5511
.pdf
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Определение. |
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Частной |
производной |
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от |
функции |
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Z |
f |
x, y |
по |
y |
||||||||||||||||||||||||||||
называется |
конечный |
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предел |
Z y |
|
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lim |
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y Z |
lim |
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f x, y |
y |
f x, y |
, |
||||||||||||||||||||||||
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y |
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y |
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||||||||||||||||||||||||||
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y |
0 |
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y |
0 |
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вычисленный при постоянном x . |
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Обозначается |
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частная |
производная |
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так: |
Z x |
, Z y |
|
или |
Z |
; |
Z |
; |
|||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
y |
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f x |
x, y ; f y |
x, y . |
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Пример 16 |
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Найти частные производные функций: |
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a) Z x ln y |
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y |
; |
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b) Z x y . |
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||||||||||||
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|
x |
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Решение: |
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а) при нахождении частной производной по |
х будем рассматривать y |
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как величину постоянную. |
Получим: |
Z |
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ln y |
y |
1 |
|
ln y |
|
y |
. |
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||||||||||||||||||||||
x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
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|
Аналогично, дифференцируя по у, считаем x |
постоянной величиной, т.е. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z y |
x ln y |
|
|
1 |
|
|
y |
x |
|
|
1 |
; |
|
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|||
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x |
y |
x |
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|||||||||||
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|||||||
|
b) при фиксированном |
|
|
y имеем степенную функцию от |
|
х, |
таким образом, |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z x |
y |
x y |
1; |
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при фиксированном x |
функция является показательной относительно y , тогда |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z y |
x y |
ln x . |
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Полный дифференциал функции Z |
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f |
|
x, y |
вычисляется по формуле |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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dZ |
Z |
|
dx |
|
Z |
dy . |
|
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||||||||
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|||||||||||||
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|
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|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
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|
Пример 17 |
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|||||||
Найти полный дифференциал функции |
|
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|
Z |
|
x 4 |
|
5x 2 y |
2 y 3 . |
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|||||||||||||||||||||||
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Решение: |
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|
Z |
|
4x3 |
10xy ; |
|
|
Z |
|
5x 2 |
|
|
6 y 2 |
5x 2 |
|
6 y 2 |
; |
|
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|||||||||||||||
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||||||||||||||||||||
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|
x |
|
|
|
y |
|
|
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|||||||||||||||||||||||
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|||||
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dZ |
4x3 |
10xy |
|
dx |
5x 2 |
6 y 2 dy . |
|
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Тема 6. |
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Интегральные исчисления |
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Неопределённый интеграл |
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Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для |
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функции ƒ(х) на промежутке X, |
если в каждой точке x этого промежутка |
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31
F/ (x) = f(x).
Если функция f(x) имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных, причём все первообразные содержатся в выражении F(x) + С, где С ─ произвольная постоянная.
Определение. Совокупность всех первообразных функции ƒ(х) на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции f(x) и
обозначается |
f |
x dx, |
т.е. f (x)dx F (x) C . |
|
|||
|
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|
Свойства неопределённого интеграла |
||||
1. |
a f x dx |
a |
f x dx , a ─постоянное число. |
|
|||
2. |
f1 x |
f 2 x |
f3 x dx |
f1 x dx |
f 2 x dx |
f3 x dx . |
|
3. |
d[ f x dx] |
f x dx . |
|
|
|
4.f x dxf x .
5.dF x F x C .
