5025
.pdf
|
|
|
1) Расстояние d между точками M1 (x1 y1 ) |
|
|
и M 2 (x2 y2 ) определяется по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
( x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x )2 |
|
|
|
|
( y |
2 |
y )2 |
. |
(1) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Подставим в формулу (1) |
|
|
координаты точек А и В, получим |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ( |
|
|
|
|
|
|
8)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АВ |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
81 |
144 15 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2) Уравнение прямой, проходящей через две точки M1 (x1 y1 ) |
и M 2 (x2 y2 ) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
х1 |
|
|
|
|
|
|
у |
у1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставив в |
формулу (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АВ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x ( 4) |
|
|
y 8 |
x 4 y 8 |
|
|
|
|
|
x 4 y 8 |
|
|
|
(АВ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 4x 3y 8 0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
5 ( 4) |
4 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Для нахождения углового коэффициента kАВ |
прямой АВ |
разрешим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полученное уравнение относительно у: |
|
|
|
|
у |
|
|
|
4 |
х |
|
|
8 |
. Отсюда kAB |
4 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Аналогично найдём уравнение прямой ВС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 5 |
|
y ( 4) |
, |
|
x 5 y 4 |
, x |
5 |
|
|
|
y 4 |
|
, 2x |
|
y |
|
|
|
14 0 ─ уравнение ВС в общем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 5 |
|
6 ( |
|
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
виде, |
или y |
2x |
14 ─ уравнение ВС с угловым коэффициентом. Угловой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициент прямой ВС kBC |
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3) Известно, что тангенс угла |
|
|
|
|
|
|
|
между двумя прямыми, угловые |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициенты которых соответственно равны k1 |
|
и k2 , вычисляется по формуле |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
k2 |
k1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 k1k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
найдены: kAB |
|
|
4 |
|
; kBC |
|
2 . Применяя формулу (3), получим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kAB |
kBC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
kABkBC |
1 ( |
|
4 |
)2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
B 63 26 , или B 63 26180 1,11рад.
4) Найдём уравнение высоты СD и её длину.
Высота СD перпендикулярна АВ, чтобы найти угловой коэффициент высоты СD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Угловой
коэффициент k |
|
будет равен k |
|
1 |
, |
k |
|
1/( 4 / 3) |
3 |
. |
|
CD |
CD |
kАВ |
CD |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомая высота проходит через точку С(10,6). Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку, с заданным угловым коэффициентом:
|
y |
|
y0 k(x |
x0 ) . |
(4) |
|
y 6 |
3 |
|
(x |
10) , 3x |
4 y 6 |
0 (СD). |
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Найдём длину высоты CD .
Воспользуемся формулой расстояния от точки D (x0 , y0 ) до прямой
Ax By C 0 :
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
Ax0 By0 |
C |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
B2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Длина высоты CD равна расстоянию от точки C 10;6 до прямой |
|||||||||||||||||||||||||||||
4x |
3y 8 0 AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d |
C, AB |
|
4 xC |
3 yC |
8 |
|
|
|
4 10 3 6 8 |
|
|
40 18 8 |
|
50 |
10. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||
42 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
9 |
|
25 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) Обозначим основание искомой медианы через М.
По определению медианы, М делит сторону ВС пополам. Координаты точки М найдём по формуле
|
|
|
|
|
|
|
( |
х1 |
х2 |
; |
y1 |
y2 |
); |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
М ( |
5 10 |
; |
|
|
4 |
6 |
) |
|
( |
15 |
;1) . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
Чтобы |
записать |
|
уравнение |
медианы |
|
AM, |
воспользуемся |
формулой (2). |
|||||||||||||||||||||
|
x ( |
4) |
|
y |
8 |
, |
|
x 4 |
|
|
|
y |
8 |
|
|
, |
|
2(x |
4) |
|
|
y |
8 |
, 14x 23y 128 |
0 (АМ). |
||||
15 / 2 ( 4) |
1 |
8 |
23/ 2 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
7 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) Найдём уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне АВ.
12
Обозначим искомую прямую СР. Прямые АВ и СР параллельны, по условию
параллельности прямых kAB kCP . Угловой коэффициент kAB |
4 |
, kCP |
4 |
, |
|
|
3 |
||||
3 |
|||||
|
|
|
т.к. искомая прямая проходит через точку С(10,6), воспользуемся уравнением (4)
|
4 |
|
, 3y 18 4x 40 |
, 4x 3y 58 0 |
(СP). |
|
|
|
|
||||
у 6 |
3 (х 10) |
|||||
|
|
|
Задание 2. Линии второго порядка
Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.
