5018
.pdf
|
|
|
1) Расстояние d между точками M1 (x1 y1 ) |
и M 2 (x2 y2 ) определяется по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
( x |
|
|
|
|
|
x )2 |
|
|
|
|
( y |
2 |
y )2 |
. |
(1) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Подставим в формулу (1) |
|
|
координаты точек А и В, получим |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ( |
|
|
|
|
|
|
8)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АВ |
|
|
5 |
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
81 |
144 15 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2) Уравнение прямой, проходящей через две точки M1 (x1 y1 ) |
и M 2 (x2 y2 ) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
х1 |
|
|
|
|
|
|
у |
у1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
|
|
х1 |
|
|
|
|
|
у2 |
|
у1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Подставив в |
формулу (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АВ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x ( 4) |
|
|
y 8 |
x 4 y 8 |
|
|
|
|
|
x 4 y 8 |
|
|
|
(АВ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 4x 3y 8 0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
12 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 ( 4) |
4 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Для нахождения углового коэффициента kАВ |
прямой АВ |
разрешим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полученное уравнение относительно у: |
|
|
|
|
у |
4 |
х |
|
|
8 |
. Отсюда kAB |
4 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Аналогично найдём уравнение прямой ВС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 5 |
|
y ( 4) |
, |
|
x 5 y 4 |
, x |
5 |
|
|
y 4 |
, 2x |
|
y |
|
14 0─ уравнение ВС в общем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
10 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 5 |
|
6 ( |
|
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
виде, |
или y |
2x |
14 ─ уравнение ВС с угловым коэффициентом. Угловой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициент прямой ВС kBC |
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3) Известно, что тангенс угла |
|
|
|
|
|
|
между двумя прямыми, угловые |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициенты которых соответственно равны k1 |
|
и k2 , вычисляется по формуле |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
k2 |
k1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 k1k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
найдены: kAB |
|
|
4 |
|
; kBC |
|
2 . Применяя формулу (3), получим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kAB |
kBC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgB |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
kAB kBC |
1 ( |
|
4 |
|
)2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
B 63 26, или B 63 26180 1,11рад.
4) Найдём уравнение высоты СD и её длину.
Высота СD перпендикулярна АВ, чтобы найти угловой коэффициент высоты СD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Угловой
коэффициент k |
|
будет равен |
k |
|
1 |
, |
k |
|
1/( 4 / 3) |
3 |
. |
|
CD |
CD |
kАВ |
CD |
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомая высота проходит через точку С(10,6). Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку, с заданным угловым коэффициентом:
|
y |
y0 |
k (x |
x0 ) . |
(4) |
|
y 6 |
3 |
|
(x |
10) , 3x |
4y 6 |
0 (СD). |
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Найдём длину высоты CD .
Воспользуемся формулой расстояния от точки D (x0 , y0 ) до прямой
Ax By C 0:
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
Ax0 |
By0 C |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 B2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Длина высоты CD равна расстоянию от точки C 10;6 до прямой |
|||||||||||||||||||||||||||
4x |
3y 8 0 AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d |
C, AB |
|
4 xC |
3 yC 8 |
|
|
|
4 10 3 6 8 |
|
|
40 18 8 |
|
50 |
10. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||||||
42 |
32 |
|
|
|
|
16 |
9 |
|
|
|
25 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) Обозначим основание искомой медианы через М.
По определению медианы, М делит сторону ВС пополам. Координаты точки М найдём по формуле
|
|
|
|
|
|
|
( |
х1 |
х2 |
; |
y1 |
y2 |
); |
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
М ( |
5 10 |
; |
|
|
4 |
6 |
) |
|
( |
15 |
;1) . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
Чтобы |
записать |
|
уравнение |
медианы |
|
AM, |
воспользуемся формулой (2). |
|||||||||||||||||||||
|
x ( |
4) |
|
y |
8 |
, |
|
x 4 |
|
|
|
y |
8 |
|
|
, |
|
2(x |
4) |
|
|
y |
8 |
, 14x 23y 128 0 (АМ). |
||||
15/ 2 |
( 4) |
1 |
8 |
23/ 2 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
7 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) Найдём уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне АВ.
