Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5398

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

годовую брутто-ставку на случай смерти, уплаченную страхователем. В

конце

п – 1 года поступает сумма

пТ х( г,н )lx n 1 и выплачивается сумма

x n 2

1) T (г,б) .

И наконец

в конце п-го года выплачивается на

n x

случай смерти сумма

T г,б

x n 1

и на дожитие сумма l

x n

S .

Графическое изображение этого потока наличности представлено на рисунке 2.7.

nTx( г ,н )lx	п	Т ( г,н )l	x 1	nTx( г,н )lx n 1 dx n 1 S2 nnTx( г,б )
	п	х	x 1

1	· · ·	п-1	п	t
	· · ·

dx S2 nTx( г,б )	d	x n 2	S	2	( n 1) T ( г,б )	lx nS1
		x n 2		2	n x

Рисунок 2.7 – Поток наличности при смешанном страховании детей с годичными и месячным взносами

Приравнивая текущую стоимость этого потока наличности к нулю,

получим равенство

0 T ( г ,н ) l	x	l	V ... l	V n 1	d	x	S	T ( г ,б )	V ...	dx+n-1(S2 +
n x	x		x 1	x n 1		x		2 n x
+nnTx(г,б)) Vn – lx+nS1.									(2.29)

Нетто- и брутто-премии ввиду равенства (1.1) связаны соотношением

T (г,н)	1 f T (г,б ) ,	(2.30)
n x	n x

где f – доля нагрузки. Уравнение (2.29) на основании формулы (2.30)

преобразуется к виду:

T ( г,б ) [(1 f )(l

... l

V n 1 )

V ... n d

V n ]

... d

V n )

n x

x n 1

V n .

(2.31)

Если теперь обе части равенства (2.31 ) умножить на величину V x и

воспользоваться определениями (2.4) и (2.6) коммутационных чисел,

получим равенство

T ( г,б ) [( 1

f )( D ...

)

( C

x 1

... nC

x n 1

)]

n x

x n 1

S2( Cx ...

Cx n 1 )

S1Dx

или ввиду определений (2.5) и ( 2.7) равенство

T ( г ,б )

S1Dx n

S2 ( M x

M x

n )

(2.32)

n x

(1 f )( Nx

n ) ( Cx ...

nCx n

1 )

Выразим теперь сумму из (2.32) через коммутационные числа Rx,

определяемые формулой (2.8). Для этого перегруппируем эту сумму следующим образом:

Cx	2Cx 1 3Cx 2 ...			nCx	n 1	Cx	Cx	1 ...	Cx n 1
Cx 1	...	Cx n 1	Cx 2 ...		Cx n 1	...	Cx	n 1	M x M x n
M x 1	M x	n	M x 2	M x n	...	M x n 1		M x n
M x	M x 1	M x	2 ...	M x n 1	nMx n		Rx	Rx n	nMx n . (2.33)

Подставляя равенство (2.33) в (2.32), получим годичную брутто-

премию страхования детей возраста х на срок п лет:

T ( г ,б )	S1Dx n S2	M x	M x n		. (2.34)

n x	1 f Nx Nx n	Rx	Rx n	nM x n

Пример 2.9. Найти годичную брутто-премию страхования детей возраста х = 8 лет на срок п = 10 лет, если страховая премия S1 = 1 млн рублей, страховое пособие S2 = 700 000 рублей, доля нагрузки f = 0,2,

норма доходности i= 0,03.

Решение. Согласно таблице 2.2 :

Dx=55 090, M8 – M18 = 12 989 – 12 477 = 512,

N8 – N18 = 2 116 697 – 1 463 077 = 653 620 ,

– R8 + R18 + 10M18 = – 699 989 + 572 462 + 10 12 477 = – 2 759 .

Подставляя найденные числа в формулу (2.34), получим


	Т		(г,б ) 106		55090 7 105 512			10	5	55090 3584	106 603	рублей.
10		8		0,8		653620	2759			520137

Ежемесячные брутто-премии находятся так же, как и соответствующие ставки для взрослых (см. пункт 2.6), а именно:

необходимо найти годичную брутто-премию постнумерандо, когда взносы вносятся в конце каждого года, и затем полученное выражение разделить на число 12. При этом окончательная формула принимает следующий вид:

T ( м,б )	1	S1Dx n S2	M x	M x n		.	(2.35)

n x	12 1 f Nx 1 Nx n 1		Rx	Rx n	nM x n

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.В чём заключается льготный характер страхования детей?