Таблица 3 – Данные задания 2 «Линии второго порядка»
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
|
|
|
Уравнения кривых |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
а |
x2 |
14x |
3y |
70 |
0; |
|
|
|
||
б |
4x2 |
|
16y2 72x |
64y |
196 |
0. |
|||||
|
|
||||||||||
2 |
а |
x2 |
12x |
8y |
12 |
0; |
|
|
|
||
б |
25x2 |
4 y 2 |
50x 8y 0. |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||
3 |
а |
y 2 |
|
4 y |
3x |
1 |
0; |
|
|
|
|
б |
5x2 |
|
9 y 2 |
30x 18y 9 0. |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
4 |
а |
2x2 |
|
8x |
y |
5 |
0; |
|
|
|
|
б |
9x2 |
|
4 y 2 |
54x 8y 49 0. |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
5 |
а |
y 2 |
|
2 y |
4x |
13 |
0; |
|
|
|
|
б |
x2 |
|
36y 2 |
8x 72y 16 |
0. |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
6 |
а |
y 2 |
|
16y |
x |
17 |
0; |
|
|
|
|
б |
4x2 |
|
y 2 |
8x 6 y 3 0. |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
7 |
а |
y 2 |
|
2 y |
4x |
13 |
0; |
|
|
|
|
б |
2x2 |
|
y 2 |
20x 2 y 53 0. |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
8 |
а |
3x2 |
|
18x |
y |
31 |
0; |
|
|
|
|
б |
6x2 |
|
8y 2 |
12x |
32y |
10. |
|
||||
|
|
|
|||||||||
9 |
а |
x2 |
|
2x |
4 y |
11 |
0; |
|
|
|
|
б |
4x2 |
|
25y 2 |
24x |
100y |
36 |
0. |
||||
|
|
||||||||||
10 |
а |
x2 |
14x |
3y |
70 0; |
|
|
|
|||
б |
16x2 |
4 y 2 |
96x |
40y |
180 |
0. |
|||||
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
|
|
Уравнения кривых |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11 |
а |
x2 |
2x |
|
4 y |
11 |
0; |
|
|
|||
б |
x2 |
36y2 |
4x 72y 4 0. |
|||||||||
|
||||||||||||
12 |
а |
x2 |
4x |
4 y |
0; |
|
|
|
||||
б |
4x2 |
y 2 |
|
8x 6 y 9 0. |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
13 |
а |
x2 |
2x |
|
3y |
2 |
0; |
|
|
|||
б |
36x2 |
|
y2 |
72x 6 y 9 0. |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
14 |
а |
x2 |
x |
4 y |
|
3 |
0; |
|
|
|
||
б |
x2 |
y 2 |
|
8x 14y 34 0. |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
15 |
а |
y 2 |
y |
|
x |
2 |
0; |
|
|
|
||
б |
5x2 |
y 2 |
10x 6 y 9 0. |
|
||||||||
|
|
|||||||||||
16 |
а |
y 2 |
6 y |
4x |
17 |
0; |
|
|
||||
б |
9x2 |
4 y 2 |
54x |
8y |
113 |
0. |
||||||
|
||||||||||||
17 |
а |
x2 |
2x |
8y |
17 |
0; |
|
|
||||
б |
x2 |
y 2 |
8x 2 y 12 0. |
|
||||||||
|
|
|||||||||||
18 |
а |
y 2 |
20y |
|
x |
102 |
0; |
|
|
|||
б |
x2 |
4 y 2 |
|
24x |
40y |
48 |
0. |
|||||
|
|
|||||||||||
19 |
а |
y 2 |
10y |
|
x |
24 |
0; |
|
|
|||
б |
25x2 |
4 y 2 |
|
200x |
8y 304 0. |
|||||||
|
|
|||||||||||
20 |
а |
y 2 |
10y |
|
x |
24 |
0; |
|
|
|||
б |
25x2 |
4 y 2 |
|
50x |
8y |
121 |
0. |
|||||
|
|
13
Пример 2. Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.
