Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5561

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

характеристического уравнения k 2 6k 9	0 соответствующего однородного
~	неоднородного уравнения в виде
уравнения. Нахождение частного решения y	неоднородного уравнения в виде

(8.10) требует предварительного определения степеней многочленов в этой

формуле.

Правая часть исходного уравнения содержит многочлены первой и

оба многочлена должны

нулевой степени. Поэтому в виде частного решения y

быть высшей степени, т.е. первой:

а x cos 2x

b x sin 2x .

Подставляя эту функцию и её производные y

cos 2x

2b xcos2x

b sin 2x

xsin 2x

и y

2a1

4b0

4b1 cos2x

3b1 xcos2x

4a0

4a1

3b0

2b1

sin 2x

4a1

3b1

xsin 2x в исходное уравнение,

после преобразований получаем:

4a1

8b0

4b1 cos2x

8b1

xcos2x

8a0

4a1

3b0

4b1

sin 2x

8a1xsin 2x

cos2x xcos2x

sin 2x .

Система

для

нахождения

коэффициентов a0 ,a1,b0 ,b1 примет вид:

4a1

8b0

4b1

8b1

8a0

4a1

4b1,

8a1

Решая

систему, находим

коэффициенты:

0 , b

Общим

решением

неоднородного

уравнения

будет

функция

y C e3 x

xe3 x ex

cos 2x

sin 2x

где

–

произвольные постоянные.

Пример 8. Указать вид общего решения дифференциального уравнения

2 y

e x

3x cos 2x

1 sin 2x .

Решение. Очевидно, что правая часть уравнения представляет собой вид

(8.9). Контрольное число правой части

является

корнем

характеристического уравнения 2k 2 k

0 соответствующего однородного

уравнения. Нахождение частного решения

неоднородного уравнения в виде

(8.11) требует предварительного определения степеней многочленов перед синусом и косинусом в этой формуле. Правая часть исходного уравнения содержит многочлены второй и первой степеней перед косинусом и синусом.

Поэтому частное решение ~ должно содержать многочлены второй степени, а y

именно

	y		xe	x а	0	а x	а	2	x2	cos 2x b		b x	b x2 sin 2x .
					0	1		2			0	1		2
Тогда			общее			решение					неоднородного			уравнения	таково:
y C e3x	C	2	xe3x	xe x		а	а x		а x2		cos 2x	b b x		b x2 sin 2x , где C и
1		2				0	1			2		0	1	2	1

C2 – произвольные постоянные.

9 Решение прикладных задач с помощью дифференциальных уравнений

Аппарат дифференциальных уравнений находит широкое применение для математического решения ряда экономических, экологических, демографических, социальных и физических прикладных задач.

В математическом исследовании любой задачи, касающейся некоторого реального процесса, выделяют следующие основные этапы:

1)построение математической модели явления или процесса;

2)изучение математической модели и получение решения составленной математической задачи;

3)практическое приложение полученных результатов на основе данной модели. Желательно также выяснить, какие явления или процессы можно описать

той же математической моделью.

В соответствии с вышеописанными основными этапами математического исследования задачи непосредственное решение распадается на пункты:

а) составление дифференциального уравнения по условию конкретной задачи; б) решение дифференциального уравнения; в) исследование полученного решения.

Как правило, рекомендуется следующая последовательность действий:

1.Установить величины, изменяющиеся в данном явлении.

2.Выявить законы (экономические, физические и т.д.), связывающие их.

3. Выбрать независимую переменную и функцию этой переменной, которую необходимо найти.

4.Выразить все величины из условия задачи через независимую переменную, искомую функцию и её производные.

5.Исходя из условия задачи и закона, которому подчинено рассматриваемое явление, составить дифференциальное уравнение.

6.Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

7.Определить начальные или краевые условия для составленного дифференциального уравнения.

8.По начальным или краевым условиям найти частное решение дифференциального уравнения.

9.Исследовать полученное решение.

Рассмотрим практическую реализацию описанной схемы на примере некоторых экономических задач.

Задача 1. Для некоторого предприятия установлено, что скорость увеличения выпуска продукции прямо пропорциональна его прибыли с

коэффициентом пропорциональности k 1,1. Пусть y t выпуск продукции этого предприятия. Составить уравнение, связывающее скорость изменения выпуска продукции и доход от продажи выпуска по цене p y . Предполагается,

что с увеличением выпуска будет проходить насыщение рынка и цена товара


p y	будет падать.			Известно,		что цена	одной единицы продукции задана
функцией		вида	p y	7	3y .	Полные	издержки предприятия выражаются
функцией		c y	6y	1. Составить дифференциальное уравнение для функции
y t .	Найти функцию y t				при условии, что в начальный момент времени

выпуск равен 100.

Решение

1.Установим величины, изменяющиеся в данном явлении: время t ,

выпуск продукции y y t , цена единицы продукции, прибыль, полные издержки предприятия, скорость роста выпуска.