2.В чём состоят трудности расчета нетто-премий страхования детей?

3.Какой новый способ используется при расчёте единовременной нетто-премии страхования детей?

4.Какой вид имеет годичная нетто-премия страхования детей?

3. Оценка погрешности в моделях страхования жизни

При расчёте тарифных ставок по страхованию жизни был сделан ряд допущений, которые могут привести к достаточно большим погрешностям. Например, при расчёте тарифа по каждому виду для целей прогнозирования на основании таблицы смертности предполагалось, что число застрахованных данного возраста совпадает с числом доживших до этого возраста согласно таблице смертности. При расчёте тарифов с месячными взносами делалось упрощение задачи, на основании которого в расчёт принималась накопленная за год сумма

месячных взносов, сканцентрированная в конце года. Есть предположения, которые использовались неявно. Так, например, при расчёте тарифов на случай смерти предполагалось, что даты всех смертей в течение одного расчётного года сосредоточены в конце этого года.

В настоящем разделе будет дана оценка погрешностей, вызванных этими допущениями.

3.1. Независимость нетто-ставок страхования жизни от

начального возраста таблицы смертности

В демографической статистике принято строить таблицу смертности исходя из совокупности 100 000 лиц нулевого возраста

(новорождённых). Поэтому при расчёте нетто-премий, например от возраста Х, число застрахованных приходилось принимать равным числу доживших lx до этого возраста из числа 100 000 новорождённых.

Если при расчётах число доживших до возраста Х принять равным числу застрахованных этого возраста, как это и должно быть, то фактически следует пользоваться таблицей смертности с другой совокупностью нулевого возраста. Для этой неизвестной таблицы и коммутационные числа будут другими, следовательно, и нетто-премии могут оказаться также другими.

В настоящем разделе покажем [11], что нетто-премии не зависят от числа лиц начального возраста или от самого начального возраста, с

которого начинается строиться таблица смертности. Как следствие,

будет обосновано применение стандартных таблиц коммутационных чисел.

Пусть l0 – число лиц начального возраста. l1 = l0 – d0 = l0 – q0 = l0 (l– q0 ),

l2 = l1 (l– q1 ) = l0 (l– q0 ) (l– q1 ),

l3 = l2 (l– q2 ) = l0 (l– q0) (l– q1 ) (l– q2 ),

lx = l0 (l– q0 ) (l– q1 ) … (l– qx-1 ),

dx = lxqx = l0 (l– q0 ) … (l– qx-1) × qx .

Если теперь ввести величину Рх = 1 – qx – вероятность не умереть в период от х до х+1 лет, то тогда

х 1
lx = l0 П P , ,
i 0	1
i 0
х 1			. .
dx = l0 П p		q	. .
i 0	i	x
i 0

Рассмотрим теперь единовременную нетто-ставку на случай смерти.

Согласно формуле (2.14) имеем

х 1

х n-2

d xV ...

d x n 1V

q l

П P

...

П PV n

A(e)

i 0

x n-1

i x

х 1

П P

0 i 0

... V n q

х n-2

n 1

П P .

(3.1)

i x

Из формулы (3.1) видно, что величина l0 сокращается, так как находится в числителе и знаменателе. Нетто-премия, таким образом, не зависит от числа лиц начального возраста, а зависит от вероятностей дожить или умереть в течение указанных лет. Более того, в формуле

(3.1) участвуют только вероятности умереть от возраста х и выше.

Следовательно, не имеет значения, от какого возраста (меньше, чем возраст х) начинается таблица смертности.

Эти два фундаментальных вывода имеют место для любых видов страхования жизни. Рассмотрим, к примеру, годичную нетто-премию на дожитие. На основании формулы (2.17) имеем

х n-1

lx nV

П Pi

Eх( г)

i 0

i x

. (3.2)

... l

V n 1

х 1

х n-2

l V

n 1

1 ...

n 1

x n

П P ...

П P

i 0

i x

Из формулы (3.2) также следует, что годичная нетто-премия на дожитие не зависит ни от числа лиц начального возраста, ни от самого начального возраста, а зависит только от вероятности умереть (и нормы доходности).