Таблица основных интегралов
№ |
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Формула |
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№ |
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Формула |
|
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|||||||||||||||||||||
1 |
|
0 |
dx |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
cos xdx |
sin x |
|
|
|
C |
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
ctgx |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dx |
x |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x n dx |
|
|
x |
n 1 |
|
C , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
tgx |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1, n const |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
dx |
ln |
|
x |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
x |
|
|
C |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
a x dx |
|
a x |
|
C , a |
|
|
|
0, a 1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
arctg |
|
x |
|
|
C |
|||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
ln a |
|
|
|
12 |
|
a |
2 |
|
x |
2 |
|
|
|
a |
|
|
a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
ln |
|
|
x a |
|
C |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6 |
|
e x dx e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
a |
|
|
|
2a |
|
x a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7 |
|
sin xdx |
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
C |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
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ln |
x |
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x 2 |
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a |
C |
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x 2 |
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a |
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||||||||||||||||||||||||||
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Пример 18 |
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2 |
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Найти интеграл |
2 |
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x |
1 |
dx . |
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|
x |
|
x |
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32
Решение :
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1 2 |
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2 |
|
x |
|
|
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|
dx |
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4x 4 |
|
x 1 |
dx |
|
4 4 |
|
1 |
|
|
dx |
||||||||||||||||
|
|
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|||||||
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|
x x |
|
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|||||||||||||||||
x |
|
x |
|
|
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|
|
x |
|
x |
|
|
|
x |
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
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|
3 |
|
|
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|
1 |
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|
|
|
|
1 |
|
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||||||
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|
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|
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||||||||||||||||
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|
2 dx 4 |
|
|
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2 dx 8x 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4 x |
|
|
|
x |
4 ln |
x |
2x |
|
|
|
C |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||
8 x |
|
4 ln |
x |
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||
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||||||||||
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|
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||||||||||
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|
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|
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|
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|||||||||||
|
|
|
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|
|
|
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|
x |
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
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|
|
Таблицу интегралов можно расширить, если применить формулы:
а) |
f ax |
b dx |
1 |
F ax b C , если f x dx F x C ; |
|||
a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|||
б) |
dx ln |
|
x |
C . |
|||
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Пример 19
Найти интегралы.
а) |
e |
4x |
5 |
dx |
1 |
e |
4x |
5 |
C ; |
|
б) sin 3x 2 dx |
1 |
|
cos 3x 2 C ; |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2dx |
|
|
1 |
|
|
C ; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
3 2x |
|
|
|
|||||||||||||
3 |
2x |
2 |
|
|
|
3 |
2x |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
г) |
|
x dx |
|
|
|
|
1 10x dx 1 |
|
|
C . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
5x 2 |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5x 2 |
|
3 |
10 |
|
|
5x 2 |
3 |
10 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замена переменной в неопределённом интеграле (метод подстановки)
Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной, описываемый следующей формулой:
|
|
|
|
|
|
f |
x dx |
|
f |
t |
t dt , |
||||
где x |
t ─ функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. |
||||||||||||||
Пример 20 |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
||
Найти интегралы: |
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|
|
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|
|
||
а) x 2 3 |
2x3 4 dx ; б) |
|
x |
2 |
dx |
|
arctg |
3 |
x |
dx; |
|
2 sin x dx |
|||
|
|
; в) |
|
г) |
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
x6 |
|
|
|
|
|
3 cos2 x |
33
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2x3 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение: |
|
а) |
x 2 3 |
2x3 4 dx |
|
6x 2 dx |
|
dt |
|
1 |
t 4 dt |
1 |
|
C |
|
1 |
3 2x3 5 |
C ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
6 |
|
5 |
|
|
30 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2dx |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x 2 dx |
|
|
|
x3 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
3x 2 dx |
|
|
dt |
1 |
|
|
|
dt |
|
|
|
1 |
arcsin t |
C |
|
|
1 |
arcsin x3 |
C ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
x 6 |
|
|
|
x 2 dx |
|
1 |
|
3 |
1 |
|
t 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
arctg3 x |
|
|
|
|
arctgx t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 4 |
|
|
|
|
|
arctg4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
в) |
|
|
dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 3dt |
|
|
C |
|
|
C ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
dt |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||
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|
|
|
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|||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 sin xdx |
|
cos x |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin xdx |
dt |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 ln |
t |
|
3 |
|
t 2 |
|
C |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
г) |
3 |
|
cos 2 x |
|
|
3 |
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin xdx |
dt |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
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2 ln |
cos x |
3 |
cos 2 x |
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C. |
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Интегрирование по частям |
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Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле |
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U |
dV |
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U V |
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V |
dU , |
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где U |
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x , V |
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x |
─ непрерывно дифференцируемые функции. |
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При использовании этой формулы за U берется та функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dV - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
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Пример 21. |
Найти интегралы: |
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a) |
x e7x dx; |
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б) |
x3 ln x dx ; |
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в) |
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arctgx dx . |
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Решение: |
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x e7xdx |
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U |
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x; |
dU |
dx; |
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1 |
x e7 x |
1 |
e7 xdx |
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a) |
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7x |
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7 x |
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1 |
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7 x |
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7 |
7 |
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dV |
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e |
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dx; |
V e |
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dx |
7 e |
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; |
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x e7 x |
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1 |
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e7x |
C; |
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7 |
49 |
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34
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U |
ln x ;dU |
1 |
dx; |
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x4 |
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x4 |
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x4 |
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б) x3 ln xdx |
x |
