5572
.pdf
Р( А) Р( А А А |
А А А ) |
Р( А )Р( А )Р( А ) |
Р( А )Р( А )Р( А ) (0,8)2 |
0,7 |
|
|||||||||
|
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
3 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
3 |
|
б) |
(0,8)2 0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,768. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Событие В – все три изделия различного сорта, выразим так В 
А1 
А2 
А3 , тогда
Р(В) 0,8 
0,7 
0,5 0,28 .
Указания. Анализ и решение задач включённых в данный параграф, можно осуществлять по следующей схеме:
1.Уясните, в чём состоит рассматриваемое в задаче испытание.
2.Обозначьте буквами события, рассматриваемые в условии задачи.
3.С помощью введённых обозначений выразите событие, вероятность наступления которого необходимо найти.
4.Если требуется найти вероятность суммы событий, выясните, совместны или несовместны рассматриваемые события. Если же требуется найти вероятность произведения событий, выясните, зависимы или независимы рассматриваемые события.
5.Выберите соответствующую условию задачи формулу и выполните необходимые вычисления.
Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Формула полной вероятности
Если событие А может произойти с одной из попарно несовместных гипотез Н1, Н2,….Нn, образующих полную группу, то вероятность появления события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:
Р( А) Р(Н1 )РН1 ( А) Р(Н2 )РН 2 ( А) ... Р(Нn )PH n ( A) , |
(1.13) |
n
где P(Hi ) 1 .
i 1
Формула Байеса
Формула Байеса определяет условную вероятность появления гипотезы
Hi, при условии, что событие А уже произошло:
PA |
Hi |
P(Hi ) PHi ( A) |
|
P(Hi ) |
PHi |
( A) |
. |
(1.14) |
P( A) |
|
n |
|
|
||||
|
|
|
P(Hi ) |
PHi ( A) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
11
Пример 14. Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В, С. На долю фирмы А приходится 50% общего объёма поставок, В – 30% и С- 20%. Из практики известно, что 10% деталей, поставляемых фирмой А – бракованные, фирмой В – 5% и С − 6%. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь будет бракованной.
Решение: Производится испытание: извлекается одна деталь.
Событие А – извлечённая деталь бракованная .
Гипотеза Н1 – деталь фирмы А; гипотеза Н2 – деталь фирмы В; гипотеза Н3 – деталь фирмы С.
Согласно формуле полной вероятности (1.9), искомая вероятность равна:
Р( А) Р(Н1 )РН1 ( А) Р(Н2 )РН 2 ( А) Р(Н3 )PН 3 ( A) .
Из условия задачи: Р(Н1) 0,5 ; |
Р(Н2 ) 0,3; Р(Н3 ) 0,2 . |
||||
РН1 ( А) |
0,1 ; PH 2 |
( A) |
0,05 ; PH 3 ( A) |
0,06 . |
|
Р(А) = |
0,5 0,1 |
+ 0,3 |
0,05 + |
0,2 |
0,06 = 0,077. |
Пример 15. В центральную бухгалтерию корпорации поступили пачки накладных для проверки и обработки. 90% пачек были признаны удовлетворительными: они содержали только 1% неправильно заполненных накладных. Остальные 10% пачек были признаны неудовлетворительными, так как содержали 5% неверно оформленных накладных. Взятая наугад из пачки накладная оказалась оформленной неверно, какова вероятность того, что пачка накладных, из которой изъята накладная признана неудовлетворительной ?
Решение: Испытание: проверяется пачка накладных.
Событие А − взятая наугад накладная оказалась неверно оформленной.
Гипотеза Н1 − пачка не соответствует стандарту.
Гипотеза Н2 − пачка соответствует стандарту.