( м)

3.2 Методики уточнённого расчёта нетто-ставок в страховании

жизни

Рассмотрим страхование на дожитие с месячными взносами от возраста х на срок n лет. Будем предполагать, что число умерших в течение одного года, то есть в течение года от возраста х до возраста

х + 1 за каждый месяц умирает dx/12 человек и так далее от возраста х + n – 1 до возраста х + n – dx+n-1/12 человек. На рисунке 3.1 изображён поток наличности, оживающий финансовые отношения сторон

( м)

11d x n 1

n Е х lx

( м)

n E х

)

11dx )

n Eх

x n 1

n 1

( м)

(lx

( м)

n E х (lx

)

	...			...		...		t
	...			...		...
0	1/ 2	11	1		n 1	n 1	11	n



		12					12
		12					12

lx n

Рисунок 3.1 – Поток наличности при страховании на дожитие с месячными взносами

Символом n Е обозначаетс.я месячная нетто-ставка страхования на дожитие с месячными взносами при уточнённом расчёте по сравнению с упрощённым расчётом, изложенном в пункте 2.6. Для расчёта используем принцип эквивалентности финансовых обязательств сторон,

согласно которому современная стоимость А (0) потока наличности,

изображённого на рисунке 3.1, равна нулю. Трудность состоит в том, что в схеме сложных процентов дисконтировать денежные суммы можно

только на промежутках времени, равных целому числу единиц времени.

Поэтому предложим следующую методику расчёта.

Рассмотрим постоянную силу процента	, эквивалентную норме
доходности i. Эти показатели связаны соотношением [1]
1+ i= е ,	(3.3)
а дисконтирующий множитель имеет вид
V(t) е t.	(3.4)

Предлагается найти искомую нетто-ставку в терминах силы процента и затем в полученной формуле силу процента заменить нормой доходности на основании соотношения (3.3). Современную стоимость

всего потока представим в виде
А (0) = А1 (0) + … + Аn (0)	– Аn+1 (0),	(3.5)

где Аj (0) – современная стоимость доходов страховой организации,

сосредоточенных в j – м году, 1

n, Аn+1 (0) – современная стоимость

расходов страховой организации в n-м году. Тогда

A1 (0)

E х

х n

E х

(lx

d х )е

/12

... n Е х

(lх

11d x )е 11 /12 .

(3.6)

( м)

Представим равенство (3.6) в виде

А (0)

n Е х

(l В

dx B ),

(3.7)

( м)

где

/12

... е 11 /12 ,

(3.8)

/ 12

2е 2

/ 12 ...

11е 11

/ 12.

(3.9)

Величина В1, определяемая формулой (3.8), представляет собой сумму геометрической прогрессии, которая определяется по известной

формуле

	1		е
В1				.	(3.10)
	1	е	/ 12

Величина В2 из выражения (3.9) является суммой арифметико-

геометрической прогрессией и определяется формулой

/ 12

11е

В2

(3.11)

(1 е

/ 12 )2

е / 12

Нетрудно заметить, что А2 (0) определяется равенством

А (0)

n Е х

1 e B ) или

( м)

x 1

( м)

dx 1

(3.12)

A (0)

n E х

VB ),

x 1

где величина V определяется равенством (2.3). Аналогично

( м)

V n

x j

V j 1B ).

(3.13)

(0)

n E х

j-1

Подставляя выражения (3.6), (3.12) и (3.13) в равенство (3.5) и

проводя преобразования, получим

( м)

V n 1 )

В2

V n )

V n .

(3.14)

A (0)

Е х

В (l

... l

... d

x n-1

12V

x n-1

x n

Из равенства А (0) = 0 и выражения (3.14) находим, что

( м)

(3.15)

n Е х

B (l

... l

V n 1 )

... d

V n )

x n -1

12V

x n -1

Так же, как и в разделе 2 выражение (3.15) можно выразить через коммутационные числа в форме

( м)

Dx n

n Е х

B (N

)

x n)

x n

12V

Исключая из выражения (3.10) и (3.11) силу процента

(3.3), окончательно получим

	i				В	1	(1	i)11/12 1	11
В1			,		2					.
	(1 i) - (1	i)11/12		12V		12	(1	(1 i) 1 / 12 )2	1 (1 i) 1 / 12

(3.16)

по формуле

(3.17)

Формула (3.16) вместе с (3.17) уточняет известную приближённую формулу (2.25). Проведём на конкретном примере оценку погрешности.