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x4 ln x |
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1 |
dx |
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ln x |
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C; |
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4 |
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dV x3dx; V |
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x3dx |
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x |
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4 |
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4 |
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x |
4 |
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16 |
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; |
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4 |
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в) |
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U |
arctgx; |
dU |
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dx |
; |
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x |
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1 |
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2 |
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1 |
x2 |
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arctgxdx |
dV |
dx; |
V |
dx |
x; |
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x arctgx |
1 |
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x2 |
dx x |
arctgx |
2 |
ln( x |
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1) C. |
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Определенный интеграл Формула Ньютона – Лейбница
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и F(x) ─ первообразная для f(x) на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона ─ Лейбница
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b |
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a |
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f (x)dx F (x) |
F (b) |
F (a) . |
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a |
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b |
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Пример 22 |
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e 3 |
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1 |
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ln x |
dx . |
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Вычислить: |
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x |
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1 |
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Решение: |
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|
t |
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1 ln x |
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1 |
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4 |
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e |
3 |
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dx |
dt |
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2 |
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3 |
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||||||||||
1 ln x |
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|
t |
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3 3 |
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3 |
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||||||||||||||||
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3 |
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2 |
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4 |
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3 |
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dx |
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x |
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tdt |
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2 |
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1 |
( |
16 1) |
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1 |
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||||||||||||||
1 |
|
|
x |
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при x |
1 |
t |
1 |
ln 1 |
1 |
1 |
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4 \ 3 |
4 |
|
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|
4 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||
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при x |
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e |
t |
1 |
ln e |
2 |
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Формула интегрирования по частям |
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|
b |
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ba |
b |
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U dV |
U V |
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V dU |
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||||||||||||
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Пример 23 |
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a |
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|
a |
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||||||||||
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/ 2 |
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U |
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x |
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dU |
dx |
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/ 2 |
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/ 2 |
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||||||||||
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x cos xdx |
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x sin x |
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sin xdx |
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dV |
cos xdx |
V |
cos xdx |
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sin x |
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0 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
0 |
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|
0 |
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|||||||||||||||||||||
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/ 2 |
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|||
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sin |
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0 sin 0 |
cos x |
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cos |
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cos 0 |
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1. |
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||||||||||
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||||||||||||||||
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|
2 |
2 |
|
|
0 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
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35
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Площадь плоской фигуры |
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Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой y f (x) , |
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снизу ─ непрерывной кривой y |
(x) , слева ─ прямой x a , справа прямой |
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b |
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x |
b , вычисляется по формуле S ( f (x) (x))dx |
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||||||||
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a |
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Пример 24 |
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Найти площадь фигуры, ограниченной линиями |
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y |
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1 |
(x 2) 2 , x 2 y 14 0 . |
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4 |
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||||||
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Решение: Определим точки пересечения данных линий. Из уравнения |
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y |
1 |
(x 2) 2 |
||
|
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|
|
y 7 |
x |
4 |
|||||
прямой находим |
|
. Решим систему |
|
x . |
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2 |
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y |
7 |
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2 |
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|||
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x1 |
4, x2 |
6 , y1 |
9 , y2 |
4 . |
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|
|
|
Таким образом, прямая и парабола пересекаются в точках А (-4;9) и В (6;4) (рисунок 6).
y
A 9
|
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B |
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x |
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-4 |
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0 |
2 |
|
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|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рисунок 6 ─ Фигура, ограниченная линиями |
y |
|
1 |
(x |
2) 2 , x |
|
2 y |
|
14 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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Площадь фигуры равна |
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|
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|
|
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|
|
||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
x |
|
1 |
(x 2) 2 ) |
|
|
|
6 |
|
x |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
x |
|
x |
2 |
|
|
||||||||
S |
|
(7 |
|
dx |
(7 |
|
|
|
|
|
|
x |
1)dx |
6 |
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
4 |
2 |
4 |
|
|
2 |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x 2 |
|
|
x 3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||
|
6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
9 18 |
24 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
|
12 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
|
|
|
|
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|
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|
36
Задания для выполнения контрольной работ
Задание 1. Прямая линия на плоскости
В задачах 1 – 20 даны вершины треугольника ABC. Найти: а) уравнение стороны AB;
б) уравнение высоты CD, проведённой из вершины C к стороне AB; в) уравнение медианы BM, проведённой из вершины B к стороне AC;
г) построить чертеж.