1)х2 + 4у2 - 4х + 16у - 16 = 0;
2)9x2-4y2-54x-8y+41 = 0.
Решение:
1)х2 + 4у2 - 4х + 16у - 16 = 0. Приведём данную кривую к каноническому виду и построим.
Выделим полные квадраты при х и у:
(х2-4х+4)-4+4(у2+4у+4)-16-16=0 , (х-2)2+4(у+2)2-36=0, (х-2)2+4(у+2)2=36,
|
(х 2)2 ( у |
2)2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
36 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получили каноническое уравнение эллипса вида |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(х )2 ( у |
)2 |
|
1. |
(7) |
||
|
|
|
|
|
|
а2 |
|
|
b2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Центр эллипса лежит в точке O/(α,β), оси параллельны осям координат |
|||||||||||
ОХ и OY. Точка O/(2,-2) – центр данного эллипса. Отложим от |
точки O/ |
|||||||||||
отрезки a |
6 b 3 в направлениях, |
параллельных ОХ и OY, |
CС/=2 a =12 |
ВВ/=2 b =6 (рисунок 2).
Y |
Y/ |
|
|
|
|
B/ |
3 |
|
|
|
|
|
|
X |
C |
|
О О O/ |
C/ |
X/ |
-6 |
|
|
6 |
|
|
B |
-3 |
|
|
Рисунок 2 ─ Эллипс
14
2) 9x2-4y2-54x-8y+41 = 0. Приведём данную кривую к каноническому виду и построим.
Выделим полные квадраты при х и у: 9(х2-6х+9)-81-4(у2+2у+1)+4+41 = 0 , 9(х-3)2-4(у+1)2-36 = 0,
9(х-3)2─ 4(у+1)2 = 36 , |
(х 3) 2 |
|
( у 1) 2 |
1. |
|
|
|
||
4 |
9 |
|
Получили каноническое уравнение гиперболы вида
(х |
)2 ( у |
|
)2 |
1. |
(8) |
||
|
а2 |
|
|
b2 |
|
||
|
|
|
|
Центр гиперболы лежит в точке А(α,β), оси параллельны осям координат. Центр данной гиперболы лежит в точке А(3,-1), a =2, b =3. Построим основной прямоугольник гиперболы, откладывая от точки А отрезки b =3 в направлениях, параллельных основным осям координат. BB/=2∙ a =4, СС/=2∙ b =6. Диагонали прямоугольника будут являться асимптотами. Вершины гиперболы – точки B и B/ (рисунок 3).
Y Y/
C
O X
B/ А |
B |
X/ |
C/
Рисунок 3 ─ Гипербола
15
Задание 3. Системы линейных уравнений
1)Решить систему линейных уравнений матричным способом.
2)Найти базисное решение системы уравнений методом Жордана – Гаусса.
Таблица 4 – Данные задания 3 « Системы линейных уравнений»
№ |
|
|
|
|
|
Системы уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 |
2x2 |
x3 |
3 |
|
x1 |
x2 |
|
x3 |
|
2x4 |
|
2x5 |
|
|
1 |
1 |
1) |
4x1 |
3x2 |
x3 |
2 |
2) |
|
x1 |
x3 |
2x4 |
x5 |
|
2 |
|
|||
|
|
3x1 |
2x2 |
2x3 |
1 |
|
3x1 |
2x2 |
x3 |
2x4 |
x5 |
|
4 |
||||
|
|
2x1 |
3x2 |
2x3 |
3 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
2x4 |
2x5 |
|
1 |
|||
2 |
1) |
x1 |
2x2 |
3x3 |
7 |
2) |
|
x1 |
|
x3 |
|
2x4 |
|
x5 |
|
2 |
|
|
|
2x1 |
4x2 |
5x3 |
4 |
|
3x1 |
2x2 |
x3 |
2x4 |
x5 |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3x1 |
2x2 |
5x3 |
6 |
|
2x1 |
x2 |
x3 |
|
x4 |
2x5 |
|
|
3 |
||
3 |
1) |
x1 |
4x2 |
3x3 |
0 |
2) |
|
x1 |
2x3 |
|
x4 |
x5 |
5 |
|
|||
|
|
2x1 |
x2 |
3x3 |
3 |
|
x1 |
2x2 |
x3 |
|
2x4 |
x5 |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2x1 |
x2 |