Найдём ежемесячную нетто-ставку при страховании на дожитие от возраста х = 30 лет на срок n = 15 лет при норме доходности i = 0,03. На основании формулы (2.25) получим, что

		E		( м)				D45					23 161					0,004 362.
15		E		30		12(N31				N46 )	12(864 995 - 422 532)							0,004 362.
15				30

				Оценим					теперь			величину				( м)	по	формуле (3.16). Для			этого
															15 Е	( м)
															15 Е	30
вычислим вначале величины В1															и В2	по формуле (3.17) :
	В1						0,03							11,839 ,

				1	0,03				(1	0,03)11 / 12
				1	0,03				(1	0,03)11 / 12
	В		2		1		(1		0,03)11/ 12				1		11			1	0,02746	4471,177	5,72.
			2
12V					12		(1		(1	0,03) 1/ 12 )2 1 (1					0,03) 1/ 12			12	0,00000605
12V					12		(1		(1	0,03) 1/ 12 )2 1 (1					0,03) 1/ 12			12	0,00000605
Тогда
				( м)						23 161
15 Е				( м)						23 161
				30
				30		11,839(N30 N 45 )								5,72(М 30	М 42 )
						11,839(N30 N 45 )								5,72(М 30	М 42 )
										23 161

11,839(902 824 - 445 690) - 5,72(11 531 -10 179)
		0,004286.

Оценим относительную погрешность приближённой формулы:

0,004362	0,004286	100%	1,77%.

0,004286
0,004286

Таким образом приближённая формула на 1,77 % больше уточнённой. Вывод о превышении приближённой формулы под уточнённой следует и из экономических соображений. Он верен для любого возраста х, любой длительности договора n и процентной ставки i. Действительно, процесс капитализации нетто-фонда понижает тариф.

Чем больше норма доходности, тем меньше тариф. В рамках сделанного в пункте 2.6 упрощающего предположения месячные взносы, внесённые за год, в течение года не подвержены процессу капитализации. Их капитализация начинается с даты окончания соответствующего года.

Следовательно, накопленный к дате окончания договора нетто-фонд уменьшается, а нетто-ставка увеличивается по сравнению с ситуацией,

когда месячный взнос испытывает процесс капитализации начиная с даты его наступления.

Проведём численный анализ относительной погрешности в зависимости от роста нормы доходности i. Экономические соображения

указывают на то, что относительная погрешность должна расти, так как с ростом ставки i растёт темп капитализации.

Пусть i = 0,05. Тогда согласно Приложению Б

	( м)	1	D45		1	10 088
	( м)
15 Е 30							0,00375;
15 Е 30		12	N31	N 46	12	367 227 -143 136	0,00375;
		12	N31	N 46	12	367 227 -143 136
B1			0,05			11,736;

	1	0,05	(1	0,05)11/ 12
	1	0,05	(1	0,05)11/ 12

В2

0,05)11/12

5,599;

12V

(1 0,05) 1/ 12 )2 1 (1

0,05) 1/ 12

( м)

D45

15 Е 30

11,736(N30

N 45 ) 5,599(M30

M 45 )

10 088

11,736(389 224 -153 224) - 5,599(3 426 - 2 763)

0,0365.

Относительная

погрешность

2,74% . Как и предлагалось,

относительная погрешность увеличилась. При этом темп роста составил

234 %.

При норме доходности i = 0,07 аналогично согласно Приложению Г

можно		получить	15	Е ( м)	0,00322,	уточнённую		нетто-ставку
			15	30
	( м)	0,00309, относительную			погрешность			и темп роста
	( м)
15 Е30							4,21%

погрешности 154 % относительно ставки i = 0,05.

Проведём анализ абсолютных погрешностей и соответственно денежных сумм, которые переплачивает страхователь в случае использования приближенных нетто-ставок. Для процентной ставки

i = 3 % абсолютная погрешность 0 0,004362 0,004286 0,000076 рублей в месяц с 1 рубля страховой суммы. Со 100 000 рубля страховой суммы погрешность составит 7,6 рубля в месяц. За весь срок страхования страхователь переплатит 7,6 рубля × 12 месяцев × 15 лет = 1 368 рублей.

Для нормы доходности i = 5 % абсолютная погрешность составит

0 0,00375 0,00365 0,0001 рубля в месяц с 1 рубля страховой суммы.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.35 Mб365393.pdf
#
13.11.20221.35 Mб555394.pdf
#
13.11.20221.35 Mб275395.pdf
#
13.11.20221.35 Mб345396.pdf
#
13.11.20221.35 Mб335397.pdf
#
13.11.20221.35 Mб335398.pdf
#
13.11.20221.35 Mб325399.doc
#
13.11.202232.26 Кб554.doc
#
13.11.20221.36 Mб25400.pdf
#
13.11.20221.36 Mб55401.pdf
#
13.11.20221.36 Mб35402.pdf