№ |
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
А(–3; 9), |
В(4; –2), |
С(7; 6). |
11 |
А(8; 1), |
В(–2; –1), |
С(4; –11) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
А(2; 8), В(–6; –2), |
С(4; 2). |
12 |
А(–4; –6), |
В(7; 3), |
С(–6; |
4). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
А(–6; 4), |
В(3; –7), |
С(6; 3). |
13 |
А(8; –4), |
|
В(6; 6), С(–3; 0). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
А(–7; 1), |
В(0; –7), |
С(4; 3). |
14 |
А(–4; 0), |
|
В(8; –3), |
С(3; 7). |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
А(–2; –6), |
В(3; 4), |
С(–8; 0). |
15 |
А(–5; –5), |
В(8; –2), |
С(1; |
4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
А(–2; 8), |
В(–11; 3), |
С(2; –3). |
16 |
А(–3; 9), |
|
В(–1; –1), |
С(10; 7) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
7 |
А(8; –4), |
В(3; 9), |
С(–5; 2). |
17 |
А(6; 7), |
В(–5; 0), С(8; –6). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
А(0; –9), |
В(8; 2), |
С(–2; 2). |
18 |
А(–1; 7), |
|
В(–2; –5), |
С(8; |
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
А(–3; –1), |
В(12; –2), |
С(3; 7). |
19 |
А(0; –2), |
|
В(16; –1), |
С(6; |
6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10 |
А(–2; 9), |
В(–10; 1), |
С(4; 3) |
20 |
А(12; –4), |
В(7; 9), |
С(0; –5). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2. Кривые второго порядка
Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.
1 |
а) 5y2 |
4x 80 y |
312 |
0; |
|
б) |
x2 |
4y2 |
8x |
8y |
24 |
0. |
|
|||||
2 |
а) x2 |
16 y2 |
8x 64 y 64 0; |
|
б) xy x 5y 2 0. |
|
|
|
|
|||||||||
3 |
а) 8x2 |
80x |
3y |
218 |
0; |
|
б) 9x2 |
y2 |
90x |
14 y |
140 |
0. |
||||||
4 |
а) 9x2 |
4y2 |
90x |
24 y |
225 |
0; |
б) |
xy |
2x |
3y |
10 |
0. |
|
|
||||
5 |
а) 7 y2 |
2x |
98 y |
327 |
0; |
|
б) |
4x2 |
25 y2 |
|
24x |
|
50 y |
111 0. |
||||
6 |
а) 16x2 |
9y2 |
192x 90 y |
657 |
0; |
б) |
xy |
3x |
y |
11 |
0. |
|
|
|
|
|||
7 |
а) 7x2 |
14x |
6y |
31 |
0; |
|
|
б) |
4x2 |
y2 |
16 y |
128 |
0. |
|
|
|||
8 |
а) 4x2 |
9y2 |
72x |
108 y |
612 |
0; |
б) |
xy |
x |
7 y |
13 |
0. |
|
|
|
|
||
9 |
а) 2y2 |
7x |
36 y |
162 |
0; |
|
б) |
9x2 |
64 y2 |
|
54x |
|
495 |
|
0. |
|||
10 |
а) 4x2 |
9y2 |
24x |
144 y |
576 |
0; |
б) |
xy |
2x |
4 y |
3 |
0. |
|
|
|
|
||
11 |
а) 4x2 |
16x |
9y |
29 |
0; |
|
|
б) |
x2 |
9y2 |
|
4x 90 y 140 |
0. |
37
12 |
а) x2 |
9y2 |
2x 54 y 46 0; |
|
б) xy 3x y 6 0. |
|
|
|
|||||||
13 |
а) 7 y2 |
9x |
42 y |
117 |
0; |
|
б) |
4x2 |
y2 |
40x |
16 y 20 |
0. |
|
||
14 |
а) 4x2 |
y2 |
64x |
10 y |
265 |
0; |
б) |
xy |
2x |
2 y |
15 |
|
0. |
|
|
15 |
а) 3x2 |
36x |
7 y |
73 |
0; |
|
б) |
x2 |
16 y2 |
12x |
32 y |
84 |
0. |
||
16 |
а) 25x2 |
y2 |
150x 14 y 249 |
0; |
б) |
xy |
5x |
4 y |
8 |
0. |
|
|
|||
17 |
а) 9y2 |
8x |
18y |
41 |
0; |
|
б) |
49x2 9y2 |
72 y |
585 |
0. |
|
|||
18 |
а) x2 |
49 y2 |
16x |
392 y 799 |
0; |
б) |
xy |
2x |
6y |
20 |
0. |
|
|
||
19 |
а) 7 y2 |
6x |
54 |
0; |
|
|
б) |
x2 |
25 y2 |
14x |
100 y |
26 |
0. |
||
20 |
а) x2 |
4y2 |
10x 16 y 5 0; |
|
б) xy x 3y 2 0. |
|
|
|
Задание 3. Методы решения систем линейных уравнений
Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера.
