2 8 , поэтому

x x2

Находим A

0,125 –

как в предыдущих примерах. Далее подставим

x 1, затем x				1:
x 1		1			A B 1 C			A	1	B	1	C	1	;

	1 12			8	1	12	8		9		9		9
	1 12			8	1	12	8		9		9		9
x 1				1			A B 1 C					A	1	B	1	C	1	.

			1	1 2	8		1	1 2	8				9		9		9
			1	1 2	8		1	1 2	8				9		9		9

Умножим 1-е уравнение на 9, а 2-е – на –9:

9 A B C 1

9 A B C 1.

Вычитая одно уравнение из другого, замечаем, что C

0 , и тогда 9A

B 1.

Коэффициент

A известен,

выгодно

выразить

1 9A

подставить

A 0,125. Тем самым B

9 0,125

0,125.

Итак,

0,125

0,125x

0,125

, соответственно

xdx

0,125

C .

0,125

0,125ln

x3 8x

x2 8

Ответ: а)

0,125

0,125x

;

б)

ln x2 8 C .

x3 8x

Замечание. В примере 6 получается довольно простая система уравнений. Иногда выгоднее заменить дроби на десятичные, например,

A 0,111B 0,111C 0,111

(где 0,111	1/ 9 ), подставить A		0,125 и перенести полученные числа вправо:
0,111B	0,111C	0,014	C	0	(например, методом Крамера).
0,111B	0,111C	0,014	B	0,125	(например, методом Крамера).
				P x
ИД2. Проинтегрируйте дробь						, где числитель P x	указан,
ИД2. Проинтегрируйте дробь				x a x	b x c	, где числитель P x	указан,

разложив её на сумму			A

			x a
			x a
1)	1	;

	x a x b x c

а) a = 0, b = 1, c = 2; г) a = 1, b = 2, c = 3; ж) a = 2, b = –2, c = 1; к) a = 3, b = 4, c = –5;

2) x ax bx c ;

B	C	при заданных значениях a, b, c:

x b	x c
x b	x c

б) a = 0, b = 1, c = –1;	в) a = 0, b = 2, c = 3;
д) a = 1, b = 2, c = –3;	е) a = –1, b = 2, c = 3;
з) a = 2, b = –2, c = –1;	и) a = 3, b = 4, c = 5;
л) a = 3, b = –4, c = 5;	м) a = –1, b = –3, c =–5;

а) a = 1, b = 2, c = 3; г) a = 1, b = –1, c = –2; ж) a = 2, b = 3, c = –4; к) a = 3, b = 4, c = –4;

3) x ax bx c ;

б) a = 1, b = 2, c = –3; д) a = 1, b = 2, c = –2; з) a = 2, b = –3, c = 4; л) a = 1, b = 3, c = 5;

в) a = 1, b = –1, c = 2; е) a = 1, b = –2, c = 3; и) a = 3, b = 4, c = –3; м) a = 1, b = 3, c = –5;

а) a = 0, b = 1, c = –1; г) a = –1, b = 2, c = –2; ж) a = 1, b = –2, c = 3; к) a = 3, b = 4, c = 5;

б) a = 1, b = –1, c = 2; д) a = 1, b = 2, c = 3; з) a = 1, b = –2, c = 3; л) a = 3, b = –4, c = 5;

в) a = 1, b = 2, c = –2; е) a = 1, b = 2, c = –3; и) a = –1, b = –2, c = 3; м) a = 3, b = 4, c = –5.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20222.03 Mб65591.pdf
#
13.11.20222.04 Mб25592.pdf
#
13.11.20222.04 Mб15593.pdf
#
13.11.20222.04 Mб115594.pdf
#
13.11.20222.04 Mб105595.pdf
#
13.11.20222.05 Mб25596.pdf
#
13.11.20222.07 Mб45597.pdf
#
13.11.20222.09 Mб45598.pdf
#
13.11.20222.1 Mб135599.pdf
#
13.11.202222.53 Кб356.doc
#
13.11.20222.1 Mб45600.pdf