x3 |
3 |
|
2x1 |
2x2 |
x3 |
2x4 |
2x5 |
3 |
|||||
4 |
1) |
x1 |
3x2 |
5x3 |
2 |
2) |
|
4x1 |
x3 |
2x4 |
x5 |
|
|
2 |
|||
|
|
3x1 |
2x2 |
2x3 |
1 |
|
3x1 |
2x2 |
x3 |
2x4 |
x5 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
x1 |
2x2 |
4x3 |
3 |
|
2x1 |
x2 |
x3 |
|
5x4 |
x5 |
|
|
2 |
||
|
1) |
2x1 |
3x2 |
x3 |
1 |
2) |
3x1 |
x3 |
2x4 |
x5 |
|
|
4 |
||||
|
|
5x1 |
3x2 |
4x3 |
5 |
|
x1 |
2x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4x1 |
2x2 |
x3 |
1 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
3x4 |
x5 |
|
|
2 |
||
6 |
1) |
2x1 x2 |
2x3 |
1 |
2) |
x1 |
x3 |
2x4 |
x5 |
|
3 |
||||||
|
|
x1 |
2x2 |
x3 |
3 |
|
x1 |
5x2 |
x3 |
4x4 |
x5 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
|
3x x |
x |
2 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
3x4 |
x5 |
|
|
2 |
|||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
x 3x |
2x |
1 |
2) |
|
x1 |
x3 |
2x4 |
x5 |
|
3 |
|
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
4x2 |
x3 |
3 |
|
x1 |
5x2 |
x3 |
4x4 |
x5 |
1 |
|||||
8 |
|
x1 |
2x2 |
3x3 |
0 |
|
3x1 |
2x2 |
x3 |
|
3x4 |
x5 |
|
|
2 |
||
|
1) |
2x1 |
x2 |
x3 1 |
2) 2x1 |
x2 |
x3 |
|
2x4 |
x5 |
|
|
3 |
||||
|
|
4x1 |
5x2 |
x3 |
5 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
4x4 |
2x5 |
|
|
4 |
|||
9 |
|
3x1 |
x2 |
x3 |
2 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
3x4 |
x5 |
|
4 |
|||
|
1) |
5x1 |
2x2 |
2x3 |
3 |
2) |
x1 |
x2 |
x3 |
|
2x4 |
x5 |
|
0 |
|||
|
|
x1 |
3x2 |
2x3 |
1 |
|
x1 |
2x2 |
x3 |
|
4x4 |
2x5 |
|
6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
10 |
|
x1 |
2x2 |
|
x3 |
1 |
|
2x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
5 |
||||
|
1) |
3x1 |
x2 |
|
3x3 |
1 |
2) x1 |
|
2x2 |
x3 |
3x4 |
|
x5 |
|
2 |
|||
|
|
2x1 |
4x2 |
|
3x3 |
4 |
|
x1 |
|
x2 |
x3 |
2x4 |
x5 |
|
5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11 |
|
2x1 |
2x2 |
|
3x3 |
6 |
|
2x1 |
3x2 |
x3 |
|
x4 |
|
x5 |
|
1 |
||
|
1) |
2x1 |
3x2 |
|
2x3 |
5 |
2) x1 |
|
2x2 |
x3 |
3x4 |
|
x5 |
|
2 |
|||
|
|
3x1 |
4x2 |
x3 |
3 |
|
x1 |
|
x2 |
2x3 |
2x4 |
|
x5 |
|
2 |
|||
12 |
|
4x1 |
x2 |
|
5x3 |
4 |
|
5x1 |
3x2 |
x3 |
|
x4 |
|
x5 |
|
1 |
||
|
1) |
3x1 |
x2 |
|
2x3 |
3 |
2) x1 |
|
3x2 |
x3 |
3x4 |
|
x5 |
|
2 |
|||
|
|
x1 |
3x2 |
|
x3 |
1 |
|
x1 |
|
x2 |
2x3 |
4x4 |
|
x5 |
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13 |
|
3x1 |
2x2 |
x3 |
6 |
|
x1 |
|
x2 |
3x3 |
2x4 |
|
x5 |
|
4 |
|||
|
1) |
5x1 |
3x2 |
|
2x3 |
9 |
2) x1 |
|
x2 |
x3 |
3x4 |
2x5 |
|
2 |
||||
|
|
3x1 |
2x2 |
|
4x3 |
5 |
|
x1 |
x2 |
2x3 |
|
x4 |
|
x5 |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14 |
|
x1 |
x2 |
2x3 |
1 |
|
2x1 |
x2 |
x3 |
5x4 |
|
x5 |
|
2 |
||||
|
1) |
2x1 |
2x2 |
|
3x3 |
5 |
2) 3x1 |
|
x2 |
4x3 |
x4 |
|
2x5 |
|
1 |
|||
|
|
3x1 |
5x2 |
|
x3 |
0 |
|
x1 |
|
2x2 |
x3 |
x4 |
|
x5 |
|
3 |
||
15 |
|
3x x |
|
2x |
1 |
|
x1 |
|
5x2 |
