5560

2

x,

x

1

Пример 4. Непрерывна ли функция f x

x

4,

1

x

2 ?

x2 ,

x

2

Так же, как в примерах 1 – 3, каждая из функций 2

x , x

4 и x2 непрерывна на

жен только в точке x 1 или (и) в точке x

2 , где функция переопределяется.

Задача распадается на 2 подзадачи: исследовать на непрерывность функции

f1 x

2 x, x

1

и f2

x

x 4, x 2 ,

x 4,

1

x

x2 , x

2

причём точка x

2 не представляет интереса для функции f1

x , а точка x 1 –

для функции

f2 x .

1-й шаг. Проверяем точку x

1 и функцию f1

x (индекс не пишем):

а) f

1 3 ;

1 0

1 0

1

f x

2 x

2 x

x 1

2

б) f

1 4 3 .

1 0

1 0

1

f x

x 4 x 4

x 1

Пределы совпадают. По условию, f

1

1

4 3 (если пределы слева и справа

гое). Итак, в точке x

1 функция непрерывна.

2-й шаг. Проверяем точку x

2 и функцию

f2 x

:

а) f 2 0

2 4 6 ;

2 0 2

f x

x 4 x 4

x 2

б) f 2 0

2 0 2

f x

x2 x2

x 2

22

4 .

Поскольку 6

4 , точка

x 2 – точка разрыва 1-го рода, и значение

f 2 (и то,

есть ли оно вообще) уже не играет роли.

Ответ: функция непрерывна во всех точках, кроме точки x

2 , где имеет ме-

сто неустранимый разрыв 1-го рода – скачок от 6 к 4.

0, x

/ 2

Пример 5. Найти точки разрыва функции

f

x

cos x,

/ 2

x

/ 3 .

1, x

/ 3

Действуем по той же схеме, что в примере 4.

1-й шаг. Проверяем точку x

/ 2 :

а) f

0 0 , поскольку слева от x

функция постоянна и равна 0;

2

2

б)

f

0 cos x

x

cos

cos

0 ( cos x – чётная функция).

2

2

2

2

Пределы совпадают, но при x

функция по условию не определена, и полу-

2

чается, что x

– точка устранимого разрыва.

2

2-й шаг. Проверяем точку x

:

3

а)

f

0

cos x

x

cos

1

;

3

3

2

3

б)

1 – значение функции не зависит от переменной.

f

0

1

x

3

3

Пределы различны:

1

1, точка

x

– точка неустранимого разрыва 1-го рода.

3

2

Пример 6. Непрерывна ли функция f

x

x , x

9

?

27 2x , x

9

Функция

x определена при

x

0 ,

поэтому условие

x

9

превращается в

условие 0

x

9 .

С другой стороны, функция

определена при

2x 0, т.е. при

27

2x

27

x 13,5. Значит, условие x

9 превращается в условие 9

x

13,5 .

Получается, что должно выполняться условие 0

x 13,5 , и область опреде-

ления всей функции – отрезок

0;13,5 .

Сами по себе функции

и

элементарны и потому непрерывны во

x

27

2x

всех точках, в которых определены – в частности, и при 0

x

13,5 .

Остаётся проверить, что происходит в точке x

9 :

а) f 9

3 ;

0

x

x 9

9

б) f 9 0

27 2x

x

9

27 2 9

9 3 .

Поскольку 3

3, смотрим, определена ли функция в точке

x

9 . Да, 1-е нера-

венство – нестрогое относительно x

9 , и этого достаточно.

Ответ: функция определена на отрезке

0;13,5

и непрерывна на нём.

1)

а)

y

1,

x

0

б)

y

1,

x

0

в)

y

1,

x

0

г)

y

1,

x

0

1,

x

0;

1,

x

0;

1,

x

0;

1,

x

0;

2)

а) y

2,

x

0

б)

y

2,

x

0

в)

y

3,

x

0

г)

y

3,

x

0

3,

x

0;

3,

x

0;

2,

x

0;

2,

x

0;

3)

а)

y

1,

x

3

б)

y

2,

x

3

в)

y

1,

x

3

г)

y

2,

x

3

2,

x

3;

1,

x

3;

2,

x

3;

2,

x

3;

4)

а)

y

1,

x

2

б)

y

3,

x

1

в)

y

0,

x

1

г)

y

2,

x

2

3,

x

2;

2,

x

1;

2,

x

1;

1,

x

2.