Необходимо найти вероятность гипотезы Н1 при условии, что событие А произошло. Согласно формуле Байеса (1.10) имеем:
PA |
H1 |
|
|
P(H1 ) |
|
PH1 ( A) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
PH1 ( А ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
P(H1 ) |
|
P(H |
2 ) PH2 ( A) |
||||
Р(Н1) 0,1; |
Р(Н2 ) 0,9 ; |
РН1 ( А) |
0,05 PH 2 ( A) 0,01 ; |
|||||||
PA |
H1 |
|
|
0,1 |
0,05 |
|
|
0,357 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0,1 |
0,05 |
0,9 |
0,01 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
12
Тема 5.. Повторные независимые испытания
Формула Бернулли
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p и не равна 0 и 1, событие А наступит ровно m раз, вычисляется по формуле Бернулли:
Рn (m) 
где q 1 p . (1.15)
Локальная теорема Лапласа
При большом числе испытаний для решения подобных задач применяется формула
Рn (m) |
|
1 |
|
|
|
|
(x) , |
|
(1.16) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
npq |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
x 2 |
|
|
m |
np |
|
|
|||
где (x) |
|
|
e 2 |
и x |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
npq |
||||
Функция φ (х) – чётная, т.е. φ(-х) = φ (х). Функция φ (х) табулированная на отрезке [0; 4], поэтому для х ≥ 4 функция φ (х) ≈ 0.
В приложении А приведена таблица значений этой функции.
Теорема Пуассона
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании
стремится к 0 |
( р →0) при неограниченном увеличении числа испытаний ( n →∞), |
||||
причем произведение np стремится к постоянному числу |
np , то вероятность |
||||
Pn (m) |
того, что событие А из n испытаний наступит m раз находится по формуле |
||||
|
|
m |
|
|
|
Pn (m) |
|
|
e . |
|
(1.17) |
|
|
|
|||
|
|
m! |
|
|
|
В приложении В приведена таблица значений этой функции.
Интегральная теорема Лапласа
вероятность того, что событие наступает не менее m1 |
раз и не более m2 раз |
||||||||
приближенно равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (m1 m m2 ) Ф |
m2 |
n p |
Ф |
m1 |
n p |
, |
(1.18) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
n p q |
|
n p q |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
13
где Ф (x) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
x |
t 2 |
|
|
e |
2 dt |
функция Лапласа. |
|
0 |
|
|
|
Ф(х) нечётная, т.е. Ф(-х) = Ф(х), для х > 5 Ф(х) ≈ 0,5.
В приложении Б приведена таблица значений функции Лапласа.
Формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона применяются в тех случаях, когда рассматриваются испытания , удовлетворяющие схеме Бернулли, т.е.
проводимые испытания независимы;
каждое испытание имеет только два исхода;
вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна р .
При этом важно правильно выбрать соответствующую формулу: (1.15), (1.16),
(1.17), (1.18).
Указания. При выборе формулы можно руководствоваться следующим:
1. |
Если число |
независимых |
испытаний n |
10, то для |
вычисления |
|
|
вероятности |
появления |
события |
m раз |
пользуются |
формулой |
|
Бернулли (1.15). |
|
|
|
|
|
2. |
Если число независимых испытаний n |
10 и требуется найти |
||||
|
вероятность появления события от m1 |
до m2 |
раз, то используется |
|||
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
формула Pn (m1 m m2 ) |
Pn (m) . |
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
3.Если число независимых испытаний n достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании мала (стремится к 0) и 
np 10, то для вычисления вероятности Pn (m) применяют
|
формулу Пуассона (1.17). |
|
|
4. |
Если число независимых испытаний n |
достаточно велико, |
|
|
вероятность появления события в каждом испытании |
отлична от 0 |
|
|
и 1, то для вычисления Pn (m) применяют формулу (1.16). |
||
5. |
Если число независимых испытаний |
n достаточно велико, то для |
|
|
вычисления вероятности появления события от m1 |
до m2 раз: |
|
|
|
m2 |
|
|
а) при малом числе слагаемых в сумме |
Pn (mi ) можно применять |
|
|
|
m1 |
|
локальную формулу Лапласа, т.е.