12
Обозначим искомую прямую СР. Прямые АВ и СР параллельны, по условию
параллельности прямых |
k |
|
k |
|
. Угловой коэффициент k |
|
4 |
, k |
|
4 |
, |
|
AB |
CP |
AB |
|
CP |
3 |
|||||||
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.к. искомая прямая проходит через точку С(10,6), воспользуемся уравнением (4)
у 6 |
4 |
(х 10) , 3y 18 4x 40, 4x 3y 58 0 (СP). |
|
3 |
|||
|
|
Задание 2. Линии второго порядка
Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.
Таблица 3 – Данные задания 2 «Линии второго порядка»
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
|
|
|
Уравнения кривых |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
а |
x2 |
14x |
3y |
70 |
0; |
|
|
|
|||
б |
4x2 |
|
16y2 72x |
|
64y |
196 |
0. |
|||||
|
|
|
||||||||||
2 |
а |
x2 |
12x |
8y |
12 |
0; |
|
|
|
|||
б |
25x2 |
4 y 2 |
50x 8y 0. |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
3 |
а |
y 2 |
|
4 y |
3x |
1 |
0; |
|
|
|
||
б |
5x2 |
|
9 y 2 |
30x 18y 9 0. |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
4 |
а |
2x2 |
|
8x |
y |
5 |
|
0; |
|
|
|
|
б |
9x2 |
|
4 y 2 |
54x 8y 49 0. |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
5 |
а |
y 2 |
|
2 y |
4x |
13 |
0; |
|
|
|
||
б |
x2 |
|
36y 2 |
8x |
72y 16 |
0. |
|
|||||
|
|
|
||||||||||
6 |
а |
y 2 |
|
16y |
x |
17 |
|
0; |
|
|
|
|
б |
4x2 |
|
y 2 |
8x 6 y 3 0. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
7 |
а |
y 2 |
|
2 y |
4x |
13 |
0; |
|
|
|
||
б |
2x2 |
|
y 2 |
20x 2 y 53 0. |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
8 |
а |
3x2 |
|
18x |
y |
31 |
0; |
|
|
|
||
б |
6x2 |
|
8y 2 |
12x |
32y |
10. |
|
|||||
|
|
|
||||||||||
9 |
а |
x2 |
|
2x |
4 y |
11 |
0; |
|
|
|
||
б |
4x2 |
|
25y 2 |
24x |
100y |
36 |
0. |
|||||
|
|
|||||||||||
10 |
а |
x2 |
14x |
3y |
70 |
0; |
|
|
|
|||
б |
16x2 |
4 y 2 |
96x |
40y |
180 |
0. |
||||||
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
|
|
Уравнения кривых |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11 |
а |
x2 |
2x |
|
4 y |
11 |
0; |
|
|
|||
б |
x2 |
36y2 |
4x 72y 4 0. |
|||||||||
|
||||||||||||
12 |
а |
x2 |
4x |
4 y |
0; |
|
|
|
||||
б |
4x2 |
y 2 |
|
8x 6 y 9 0. |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
13 |
а |
x2 |
2x |
|
3y |
2 |
0; |
|
|
|||
б |
36x2 |
|
y2 |
|
72x 6 y 9 0. |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
14 |
а |
x2 |
x |
4 y |
3 |
0; |
|
|
||||
б |
x2 |
y 2 |
|
8x 14y 34 0. |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
15 |
а |
y 2 |
y |
x |
2 |
0; |
|
|
|
|||
б |
5x2 |
y 2 |
|
10x 6 y 9 0. |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
16 |
а |
y 2 |
6 y |
|
4x |
17 |
0; |
|
|
|||
б |
9x2 |
4 y 2 |
54x |
8y |
113 |
0. |
||||||
|
||||||||||||
17 |
а |
x2 |
2x |
8y |
17 |
0; |
|
|
||||
б |
x2 |
y 2 |
8x 2 y 12 0. |
|
||||||||
|
|
|||||||||||
18 |
а |
y 2 |
20y |
|
x |
102 |
0; |
|
|
|||
б |
x2 |
4 y 2 |
|
24x |
40y |
48 |
0. |
|||||
|
|
|||||||||||
19 |
а |
y 2 |
10y |
|
x |
24 |
0; |
|
|
|||
б |
25x2 |
4 y 2 |
200x |
8y 304 0. |
||||||||
|
||||||||||||
20 |
а |
y 2 |
10y |
|
x |
24 |
0; |
|
|
|||
б |
25x2 |
4 y 2 |
50x |
8y |
121 |
0. |
||||||
|
13
Пример 2. Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить линию.