|
№ |
|
|
Система уравнений |
№ |
Система уравнений |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4x1 |
|
2x2 |
3x3 |
4; |
11 |
x1 |
2x2 |
8x3 |
7; |
|
|
3x1 |
|
x2 |
2x3 |
11; |
|
3x1 |
4x2 |
x3 |
0; |
|
|
2x1 |
|
3x2 |
x3 |
15. |
|
x1 |
2x2 |
3x3 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4x1 |
x2 |
8x3 |
8; |
12 |
2x1 |
2x2 |
6x3 |
8; |
|
|
|
4x1 |
|
6x2 |
3x3 |
12; |
|
x1 |
7x2 |
5x3 |
2; |
|
|
x1 |
|
2x2 |
4x3 |
11. |
|
x1 |
3x2 |
5x3 |
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2x1 |
|
5x2 |
8x3 |
9; |
13 |
x1 |
2x2 |
3x3 |
7; |
|
|
3x1 |
|
3x2 |
2x3 |
8; |
|
2x1 |
5x2 |
2x3 |
7; |
|
|
x1 |
2x2 |
4x3 |
5. |
|
x1 |
3x2 |
x3 |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x1 |
5x2 |
7x3 |
4; |
14 |
2x1 |
10x2 |
2x3 |
8; |
|
|
|
3x1 |
|
x2 4x3 |
7; |
|
x1 |
5x2 |
x3 |
6; |
|
|
|
x1 |
|
2x2 |
3x3 |
1. |
|
4x1 |
4x2 |
2x3 |
0. |
5 |
|
2x1 |
|
5x2 |
7x3 12; |
15 |
2x1 |
4x2 |
2x3 |
6; |
|
|
|
4x1 |
|
6x2 |
2x3 |
0; |
|
3x1 |
3x2 |
x3 |
3; |
|
|
x1 |
|
2x2 |
3x3 |
5. |
|
x1 |
7x2 |
2x3 |
10. |
6 |
|
1x1 |
4x2 |
2x3 |
6; |
16 |
x1 |
4x2 |
2x3 |
4; |
|
|
|
6x1 |
|
4x2 |
8x3 |
8; |
|
6x1 |
3x2 |
8x3 |
4; |
|
|
2x1 |
|
9x2 |
4x3 |
13. |
|
2x1 |
7x2 |
4x3 |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
7 |
3x1 |
|
|
|
9x2 |
2x3 |
|
|
|
|
|
7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
x1 |
8x2 |
|
|
|
6x3 |
|
|
13; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x1 |
6x2 |
|
|
|
|
2x3 |
|
|
|
|
|
|
7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 |
6x2 |
|
|
|
|
|
4x3 |
12; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
x1 |
|
2x2 |
|
2x3 |
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
2x2 |
|
|
|
|
|
4x3 |
5. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8 |
x1 |
2x2 |
|
|
|
8x3 |
|
|
|
14; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
7x1 |
|
4x2 |
|
|
|
4x3 |
4; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x1 |
|
|
|
6x2 |
|
|
x3 |
|
|
|
8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x1 |
2x2 |
|
|
|
|
2x3 |
10; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x1 |
|
3x2 |
|
2x3 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x1 |
|
9x2 |
|
|
|
|
|
|
5x3 |
17. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9 |
|
2x1 |
|
|
|
2x2 |
|
2x3 |
|
|
|
|
|
10; |
|
|
|
19 |
|
3x1 |
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
6x3 |
6; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x1 |
|
|
|
x2 |
|
5x3 |
|
|
|
5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 |
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
4x3 |
2; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x1 |
|
|
|
3x2 |
|
|
x3 |
|
|
|
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x1 |
3x2 |
|
|
|
|
|
3x3 |
3. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10 |
|
x1 |
|
2x2 |
|
4x3 |
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
4x1 |
4x2 |
x3 |
9; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4x1 |
|
2x2 |
|
x3 |
|
|
|
10; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
3x3 |
2; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
3x1 |
|
2x2 |
|
7x3 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 |
|
3x2 |
|
|
|
|
6x3 |
12. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|||||||||
|
Задание 4. Предел функции |
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Найти предел. |
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
|
|
5x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|||||||||||||||
|
|
a) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x 3 |
|
|
|
x |
2 |
|
||||||||||||||||
|
2 |
a) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x 2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
7x 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
2 |
|
|
9 |
|
|
|
x3 |
7 |
||||||||||||||||
|
3 |
a) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||
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|||||||||||||||
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
a) |
lim |
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2x2 1 ; |
|
б) |
lim |
x 1 |
|
4x2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
5 |
a) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
x . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
4x |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
6 |
a) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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x |
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3x |
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x3 |
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x2 |
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9 |
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a) |
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5x |
3 |
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7 |
lim |
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б) |
lim |
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x . |
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5x |
2 |
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1 |
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x |
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5x 3 |
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x |
0 |
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3 |
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39
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x2 |
8 |
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8 |
a) |
lim |
9 |
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x |
2 |
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; |
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6x |
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7 |
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б) |
lim |
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4 |
. |
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3 |
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x |
4 |
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x |
5 |
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|
6x |
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5 |
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|||||||||||||||||||||
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x |
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5 |
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a) |
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7 x2 |
|
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|||||||||||||
9 |
lim |
|
|
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|
x2 |
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|
x |
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|
3 |
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x2 |
x 3 ; |
б) |
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5 |
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|
x2 |
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|
|
x |
|
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|
lim |
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5 |
|
|
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|
. |
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|||||||
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x |
0 |
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2x2 |
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14 x |
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16 |
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x3 |
4 |
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|||||||||||||||||||||
10 |
а) |
lim |
|
|
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|
; |
|
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|
б) |
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3x |
3 |
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7 |
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13 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