14
|
m2 |
|
|
1 |
|
m2 |
|
mi |
np |
|
|
|
P (m |
m m ) |
P (m) |
|
|
|
( |
) ; |
( 1.19) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n 1 |
2 |
n |
npq m1 |
|
|
npq |
|
|||||
|
m1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
||
б) при малом числе слагаемых в сумме |
|
|
Pn (mi ) и малой |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
||
вероятности появления события в каждом испытании, при np 10 применяют формулу Пуассона, т.е.
|
m2 |
m2 |
mi |
|
|
|
Pn (m1 m m2 ) |
Pn (mi ) e |
|
|
|
; |
(1.20) |
|
mi! |
|||||
|
m1 |
m1 |
|
|
||
в) при достаточно большом числе слагаемых применяется интегральная теорема Лапласа (1.18).
Наивероятнейшее число появления события
Если n – число независимых испытаний, р – вероятность наступления события А в отдельном испытании, то наивероятнейшее число m0 появления события А удовлетворяет неравенству np – q ≤ m0 ≤ np + p.
Пример 16. Вероятность выигрыша по одному любому лотерейному билету равна 0,02. Чему равна вероятность выигрыша для владельца четырёх билетов а) по трём билетам; б) не более чем по двум билетам.
|
Решение: |
n = 4; |
p = 0,02 ; q = 0,98. |
|
|
|
||||||
а) |
Р (3) |
C 3 |
0,02 3 0,984 3 |
3 10 5 ; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
Р (0 |
m |
2) |
P (0) |
P (1) P (2) |
C 0 |
0,020 |
0,984 |
C1 |
0.021 0,983 |
||
|
|
4 |
|
|
4 |
4 |
4 |
4 |
|
|
4 |
|
C 2 |
0,022 |
0,982 |
0,099. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 17. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок:
а) ровно две; б) меньше двух; в) больше одной; г) хотя бы одну.
Решение: |
Число независимых испытаний n =1000 достаточно велико, а |
||||
вероятность появления события в каждом испытании |
р |
0,003 мала (стремится |
|||
к 0 ) и |
np |
3 10 , искомую вероятность будем находить по формуле Пуассона |
|||
|
|
|
m |
|
|
(1.17), используя таблицу значений функции Pn (m, ) |
|
e |
(приложение В). |
||
|
|||||
|
|
|
m! |
|
|
15
а) |
|
|
32 |
e 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1000 (2) |
|
|
|
0,224 |
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
2! |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
30 |
e 3 3 |
e 3 |
|||
P1000 (m |
2) |
P1000 (0) |
P1000 (1) |
|
|
|
|
|
0,0498 0,1494 0,1992 ; |
||||
|
0! |
|
|
1! |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
P1000 (m |
1) |
1 |
P(m 1) |
1 |
(P1000 (0) |
P1000 (1)) |
0,8008 ; |
|||||
г) |
P1000 (m |
1) |
1 |
P1000 (0) |
1 |
0,0498 0,9502 . . |
|
|
|
||||
Пример 18. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 90%. Найти вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий: а) высшего сорта окажется 530 изделия; б) из 600 изделий от 520 до 535 изделий (включительно) будут высшего сорта; в) наивероятнейшее число изделий высшего сорта.
Решение. Эксперимент заключается в проведении 600 повторных независимых испытаний с двумя исходами в каждом. Вероятность появления изделия высшего сорта в каждом испытании постоянна. Следовательно, схема Бернулли применима.
