4747
.pdfЗамечание 1. График функции |
f0 |
x |
|
1 |
|
|
строится на полуоси |
0; |
|
|
|
|
, |
по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
скольку |
|
f0 0 не определено. Соответственно строятся и все последующие гра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
фики, например |
f2 |
x |
– на |
2; |
|
|
, |
f12 x |
– на |
1; |
|
, и т.п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ЭП2. Постройте графики при помощи элементарных преобразований: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) а) y x2 |
|
|
2x 1 ; |
б) y x2 |
4x 4 ; |
|
|
|
|
|
|
в) y x2 |
6x 9 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2) а) y x2 |
|
|
2x 2 ; |
б) y x 2 |
4x 3 ; |
|
|
|
|
|
|
в) y x 2 |
6x 5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3) а) y x 2 |
|
|
2x ; |
|
б) y 2x 2 |
|
4x 2 ; |
|
|
в) y 3x 2 |
6x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4) а) y 2x2 |
4x 5; б) y 2x 2 |
|
4x 4 ; |
|
|
в) y 2x2 |
8x 5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
5) а) y |
|
x2 |
2x 1 ; |
б) y |
|
x2 |
|
4x 4 ; |
|
|
в) y |
x 2 |
6x 9 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
6) а) y 2x x 2 |
3 ; |
б) y 4x x2 |
1 ; |
|
|
|
|
|
|
в) y 6x x2 |
|
|
7 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7) а) y 4x 2x2 |
1; |
б) y 4 2x 2 |
4x ; |
|
|
в) y 8 x2 |
6x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 1. Пусть y |
2x2 |
|
4x |
5. Поскольку 2x2 |
4x |
5 |
|
|
|
|
2 x2 |
|
2x |
5 и при |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
этом x2 |
|
2x |
|
|
|
x2 |
2x |
1 |
1 |
x |
1 2 |
|
1 , то y |
2 |
x |
1 2 |
1 |
|
|
|
|
5 , или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y 2 x |
1 2 |
|
3. Строим параболу y |
x2 , а затем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
а) смещаем на 1 ед. влево – теперь вершина не в точке |
0;0 , а в точке |
1;0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получаем график функции y |
|
x 1 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
б) растягиваем в 2 раза по вертикали. Точка |
0;1 превращается в |
0;2 |
|
, точка |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3;4 – в точку |
|
3;8 |
, и т.д. Получается график функции y |
|
|
2 x 1 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) поднимаем график на 3 ед. Вершина оказывается в точке |
1;3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ЭП3. Постройте схематичные графики функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
а) при помощи асимптот и точек пересечения с осями координат; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) при помощи элементарных преобразований графика функции y |
1 |
: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
1) а) y |
1 |
|
; |
|
|
|
б) y |
1 |
|
; |
|
|
в) y |
|
x 1 |
; |
|
|
г) y |
|
x 1 |
; |
д) |
y |
|
|
x |
|
; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
||||||
2) а) y |
|
x |
|
; |
|
|
|
б) y |
|
x 3 |
; |
|
в) y |
|
x 3 |
; |
|
|
г) y |
|
|
|
x 3 |
; |
д) |
y |
|
x 2 |
; |
||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
x |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3) а) y |
|
2x 4 |
; |
|
б) y |
|
2x 6 |
; |
в) y |
|
x 3 |
|
; |
г) y |
|
|
x 2 |
; д) |
y |
|
|
2x |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
x 3 |
|
|
x 2 |
|
2x 4 |
|
|
2x 6 |
|
x 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4) а) y |
|
3x 5 |
|
; |
|
б) y |
|
3x 5 |
|
; |
в) y |
|
4x 2 |
|
; |
г) y |
|
4x 2 |
; д) |
y |
|
|
4x |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
4x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 5 |
|
3x 5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 4 |
|
11
|
Пример 2. Построим график функции y |
x |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1-й способ. В точке x |
4 знаменатель обращается в 0, а при x |
4 значения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
очень велики. Это означает, что x |
|
4 – не только координаты точки, которую |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нельзя подставить, но и уравнение вертикальной асимптоты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Горизонтальная асимптота – это прямая, к которой приближается график |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при очень больших x (при x |
|
|
|
|
). Легко заметить, что при больших значениях x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дробь |
x |
2 |
|
|
x |
|
|
1 |
|
. Значит, y |
|
1 |
– уравнение горизонтальной асимптоты. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x 8 2x 2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
График пересекает ось OY, когда x |
0 , при этом y 0 |
|
0 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
0 |
|
|
8 |
|
|
8 |
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
График пересекает ось OX, когда y |
0 . Из уравнения |
x |
2 |
|
|
|
0 находим, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x |
8 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
2 |
0, и потому x |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Итак, график пересекает ось OX в точке x |
2 , ось OY – в точке y |
|
|
1 |
, ухо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
дит в бесконечность вдоль вертикальной прямой x |
|
|
4 , а при удалении вправо и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
влево приближается к горизонтальной прямой y |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2-й способ. Чтобы построить график при помощи элементарных преобразо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ваний, |
|
функцию |
y |
|
x |
2 |
|
следует привести к виду |
|
y |
|
P |
|
|
|
k |
или к виду |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x 8 |
|
|
x |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y |
P |
|
k |
|
|
, где P, k, a |
– некоторые числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Заметим, что 2x |
8 |
2 x |
|
4 , и выделим в числителе часть, пропорциональ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ную замеченной скобке |
x |
4 : x |
|
|
2 x |
4 4 |
2 |
|
|
|
|
x |
4 |
4 |
2 |
|
|
x |
4 |
|
2 , то- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
гда |
|
x |
2 |
|
|
|
x 4 |
2 |
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
(сокращение на 2 во 2-й дро- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x 8 |
|
|
2 x 4 |
|
|
2 x 4 2 x 4 2 x 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
би случайно). Получили, что y |
1 |
|
1 |
|
, и тогда |
P |
1 |
, k |
|
1, a |
|