1)х2 + 4у2 - 4х + 16у - 16 = 0;
2)9x2-4y2-54x-8y+41 = 0.
Решение:
1)х2 + 4у2 - 4х + 16у - 16 = 0. Приведём данную кривую к каноническому виду и построим.
Выделим полные квадраты при х и у:
(х2-4х+4)-4+4(у2+4у+4)-16-16=0 , (х-2)2+4(у+2)2-36=0, (х-2)2+4(у+2)2=36,
|
(х 2)2 ( у |
2)2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
36 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получили каноническое уравнение эллипса вида |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(х )2 ( у |
)2 |
|
1. |
(7) |
||
|
|
|
|
|
|
а2 |
|
|
b2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Центр эллипса лежит в точке O/(α,β), оси параллельны осям координат |
|||||||||||
ОХ и OY. Точка O/(2,-2) – центр данного эллипса. Отложим от |
точки O/ |
|||||||||||
отрезки a |
6 b 3 в направлениях, |
параллельных ОХ и OY, |
CС/=2 a =12 |
ВВ/=2 b =6 (рисунок 2).
Y |
Y/ |
|
|
|
|
B/ |
3 |
|
|
|
|
|
|
X |
C |
|
О О O/ |
C/ |
X/ |
-6 |
|
|
6 |
|
|
B |
-3 |
|
|
Рисунок 2 ─ Эллипс
14
2) 9x2-4y2-54x-8y+41 = 0. Приведём данную кривую к каноническому виду и построим.
Выделим полные квадраты при х и у: 9(х2-6х+9)-81-4(у2+2у+1)+4+41 = 0 , 9(х-3)2-4(у+1)2-36 = 0,
9(х-3)2─ 4(у+1)2 = 36 , |
(х 3)2 |
|
( у 1) |
2 |
1. |
4 |
9 |
|
|||
|
|
Получили каноническое уравнение гиперболы вида
(х |
)2 ( у |
|
)2 |
1. |
(8) |
||
|
а2 |
|
|
b2 |
|
||
|
|
|
|
Центр гиперболы лежит в точке А(α,β), оси параллельны осям координат. Центр данной гиперболы лежит в точке А(3,-1), a =2, b =3. Построим основной прямоугольник гиперболы, откладывая от точки А отрезки a =2, b =3 в направлениях, параллельных основным осям координат. BB/=2∙ a =4, СС/=2∙ b =6. Диагонали прямоугольника будут являться асимптотами. Вершины гиперболы – точки B и B/ (рисунок 3).
Y Y/
C
O X
B/ А |
B |
X/ |
C/
Рисунок 3 ─ Гипербола
15
Задание 3. Системы линейных уравнений
1)Решить систему линейных уравнений матричным способом.
2)Найти базисное решение системы уравнений методом Жордана – Гаусса.
Таблица 4 – Данные задания 3 « Системы линейных уравнений»
№ |
|
|
|
|
|
Системы уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2x1 |
2x2 |
x3 |
3 |
|
x1 |
x2 |
|
x3 |
|
2x4 |
|
2x5 |
1 |
||
1 |
1) |
4x1 |
3x2 |
x3 |
2 |
2) |
|
x1 |
x3 |
2x4 |
x5 |
|
2 |
|
|||
|
|
3x1 |
2x2 |
2x3 |
1 |
|
3x1 |
2x2 |
x3 |
2x4 |
x5 |
|
4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2x1 |
3x2 |
2x3 |
3 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
2x4 |
2x5 |
|
1 |
|||
2 |
1) |
x1 |
2x2 |
3x3 |
7 |
2) |
|
x1 |
x3 |
|
2x4 |
|
x5 |
|
2 |
|
|
|
|
2x1 |
4x2 |
5x3 |
4 |
|
3x1 |
2x2 |
x3 |
2x4 |
x5 |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3x1 |
2x2 |
5x3 |
6 |
|
2x1 |
x2 |
x3 |
|
x4 |
2x5 |
|
3 |
|
||
3 |
1) |
x1 |
4x2 |
3x3 |
0 |
2) |
|
x1 |
2x3 |
|
x4 |
x5 |
5 |
|
|||
|
|
2x1 |
x2 |
3x3 |
3 |
|
x1 |
2x2 |
x3 |
|
2x4 |
x5 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2x1 |
x2 |
x3 |
3 |
|
2x1 |
2x2 |
x3 |
2x4 |