а) По условию задачи |
n 600 , |
m |
530, p |
0,9 . |
Так как n достаточно велико, а |
|||||||||||||||||||||||||||||
p и q |
1 |
p не малы, то для вычисления искомой вероятности применим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x 2 |
|
|||
локальную теорему Лапласа (1.16) и таблицу значений функции (x) |
|
e 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(приложение А) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Рn |
(m) |
|
1 |
|
|
(x) , |
x |
530 |
600 |
0,9 |
|
1,36 |
; |
( 1,36) |
(1,36) |
0,1582 ; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
npq |
|
|
600 |
0,9 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
P600 (530 ) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
( 1,36) |
0,1582 |
|
|
0,021 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
600 |
0,9 |
0,1 |
600 |
0,9 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
n |
600 , m1 |
520 , m2 |
|
535 . Так как число независимых испытаний |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
достаточно велико и число слагаемых в сумме |
Pn (mi ) равно шестнадцати, то для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычисления искомой вероятности воспользуемся интегральной теоремой Лапласа
P (m1 m m2 ) |
Ф |
|
m2 |
n p |
Ф |
m1 |
n p |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n p q |
|
n p q |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Значения функции Лапласа, учитывая её нечётность, |
находим по таблице |
||||||||||||||||||||||
(приложение Б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (520 |
m |
535 ) |
Ф |
535 |
600 |
0,9 |
|
Ф |
520 |
600 |
0,9 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
600 |
0,9 |
0,1 |
|
|
|
600 |
0,9 |
0,1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ф( 0,68) |
|
Ф( |
2,72) Ф(0,68) |
Ф(2,72) |
0,2517 |
0,4967 0,245 ; |
|||||||||||||||||
в) n 600 , |
p |
0,9 q=0,1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
16
Наивероятнейшее число изделий высшего сорта определим по формуле np – q ≤ m0 ≤ np + p;
600·0,9 – 0,1 ≤ m0 ≤ 600·0,9 + 0,9; 539,9 ≤ m0 ≤ 540,9; m0=540.
Тема 6 . Случайные величины Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и
только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется случайная величина, множество значений которой конечно или бесконечно, но счётно.
Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина, которая принимает возможные значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Дискретные случайные величины
Законом распределения случайной величины называется соответствие между её возможными значениями и вероятностями, с которыми она их принимает.
|
|
xi |
x1 |
xi |
… |
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
p1 |
p2 |
|
pn |
|
n |
|
|
|
|
|
где |
pi 1 |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
Пример 19. В магазине куплено 3 электроприбора − чайник, утюг и пылесос. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока для каждого из них соответственно равна p1 0,05, p2 0,1, p3 0,2 . Составить закон распределения случайной величины X – числа приборов, вышедших из строя в течение гарантийного срока.
Решение. X – число приборов, вышедших из строя, имеет следующие возможные значения:
x1 |
0 |
все три прибора не выйдут из строя в течение гарантийного срока; |
x2 |
1 |
один прибор выйдет из строя; |
x3 |
2 |
два прибора выйдут из строя; |
x4 |
3 |
три прибора выйдут из строя. |
17
Найдём соответствующие этим значениям вероятности. По условию, вероятности выхода из строя приборов равны: p1 0,05; p2 0,1; p3 0,2, тогда вероятности того, что приборы будут рабочими в течение гарантийного срока, равны:
q1 |
1 |
p1 |
1 |
0,05 |
0,95; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
q2 |
1 |
p2 |
1 |
0,1 |
0,9; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
q3 |
1 |
p3 |
1 |
0,2 |
0,8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P X |
|
0 |
q1 |
q2 |
q4 |
|
0,95 0,9 0,8 |
0,684. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
P X |
|
1 q1 q2 |
p3 |
|
q1 |
p2 |
q3 |
p1 |
q2 |
q3 |
0,95 0,9 0,2 |
0,95 |
0,1 0,8 |
|||||||||||
0,05 |
0,9 |
0,8 |
0,283. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P X |
|
2 |
p1 |
p2 |
q3 |
p1 |
q2 |
p3 |
q1 |
p2 |
p3 0,05 |
0,1 |
0,8 |
0,05 |
0,9 |
0,2 |
||||||||
0,95 |
0,1 |
0,2 |
0,032. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P X |
|
3 |
p1 |
p2 |
p3 |
0,05 0,1 |
0,2 |
0,001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Закон распределения имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
0,684 |
|
|
0,283 |
0,032 |
|
0,001 |
|
|
|
|
|||
Проверка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P |
P X |
0 |
P X |
1 |
|
P X |
2 |
P X 3 |
0,684 |
0,283 |
0,032 |
0,001 |
1. |
|||||||||||
Функцией распределения случайной величины называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение меньшее x, т.е.