x3 |
4x4 |
|
x5 |
|
4 |
|||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
2x 4x |
|
x |
3 |
2) |
|
x1 |
x3 |
x4 |
3x5 |
3 |
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 |
4x2 |
|
5x3 |
5 |
|
x1 |
|
x2 |
x3 |
2x4 |
|
x5 |
|
6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16 |
|
x1 |
x2 |
2x3 |
5 |
|
2x1 |
|
x2 |
3x3 |
x4 |
|
x5 |
|
7 |
|||
|
1) |
4x1 |
x2 |
|
2x3 |
9 |
2) x1 |
|
3x2 |
x3 |
2x4 |
|
x5 |
|
6 |
|||
|
|
2x1 |
2x2 |
|
x3 |
3 |
|
x1 |
|
5x2 |
x3 |
2x4 |
|
x5 |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
17 |
|
3x1 |
x2 |
2x3 |
1 |
|
2x1 |
x2 |
3x3 |
x4 |
|
4x5 |
2 |
|||||
|
1) |
x1 |
3x2 |
|
x3 |
2 |
2) |
3x1 |
|
2x2 x3 |
2x4 |
x5 |
2 |
|||||
|
|
4x1 |
x2 |
|
x3 |
3 |
|
x1 |
2x2 |
x3 |
|
3x4 |
x5 |
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
18 |
|
x1 |
2x2 |
|
x3 |
3 |
|
x1 |
|
x2 |
x3 |
2x4 |
|
x5 |
|
2 |
||
|
1) |
x1 |
4x2 |
|
5x3 |
1 |
2) x1 |
4x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
1 |
|||||
|
|
3x1 |
x2 |
2x3 |
5 |
|
x1 |
2x2 |
3x3 |
x4 |
x5 |
|
2 |
|||||
19 |
|
x1 |
3x2 |
|
2x3 |
1 |
|
x1 |
2x2 |
5x3 |
x4 |
x5 |
|
1 |
||||
|
1) |
2x1 |
5x2 |
|
2x3 |
3 |
2) |
x1 |
|
x2 |
2x3 |
x4 |
x5 |
0 |
||||
|
|
2x1 |
x2 |
|
3x3 |
2 |
|
3x1 |
|
x2 |
3x3 |
x4 |
x5 |
1 |
||||
20 |
|
2x1 |
x2 |
|
x3 |
1 |
|
2x1 |
x2 |
x3 |
3x5 |
|
0 |
|
|
|||
|
1) |
x1 |
3x2 |
|
3x3 |
2 |
2) 3x1 |
|
x2 |
2x3 |
x4 |
2x5 |
|
5 |
||||
|
|
4x1 |
2x2 |
|
3x3 |
3 |
|
5x1 |
|
2x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
1 |
17
Пример 3 |
|
|
|
|
|||
1) |
Решить систему уравнений матричным способом. |
|
|
||||
2x1 |
5x2 |
2x3 |
2; |
|
|
|
|
3x1 |
2x2 |
2x3 |
2; |
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
6. |
|
|
|
|
|
|
|
х1 |
|
|
|
|
Решение. Обозначим X = х |
− матрица-столбец неизвестных переменных; |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
х3 |
|
|
|
|
2 |
5 |
2 |
|
|
|
|
A |
3 |
2 |
2 |
− матрица коэффициентов при неизвестных или основная |
|||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
матрица; |
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
A |
|
2 |
− матрица свободных членов системы уравнений. |
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
Систему уравнений можно представить в матричном виде А ∙ X = А0. |
|||||||
Тогда решение системы имеет вид: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Х = А-1 ∙ А0, |
|
(9) |
|
|
|
|
|
а11 |
а12 |
а13 |
где А-1 – обратная матрица к квадратной матрице А = а21 |
а22 |
а23 . |
|||||
|
|
|
|
|
а31 |
а32 |
а33 |
Формула для вычисления обратной матрицы |
|
|
А--1= 1А
А11 |
А21 |
А31 . |
(10) |
А12 |
А22 |
А32 |
|
А13 |
А23 |
А33 |
|
А – определитель матрицы А, который вычисляется по формуле
a11 a12 a13
A a21 a22 a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 (a13 a22 a31 a11 a23 a32 a31 a32 a33
a12 a21 a33 ).