Пример 7.

Пусть

y

4, x

1

. Тогда на участке

; 1

строим горизон-

3, x

1

тальную прямую

y

4 , а на участке

1;

строим горизонтальную прямую

y 3. При этом точка с координатами

1;

4

«выколота», а точка

1; 3

«закра-

шена». В точке x

1 получается разрыв 1-го рода («скачок»), и

f 1

3 .

0,

x

1

0,

x

1

0,

x

2

1) а)

y

1,

1

x

2

б)

y

0,5, 1

x

3

в)

y

0,25,

2

x 2

0,

x

2;

0,

x

3;

0,

x

2;

0,

x

2

0,

x

1

0,

x

1 3

г)

y

0,2,

2

x 3

д)

y

2,

1

x

1,5

е)

y

3,

1 3

x

2 3

0,

x

3;

0,

x

1,5;

0,

x

2 3;

0,

x

0

0,

x

0

0,

x

0

2) а)

y

2x, 0

x

1

б)

y

0,5x, 0

x

2

в)

y

8x, 0

x

0,5

0,

x

1;

0,

x

2;

0,

x

0,5;

0,

x

1

0,

x

2

0,

x

2

г) y

x

,1 x 3

д) y

x

, 2 x 4

е) y

x

1, 2 x 0

4

6

2

0,

x

3;

0,

x

4;

0,

x

0;

0,

x

0

0,

x

0

0, x

0

3)

а)

y

cos x, 0

x

б)

y

1

cos

x

, 0

x

в) y

1

cos

x

, 0

x

3

2

2

2

3

3

2

0,

x

;

0,

x

;

0,

x

3

;

2

2

0,

x

0

0,

x

0

0,

x

0

г)

y

sin x, 0

x

д)

y

1

sin

x

, 0

x

е) y

2 sin 2x, 0

x

2

4

2

2

0,

x

;

0,

x

;

0,

x

.

2

4

0,

x

0

Пример

8.

Пусть

y

0,5x, 0 x

2 .

На

участке 0; 2

строим

прямую

0,

x

2

y

0,5x ,

для чего находим y 0

0,5 0

0

и

y 2

0,5 2

1 .

Соединяем точки

0; 0

и

2; 1

отрезком. Сами точки не включаем, поскольку при

x

0 и x

2

функция по условию не определена.

На участке

; 0

и

2;

обводим ось OX (на ней

y

0 ),

однако точки

0; 0

и

2; 0

«выколоты». В точке x

0 получаем устранимый разрыв, а в точке

x

2 – разрыв 1-го рода («скачок»).

НФ3. Постройте графики функций и убедитесь в их непрерывности:

0,

x

0

0,

x

0

0,

x

0

1)

а)

y

x,

0

x

1

б)

y

0,5x,

0

x

2

в)

y

2x,

0

x

0,5

1,

x

1;

1,

x

2;

1,

x

0,5;

0,

x

0

0,

x

0

0,

x

0

x

1

г)

y

0,2x,

0

x

5

д)

y

,

0

x

3

е)

y

3x,

0

x

3

1,

x

5;

3

1,

x

3;

1

1,

x

;

3

0,

x

2

0,

x

1

0,

x

2

2) а) y

x 2, 2 x

1 б) y

x 1, 1 x 2

в) y

x 2, 2 x 3

1,

x

1;

1,

x

2;

1,

x

3;

4) а)

y

1 x2 , x 1

б)

y

2x2

1, x

1

в)

y

2x 1, x 1

2x 2 , x 1;

3x 6 , x

1;

2 x2 , x 1;

г)

y

3 2x, x 2

д)

y

2x 5, x

1

е)

y

2x2

, x 1

x2

5 , x 2;

5 2x

2 , x

1;

3 x , x 1;

5) а)

y

x2 ,

x 0

б)

y

0,5x ,

x 0

в)

y

x2

1, x 0

e x , x 0;

x , x 0;

1

x , x 0;

г)

y

x2

2, x 0

д)

y

e x

, x 0

е)

y

2 x , x 0

2e x , x 0;

2 x , x 0.

x 1 , x 0;