2x5 |
3 |
|||||
4 |
1) |
x1 |
3x2 |
5x3 |
2 |
2) |
|
4x1 |
x3 |
2x4 |
x5 |
|
2 |
||||
|
|
3x1 |
2x2 |
2x3 |
1 |
|
3x1 |
2x2 |
x3 |
2x4 |
x5 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
x1 |
2x2 |
4x3 |
3 |
|
2x1 |
x2 |
x3 |
|
5x4 |
x5 |
|
2 |
|||
|
1) |
2x1 |
3x2 |
x3 |
1 |
2) |
3x1 |
x3 |
2x4 |
x5 |
|
|
4 |
|
|||
|
|
5x1 |
3x2 |
4x3 |
5 |
|
x1 |
2x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4x1 |
2x2 |
x3 |
1 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
3x4 |
x5 |
|
2 |
|||
6 |
1) |
2x1 x2 |
2x3 |
1 |
2) |
x1 |
x3 |
|
2x4 |
x5 |
|
3 |
|
||||
|
|
x1 |
2x2 |
x3 |
3 |
|
x1 |
5x2 |
x3 |
4x4 |
x5 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7 |
|
3x x |
x |
2 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
3x4 |
x5 |
|
2 |
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
x 3x 2x |
1 |
2) |
|
x1 |
x3 |
2x4 |
x5 |
|
3 |
|
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
4x2 |
x3 |
3 |
|
x1 |
5x2 |
x3 |
4x4 |
x5 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8 |
|
x1 |
2x2 |
3x3 |
0 |
|
3x1 |
2x2 |
x3 |
|
3x4 |
x5 |
|
2 |
|||
|
1) |
2x1 |
x2 |
x3 1 |
2) 2x1 |
x2 |
x3 |
|
2x4 |
x5 |
|
3 |
|
||||
|
|
4x1 |
5x2 |
x3 |
5 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
4x4 |
2x5 |
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9 |
|
3x1 |
x2 |
x3 |
2 |
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
3x4 |
x5 |
|
4 |
|
||
|
1) |
5x1 |
2x2 |
2x3 |
3 |
2) |
x1 |
x2 |
x3 |
|
2x4 |
x5 |
|
0 |
|
||
|
|
x1 |
3x2 |
2x3 |
1 |
|
x1 |
2x2 |
x3 |
|
4x4 |
2x5 |
|
6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
10 |
|
x1 |
2x2 |
|
x3 |
1 |
|
2x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
5 |
|
|||||
|
1) |
3x1 |
x2 |
|
3x3 |
1 |
2) x1 |
|
2x2 |
x3 |
|
3x4 |
|
x5 |
2 |
|
|||
|
|
2x1 |
4x2 |
|
3x3 |
4 |
|
x1 |
|
x2 |
x3 |
2x4 |
x5 |
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11 |
|
2x1 |
2x2 |
|
3x3 |
6 |
|
2x1 |
3x2 |
x3 |
|
x4 |
|
x5 |
1 |
|
|||
|
1) |
2x1 |
3x2 |
|
2x3 |
5 |
2) x1 |
|
2x2 |
x3 |
|
3x4 |
|
x5 |
2 |
|
|||
|
|
3x1 |
4x2 |
x3 |
3 |
|
x1 |
|
x2 |
2x3 |
|
2x4 |
|
x5 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12 |
|
4x1 |
x2 |
5x3 |
4 |
|
5x1 3x2 |
|
x3 |
|
x4 |
|
x5 |
1 |
|
||||
|
1) |
3x1 |
x2 |
2x3 |
3 |
2) x1 |
|
3x2 |
x3 |
|
3x4 |
|
x5 |
2 |
|||||
|
|
x1 3x2 |
|
x3 |
1 |
|
x1 |
|
x2 |
2x3 |
4x4 |
|
x5 |
3 |
|
||||
13 |
|
3x1 |
2x2 |
x3 |
6 |
|
x1 |
|
x2 |
3x3 |
2x4 |
|
x5 |
4 |
|
||||
|
1) |
5x1 |
3x2 |
|
2x3 |
9 |
2) x1 |
|
x2 |
x3 |
3x4 |
2x5 |
2 |
|
|||||
|
|
3x1 |
2x2 |
|
4x3 |
5 |
|
x1 |
x2 |
2x3 |
|
x4 |
|
x5 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
14 |
|
x1 |
x2 |
2x3 |
1 |
|
2x1 |
x2 |
x3 |
5x4 |
|
x5 |
2 |
|
|||||
|
1) |
2x1 |
2x2 |
|
3x3 |
5 |
2) 3x1 |
|
x2 |
4x3 |
x4 |
|
2x5 |
1 |
|||||
|
|
3x1 |
5x2 |
|
x3 |
0 |
|
x1 |
|
2x2 |
x3 |
x4 |
|
x5 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15 |
|
3x x 2x 1 |
|
x1 |
|