2.Выявим законы, связывающие обозначенные величины:

скорость выпуска продукции определяется как производная выпуска продукции по времени: dydt ;

выручка предприятия определяется как произведение цены единицы продукции на интенсивность её выпуска y р y ;

прибыль определяется как разность между выручкой предприятия y р yи полными издержками c y ;

скорость выпуска продукции в 1,1 раза больше его прибыли.

3.	Выбираем
	независимую переменную t;
	функцию переменной t, которую необходимо найти:		y y t .
4.	Выражаем все величины из условия задачи через независимую
переменную t, искомую функцию y		y t и её производную:
	прибыль предприятия y р y	c y = y 5 3y 6y	1
	3y2 y 1 ;

скорость выпуска продукции у dydt .

5. Составляем дифференциальное уравнение, исходя из условия задачи:

		dy		= 1,1 3y2	y 1 .

		dt
6. Найдём	общее		решение составленного дифференциального
уравнения.
Получили дифференциальное			уравнение		первого порядка с разделяющимися

переменными. Разделяя переменные, получаем:

10			dy				dt ,	10					dy				dt ,

11 3y2				y 1				33			y2			1	y	1
								33						1		1

													3			3
10			dy				10							dy				10		dy

33	y	2		1	y	1	33		y	2	2	y	1			1	1	33	y	1	2	1

				3		3							6			36	36
																				6		36

		замена :				y	1	m															m	1
											10			dy		10				1				6
							6															ln			C


		dy		dm							33		m2		1	33		2			1		m	1
											33				1	33					1			1
																				6				6
										y	1		36
													36
									6				1

	10			6m	1		10									10				6 y
			ln			C		ln			6				C		ln						C .
											6
												1
11				6m	1		11		6	y		1	1			11			6 y			2
									6	y	6		1
											6

6 y

t C

6 y 6 y 2 e

t C

t C ,

6 y 2

6 y

6 y 1

e 10

2e 10

Общим

решением

является

функция

e 10

3 1

e 10

7. Определяем начальное условие: y 0 100.

8. По начальным условиям найдём частное решение.

Поскольку y 0

100, получаем уравнение

100

3 1

e 10

300

. Следовательно, частное решение, удовлетворяющее

Откуда

301

начальным условиям, имеет вид y

100e 10

301

300e 10

9. Исследуем полученное решение.

Построим график частного решения.

Из графика видно, что с увеличением времени t	интенсивность выпуска
y t снижается. Можно определить значение функции	y y t для различных

значений промежутков времени t ; например, y 0,02 12,99 или y 0,08 3,48.

		Определим, с какого времени выпуск продукции становится меньше
единицы, то есть y t					1. Для этого необходимо решить неравенство
													11	t								11	t
														t									t
					11							100e 10			301		300e 10
				100e		10	t
												1 или												0 .
									11		t	1 или						11		t				0 .
									11									11

			301		300e 10							301			300e 10
								11		t
										t
Введём обозначение k e 10 , k												0. В результате замены получаем неравенство
	400k	301	0 . Отметим нули неравенства k												301	и		k			301			на числовой
			0 . Отметим нули неравенства k													и		k	2					на числовой
	300k	301										1			400				2		300
	300k	301													400						300

оси и исследуем знак неравенства при переходе через эти точки.

Решением рационального неравенства будет являться объединение промежутков:

															k								0,			301							301			,	.
															k								0,													,	.
																										400							300
																		11				t
																						t
Возвращаясь к замене k															e 10								, найдём искомые промежутки времени t .
						11				301													11								301												11			301
								t												e						t			eln															t
1)			e				10	t				или													10	t					400 .				Откуда										ln			или

									400																																	10				400
									400																																	10				400
t			10		ln			301			0,258.
t					ln						0,258.
	11					400
	11							301				11			301
				t							или e			t	eln									. Решая показательное неравенство,
2) e		10		t									10						300																											приходим к

								300
								300
																11										301												10			301
																										eln													ln
линейному неравенству																					t							300			или t											0,003				.	Получили
линейному неравенству																					t							300			или t											0,003				.	Получили
															10																						11			300
посторонний промежуток, поскольку t																															0.
			Таким								образом, начиная																с			момента							t 0,258						выпуск			продукции
становится меньше единицы.
			Задача 2. Найти динамику цены																														p на товар, если прогноз														спроса и
предложения описываются соотношениями:
																d p											p				3p			3p			9 ,
																s p											3p					p		4 p			4 .

Известно, что p 0												4e 1					5			,			p			0					2			5	.
Известно, что p 0												4e 1								,			p			0					е		7		.
															7																е		7
			Решение
1.			Установим величины, изменяющиеся в данном явлении: время t , цена
			на товар p									p t , спрос d															p , предложение s p .
2. Выявим законы, связывающие обозначенные величины:
									спрос определяется из соотношения d p																																p		3p		3p		9 ;
									предложение задаётся равенством s p																															3p			p		4 p		4 ;
									равновесную цену находят, приравнивая функции спроса и
									предложения: d p																		s p .