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10 x |
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16 |
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|
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lim |
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. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
8 |
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3x |
3 |
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x |
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2 |
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x |
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12 |
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x2 |
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11 |
a) |
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lim |
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; |
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б) |
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1 |
8x |
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4 . |
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|||||||||||||||||||||
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x |
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4 |
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2 |
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lim |
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|||||||||||||||||||
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x |
4 |
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|
x |
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16 |
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5 |
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8x |
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x |
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|
x3 |
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|
3x2 |
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7 |
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|||||||||||
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a) |
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7 |
4x |
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|||||||||||||||||
12 |
lim |
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б ) |
lim |
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x |
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
2 |
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1 |
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3x |
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1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
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7 |
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x |
0 |
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x2 |
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2 |
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2 |
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lim |
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2x |
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x2 |
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x |
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6 |
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3 |
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2x |
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x |
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a) |
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3x2 |
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5x 2 |
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7 2x |
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x 3 |
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14 |
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lim |
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. |
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2 x2 |
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7x 10 |
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8 2x |
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x |
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2x2 |
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x2 |
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4 |
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2 |
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a) |
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lim |
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lim |
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x |
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4x |
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1 |
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2x |
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x |
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5 |
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x |
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5x2 |
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25x |
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30 |
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x3 |
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6 |
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4x |
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a) |
lim |
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x |
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2x |
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8 |
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x |
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4x |
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2 |
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16 |
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4x |
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a) |
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lim |
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lim |
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3 |
. |
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x |
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4 |
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x |
2 |
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16 |
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4 |
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4x |
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x3 |
1 |
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18 |
a) |
lim |
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2x |
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7 |
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3 |
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; |
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б) |
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6x |
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4 |
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||||||||||||
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x |
4 |
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2 |
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6x3 |
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x |
8 |
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6 |
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a) |
lim |
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x |
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x |
2 |
1 |
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x |
2 |
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б) |
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4x 3 |
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4x2 |
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7 |
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3x |
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9x. |
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3 27 x3 |
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