5x2 |
x3 |
|
4x4 |
|
x5 |
4 |
|||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
2x 4x |
|
x |
3 |
2) |
|
x1 |
x3 |
|
x4 |
3x5 |
3 |
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 |
4x2 |
|
5x3 |
5 |
|
x1 |
|
x2 |
x3 |
|
2x4 |
|
x5 |
6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
16 |
|
x1 |
x2 |
2x3 |
5 |
|
2x1 |
|
x2 |
3x3 |
x4 |
|
x5 |
7 |
|
||||
|
1) |
4x1 |
x2 |
|
2x3 |
9 |
2) x1 |
|
3x2 |
x3 |
|
2x4 |
|
x5 |
6 |
|
|||
|
|
2x1 |
2x2 |
|
x3 |
3 |
|
x1 |
|
5x2 |
x3 |
|
2x4 |
|
x5 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
17 |
|
3x1 |
x2 |
2x3 |
1 |
|
2x1 |
x2 |
3x3 |
x4 |
|
4x5 |
2 |
||||||
|
1) |
x1 |
3x2 |
|
x3 |
2 |
2) |
3x1 |
|
2x2 |
x3 |
|
2x4 |
x5 |
2 |
||||
|
|
4x1 |
x2 |
|
x3 |
3 |
|
x1 |
2x2 |
x3 |
|
3x4 |
x5 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
18 |
|
x1 |
2x2 |
|
x3 |
3 |
|
x1 |
|
x2 |
x3 |
|
2x4 |
|
x5 |
2 |
|
||
|
1) |
x1 |
4x2 |
|
5x3 |
1 |
2) x1 |
4x2 |
x3 |
|
x4 |
x5 |
1 |
|
|||||
|
|
3x1 |
x2 |
2x3 |
5 |
|
x1 |
2x2 |
3x3 |
|
x4 |
x5 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
19 |
|
x1 |
3x2 |
|
2x3 |
1 |
|
x1 |
2x2 |
5x3 |
|
x4 |
x5 |
1 |
|
||||
|
1) |
2x1 |
5x2 |
|
2x3 |
3 |
2) |
x1 |
|
x2 |
2x3 |
|
x4 |
x5 |
0 |
|
|||
|
|
2x1 |
x2 |
3x3 |
2 |
|
3x1 |
|
x2 |
3x3 |
x4 |
|
x5 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
20 |
|
2x1 |
x2 |
|
x3 |
1 |
|
2x1 |
x2 |
x3 |
3x5 |
|
0 |
|
|
||||
|
1) |
x1 |
3x2 |
|
3x3 |
2 |
2) 3x1 |
|
x2 |
2x3 |
|
x4 |
2x5 |
5 |
|
||||
|
|
4x1 |
2x2 |
|
3x3 |
3 |
|
5x1 |
|
2x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
Пример 3 |
|
|
|
|
|||
1) |
Решить систему уравнений матричным способом. |
|
|
||||
2x1 |
5x2 |
2x3 |
2; |
|
|
|
|
3x1 |
2x2 |
2x3 |
2; |
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
6. |
|
|
|
|
|
|
|
х1 |
|
|
|
|
Решение. Обозначим X = х |
− матрица-столбец неизвестных переменных; |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
х3 |
|
|
|
|
2 |
5 |
2 |
|
|
|
|
A |
3 |
2 |
2 |
− матрица коэффициентов при неизвестных или основная |
|||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
матрица; |
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
A |
|
2 |
− матрица свободных членов системы уравнений. |
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
Систему уравнений можно представить в матричном виде А ∙ X = А0. |
|||||||
Тогда решение системы имеет вид: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Х = А-1 ∙ А0, |
|
(9) |
|
|
|
|
|
а11 |
а12 |
а13 |
где А-1 – обратная матрица к квадратной матрице А = а |
а |
а . |
|||||
|
|
|
|
|
21 |
22 |
23 |
|
|
|
|
|
а31 |
а32 |
а33 |
Формула для вычисления обратной матрицы |
|
|
А--1= 1А
А11 |
А21 |
А31 . |
(10) |
А12 |
А22 |
А32 |
|
А13 |
А23 |
А33 |
|
А – определитель матрицы А, который вычисляется по формуле
a11 a12 a13
Aa21 a22 a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 (a13 a22 a31 a11 a23 a32 a31 a32 a33
a12 a21 a33 ).