Вычислим определитель матрицы системы:
|
|
2 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
3 |
2 |
2 |
2 |
2 1 |
5 |
2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
2 1 |
2 |
2 |
1 |
5 3 1 |
35 |
0. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная , для неё существует обратная матрица A-1.
18
Вычислим алгебраические дополнения |
Aij |
|
для каждого элемента aij |
основной |
||||
матрицы по формуле A |
1 i j |
M |
ij |
, где |
M |
ij |
– минор того же элемента aij . |
|
ij |
|
|
|
|
|
|
||
Минор M ij элемента |
aij |
– |
|
это |
определитель, полученный из |
данного |
определителя вычеркиванием i-й строки и j-гo столбца.
A11 |
|
|
|
|
|
1 1 |
|
2 |
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 1 |
|
2 |
1 |
2 |
2 |
|
|
0; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
A |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
2 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
2 |
|
1 |
3 |
|
2 |
|
|
5; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 5 |
|
|
|||||||||||||
A |
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
5; A ( 1)3 |
|
|
|
|
7; A |
|
|
|
0; |
A ( 1)5 |
|
|
7; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
23 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14; |
A ( |
1)5 |
|
|
|
|
|
|
10; A |
|
2 |
5 |
|
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Таким образом, по формуле (10) имеем следующую обратную матрицу: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
7 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A 1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
0 |
|
10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
7 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Согласно формуле (9), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
7 |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
2 |
|
7 |
2 |
|
14 6 |
|
|
|
|
|||||||||||||
X |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 0 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
2 0 |
2 10 6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
7 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
5 |
2 |
7 |
2 |
11 6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
14 |
84 |
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
70 |
35 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
10 |
60 |
|
|
70 |
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
35 |
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
10 |
14 |
|
66 |
70 |
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Проверка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Подставим найденные числа |
вместо |
переменных |
x1 , x2 , x3 |
в |
|
исходную |
систему уравнений:
19
2 |
2 |
5 |
2 |
2 |
2 |
2; |
3 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2; |
|
|
2 |
2 |
2 |
6. |
|
Получили верные числовые равенства, следовательно, решение найдено
верно.
Ответ: x1 2, x2 |
2, x3 2 . |
Приведение системы линейных уравнений к системе с базисом методом Жордана – Гаусса
Система уравнений называется системой с базисом, если каждое уравнение системы содержит переменную с коэффициентом 1, отсутствующую в других уравнениях.
Например, рассмотрим систему уравнений с базизом:
|
|
|
x1 |
3x3 |
2x4 |
15; |
|
|
|
x2 |
4x3 |
5x4 |
11. |
Переменные x1, x2 – базисные, x3 , x4 – свободные. Базисное решение |
||||||
|
|
|
|
|
||
X (15, 11,0,0) . |
|
|
||||
|
|
|
Алгоритм метода Жордана – Гаусса |
|||
1. |
Составляем таблицу Жордана – Гаусса. |
|||||
2. |
Выбираем разрешающий элемент из коэффициентов aij 0 при |
|||||
|
|
|
неизвестных, i-я строка и j-й столбец будут называться разрешающими. |
3.Элементы i-й разрешающей строки делят на разрешающий элемент и полученные частные записывают в i-ю строку следующей таблицы.
4.Все элементы j-го столбца следующей таблицы обращаются в 0, кроме элемента, стоящего на месте разрешающего, он равен 1.
5.Все остальные элементы следующей таблицы вычисляются по “правилу прямоугольников”:
aik |
|
aip |
|
|
aqp |
aik aqk |
aip |
|
|||
|
|
|
|
|
|
aik |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
aqp |
|
. |
(11) |
|
aqk |
|
|
|
aqp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20