F x
P X x .
Свойства функции распределения
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку 0;1 :
0F x
1.
2.F x
− неубывающая функция, т.е.
F x2 
F x1 , если x2 x1 .
Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключённое в интервале a, b , равна приращению функции распределения на этом интервале:
P a X b
F b
F a .
18
Пример 20. Дискретная случайная величина задана законом распределения
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
2 |
|
4 |
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
0,2 |
|
0,1 |
|
0,3 |
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а) Составить функцию распределения F x |
|
и построить ее график. б) Найти |
|||||||||||||||||
вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащие |
|||||||||||||||||||
интервалу (3;6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. а) По определению, |
F x |
|
P X |
x , т.е. F x есть вероятность того, что |
|||||||||||||||
случайная величина X примет значение меньше, чем x. |
|
|
|
||||||||||||||||
1. При |
|
x |
2 |
F x |
P X |
2 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. При |
|
2 |
x |
4 |
F x |
P X |
4 |
|
P X |
2 |
0,2. |
|
|
|
|
||||
3. |
При |
|
4 |
x |
5 |
F x |
P X |
5 |
|
P X |
2 |
P X |
4 |
0,2 |
0,1 0,3. |
||||
4. |
При |
|
5 |
x |
7 |
F x |
P X |
7 |
|
P X |
2 |
P X |
4 |
|
P X |
5 |
|||
|
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
При |
|
x |
|
7 |
F x |
P X |
2 |
P X |
4 |
P X |
5 |
P X |
7 |
|||||
|
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, функция распределения примет вид:
0, x 2 0,2, 2 x 4
F x 0,3, 4 x 5 0,6, 5 x 7 1, x 7
Построим график F(x):
F(x)
1
0,6
0,3
0,2
|
|
2 |
|
4 |
|
5 |
|
|
7 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Рисунок 1.1 − График функции распределения F(х). |
||||||||||
б) |
Найдём вероятность |
P 3 |
X 6 |
по формуле P a X b F b F a , тогда |
|||||||
P 3 |
X 6 F 6 F 3 0,6 |
0,2 |
0,4. |
|
|
|
|||||
19
Тема 7. Числовые характеристики дискретных случайных величин
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
M X x1 p1 x2 p2 xn pn |
n |
(1.21) |
xi pi . |
||
i |
1 |
|
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
D( X ) |
M X M ( X ) 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.22) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При решении задач, дисперсию удобно находить по формуле |
|
|
|
|||||||||||||||||||
D( X ) M ( X 2 ) |
M ( X ) 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.23) |
||||
Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют |
||||||||||||||||||||||
квадратный корень из дисперсии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(X ) |
|
D(X ). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 21. |
Дискретная случайная величина задана законом распределения |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
X |
|
2 |
|
4 |
|
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Р |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Найти: математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее |
||||||||||||||||||||||
квадратическое отклонение |
|
( X ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. По формуле (1.17) M ( X ) |
|
n |
находим математическое ожидание |
|||||||||||||||||||
|
|
xi pi |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X: M ( X ) |
2 0,2 |
4 0,1 5 |
0,3 7 |
0,4 |
5,1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
M ( X 2 ) |
|
|
M ( X ) 2 и |
|
|
|
|
||||||||||||
По формулам (1.21) и (1.23) |
D( X ) |
|
|
|
(X ) |
|
D(X ) найдём |
|||||||||||||||
дисперсию и среднее квадратическое отклонение: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
M ( X 2 ) |
n |
2 pi |
22 |
|
|
42 0,1 52 |
0,3 72 |
|
|
|
|
||||||||||
|
xi |
0,2 |
0,4 |
29,5. |
|
|||||||||||||||||
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
D( X ) |
29,5 |
3,49; |
|
( X ) |
3,49 |
|
1,87. |
|
|
|
||||||||||
20