Вычислим определитель матрицы системы:
|
|
2 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
3 |
2 |
2 |
2 |
2 1 |
5 |
2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
2 1 |
2 |
2 |
1 |
5 3 1 |
35 |
0. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная , для неё существует обратная матрица A-1.
18
Вычислим алгебраические дополнения |
Aij |
для каждого элемента aij |
основной |
|||
матрицы по формуле Aij |
1 i j |
Mij |
, где M ij |
– минор того же элемента aij . |
||
Минор Mij элемента |
aij |
– |
это |
определитель, полученный из |
данного |
определителя вычеркиванием i-й строки и j-гo столбца.
A11 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 1 |
|
2 |
1 |
2 |
2 |
|
|
0; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
2 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
2 |
|
1 |
3 |
2 |
|
|
5; |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
2 5 |
|
|
||||||||||||||
A |
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
5; A ( 1)3 |
|
|
|
|
7; A |
|
|
0; A ( 1)5 |
|
|
7; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
1 |
1 |
|
|
23 |
|
|
1 |
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
14; |
A ( |
1)5 |
|
2 |
|
2 |
|
10; A |
|
|
2 |
5 |
|
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Таким образом, по формуле (10) имеем следующую обратную матрицу: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
7 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A 1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
0 |
|
10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
7 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Согласно формуле (9), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
7 |
|
|
14 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
2 |
|
7 |
2 |
14 6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
X |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 0 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
2 0 |
2 10 6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
7 |
|
|
|
11 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
5 |
2 |
7 |
2 |
11 6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
14 |
84 |
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
70 |
35 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
10 |
60 |
|
|
70 |
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
35 |
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
10 |
14 |
|
66 |
70 |
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Проверка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Подставим найденные числа |
вместо |
переменных |
x1 , x2 , x3 |
в |
|
исходную |
систему уравнений:
19
2 |
2 |
5 |
2 |
2 |
2 |
2; |
3 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2; |
|
|
2 |
2 |
2 |
6. |
|
Получили верные числовые равенства, следовательно, решение найдено
верно.
Ответ: x1 2, x2 |
2, x3 2 . |
Приведение системы линейных уравнений к системе с базисом методом Жордана – Гаусса
Система уравнений называется системой с базисом, если каждое уравнение системы содержит переменную с коэффициентом 1, отсутствующую в других уравнениях.
Например, рассмотрим систему уравнений с базизом:
|
|
|
x1 |
3x3 |
2x4 |
15; |
|
|
|
x2 |
4x3 |
5x4 |
11. |
Переменные x1, x2 – базисные, x3 , x4 – свободные. Базисное решение |
||||||
|
|
|
|
|
||
X (15, 11,0,0) . |
|
|
||||
|
|
|
Алгоритм метода Жордана – Гаусса |
|||
1. |
Составляем таблицу Жордана – Гаусса. |
|||||
2. |
Выбираем разрешающий элемент из коэффициентов aij 0 при |
|||||
|
|
|
неизвестных, i-я строка и j-й столбец будут называться разрешающими. |
3.Элементы i-й разрешающей строки делят на разрешающий элемент и полученные частные записывают в i-ю строку следующей таблицы.
4.Все элементы j-го столбца следующей таблицы обращаются в 0, кроме элемента, стоящего на месте разрешающего, он равен 1.
5.Все остальные элементы следующей таблицы вычисляются по “правилу прямоугольников”:
aik |
|
aip |
|
|
aqp |
aik aqk |
aip |
|
|||
|
|
|
|
|
|
aik |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
aqp |
|
. |
(11) |
|
aqk |
|
|
|
aqp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20