3. Выбираем

независимую переменную t;

функцию переменной t, которую необходимо найти: p p t .

4. Выражаем все величины из условия задачи через независимую переменную t, искомую функцию p p tи её производную:

спрос d p p 3p 3p 9 ;

предложение s p 3p p 4 p 4 .

5.Составляем дифференциальное уравнение, исходя из условия задачи:

Динамика цены p p tна товар определяется из равенства;

			d p		s p .
Тогда p	3p 3p	9	3p p		4 p 4		или 2 p	4 p 7 p 5 0 ,
		2	d 2 p	4	dp	7 p	5 .
			dt 2		dt

6. Найдём	общее	решение			составленного			дифференциального

уравнения.

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго

порядка. Решение находят в виде p							p	~
порядка. Решение находят в виде p							p	p .
Найдём	p .	Характеристическое								уравнение				соответствующего
однородного дифференциального уравнения таково:															2k 2		4k 7 0.
Корнями характеристического уравнения являются числа

k	4	16	4	2	7	4		72	4		6	2	2		3	2	.
k																	.
1,2			4					4			4				2
			4					4			4				2

Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения


является функция p C e 1 1,5t 2	C	2	e 1 1,5t 2 .
1		2

Найдём

частное решение

неоднородного

дифференциального

уравнения. Правая часть уравнения имеет вид

t e t

5e0 t . Контрольное

число

0 не

является корнем

характеристического

уравнения,

поэтому

Q0 t e

0 t

. Найдем b0

частное решение

p будет вида p

с помощью

метода неопределённых коэффициентов. Подставляя

0 в

первоначальное

уравнение, получаем

уравнение:

откуда

Таким образом,

Общее решение неоднородного уравнения таково:

				5 .
p C e 1 1,5t 2	C		e 1 1,5t 2	5 .
1		2		7
				7
7. Определяем начальные условия: p 0 4e 1				5			e 1	5	.
				5	, p 0	2		5
					, p 0	2
				7		7

8. Определим частное решение дифференциального уравнения по

																		5																5		.
начальным условиям p 0														4e 1				5		,		p		0				2e 1						5
начальным условиям p 0														4e 1			7			,		p		0				2e 1						7
																	7																	7
																																	e 1 1,5t						5	, получаем
Учитывая,			что p														1 1,5t					2																2
												1,5			2C e		1 1,5t					2		1,5			2C											2
												1,5			2C e									1,5			2C					2
																1																2		7
																																		7
систему для отыскания постоянных C1																	и C2 :
				C e 1					C			e 1		5			4e 1						5		,
				C e 1					C	2		e 1					4e 1								,
				1						2				7								7
														7								7
																								5											5		.
				1,5				2C e 1						1,5 2C					2		e 1			5					2e 1						5
				1,5				2C e 1						1,5 2C							e 1								2e 1
							1																	7										7
																								7										7
Система после преобразования принимает вид
													C1			C2			4,
														1,5C1				1,5C2						1,
откуда C	5	и C			7	.
откуда C		и C	2			.
1	3		2	3
	3			3
Частное решение дифференциального уравнения таково:
											5								7		e 1 1,5t									5	.
							p				5		e 1 1,5t			2			7							2				5
							p			3			e 1 1,5t						3							2	7
										3									3								7

9. Исследуем полученное решение

Построим график частного решения (рисунок 1). Из графика видно, что с увеличением времени t динамика цены на товар снижается. Определим, с какого времени цена на товар становится равной нулю, то есть p t 0 .

Рисунок 1 – График зависимости цены от времени

	5			7	e 1 1,5t
Найдём решение уравнения		e 1 1,5t 2				2
	3		3

5	0	. На рисунке 2

7
7

показано решение данного уравнения с помощью пакета Maple.

Рисунок 2 – Решение уравнения с помощью пакета Maple

Таким образом, при t 0,34 цена на товар становится равной нулю. При t 0,34 цена становится отрицательной.

Задача 3. Скорость изменения количества населения есть первая производная от количества населения по времени. Предполагается, что скорость изменения количества населения прямо пропорциональна наличному его количеству с коэффициентом пропорциональности k . Найти зависимость между количеством населения y и временем t , если известно, что в некоторый момент,

принимаемый за начальный, количество населения составляло y0 , а через год население увеличилось на b %. В рамках данного допущения найти

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.85 Mб25556.pdf
#
13.11.20221.86 Mб35557.pdf
#
13.11.20221.86 Mб15558.pdf
#
13.11.20221.86 Mб15559.pdf
#
13.11.20221.87 Mб15560.pdf
#
13.11.20221.87 Mб25561.pdf
#
13.11.20221.88 Mб85562.pdf
#
13.11.20221.88 Mб75563.pdf
#
13.11.20221.89 Mб15564.pdf
#
13.11.20221.89 Mб15565.pdf
#
13.11.20221.89 Mб05566.pdf