4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
x |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а) строим график функции y |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
б) сдвигаем его на 4 ед. влево – график вытягивается по вертикали не вдоль |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оси OY, а вдоль прямой x |
4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
в) отражаем график относительно оси OY – ветви «переворачиваются»; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) поднимаем график на |
1 |
ед.– ветви вытягиваются вдоль прямой y |
|
1 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
§ 3. Аналитическое задание функций
Функция y xзадана аналитически, если предложена некоторая формула, по которой для каждого конкретного аргумента x можно найти соответствующее
значение y. В общем случае это зависимость F x; y |
0 , но если её можно свести |
||||||||||||||||||
к виду y |
|
f x |
, то говорят, что функция задана в явном виде. |
|
|||||||||||||||
Например, |
x2 |
y 3 |
5 0 |
– неявно заданная функция y x . |
В то же время |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y 3 5 |
x2 |
|
|
– функция в явном виде. С другой стороны, можно вести речь о дву- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
y3 , определённой при |
|
|
|
|||||||||
значной функции |
x y |
5 |
y 3 5 , поскольку для лю- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
бого y |
3 |
|
5 возможны 2 значения x (при |
y 3 5 функция x y |
не определена, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
при y |
3 5 получим x |
0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача о поиске зависимости y f x |
на основе известной неявно заданной |
функции возникает, например, при решении дифференциальных уравнений или при построении графиков. Кроме того, необходимость выразить переменную x
через переменную t, |
когда дана зависимость t |
|
|
g x , |
появляется при интегриро- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вании функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
АЗ1. Выразите y как функцию |
|
|
y x |
. Найдите значение |
|
y0 |
y x0 . Укажите |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
область определения функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1) |
а) |
1 |
|
|
|
3x 1, x0 |
|
0 ; |
|
|
б) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3x 1, x0 |
1 ; |
|
в) ln y 3x 1, x0 |
|
1 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) e y 3x 1, x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
г) |
|
|
|
|
|
3x 1, x |
0 |
|
1; |
|
0 |
0; |
|
е) 3 y 3x 1, x0 |
1 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) |
а) |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x 4, x0 |
|
|
1 ; |
б) |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
x 5, x0 |
3; |
в) |
|
|
|
6 |
|
|
|
x 1, x0 |
|
0 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
г) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x 5, x0 |
6 ; |
д) |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5x, x0 |
1; |
|
е) |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
1 2x, x0 |
1; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 y |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3y |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3) |
а) |
|
|
|
y 4 2x, x0 |
|
1; |
б) |
|
2 y 4 2x, x0 |
1; |
|
в) 3 5y 2x, x0 |
1 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
а) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3x, x0 |
|
|
1 |
; |
б) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3x, x0 |
1 |
; в) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5x, x0 |
|
1 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
4 |
|
|
|
|
2 y |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 2 y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
а) |
|
|
y 1 2 x , x0 |
1; |
б) 2 y |
|
|
|
|
|
x 3, x0 |
1 ; |
в) 3 2 y |
|
|
|
|
|
|
4x 5, x0 |
0 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
а) |
1 |
|
|
1 |
|
, x0 |
6 ; |
б) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
, x0 |
1; |
в) |
|
2 |
|
|
|
1 |
, x0 |
1; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y 2 x 3 |
|
y 3 3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 y x |
|
|
|
|
13
г) |
1 |
|
|
1 |
|
, x0 |
1 ; |
|
|
|
д) |
|
3 |
|
1 |
|
, x0 |
0 ; е) |
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
, x0 4 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 2 y x 3 |
||||||||||||||||||||||||
|
2 y 5 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 y 5 2 4x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Пример 1. Пусть |
2 |
|
5x |
|
6, x0 |
|
1. Если y |
0 и 5x |
6 |
0 , то обратные вели- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
чины также равны: |
|
y |
|
|
|
1 |
|
|
, и y |
|
2 |
|
. Функция определена при x |
|
|
6 |
. |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
5x |
6 |
|
|
5x |
6 |
|
|
5 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В точке x |
|
6 |
|
условие превращается в невозможное равенство |
|
2 |
|
|
0 , а при |
|||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вычислении y |
|
6 |
|
|
получаем деление на 0. Если же x0 |
1 , то y 1 |
|
2 |
|
|
|
2 . |
||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
5 1 |
|
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: y |
|
|
|
2 |
|
|
, |
|
x |
|
6 |
|
, |
y0 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5x |
|
|
6 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 2. Пусть lg y |
4 |
|
2x, |
x0 3. Очевидно, y |
0 . Сам же логарифм мо- |
жет принимать любое значение (в отличие, например, от квадратного корня или
синуса), поэтому ограничений на 4 2x нет, и тогда x – любое число. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По определению логарифма, 4 |
|
2x |
– |
это степень, в которую надо возвести |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10, чтобы получить y. Таким образом, 104 2 x |
y , или y |
104 |
2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если x 3, то y |
104 |
2 3 |
10 2 |
|
0,01. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ: y |
104 |
2 x , |
y0 |
|
0,01. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. |
|
Пусть |
|
|
|
5 |
3x, |
x0 |
1 . |
Если |
|
|
y существует, то |
|
y |
0 . |
Из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условия видно, что |
|
|
y |
|
|
|
0 . Значит, |
y |
0 , |
и тогда |
0 |
(поскольку числи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тель 2 0 ). Поэтому 5 |
|
3x |
0 . Отсюда x |
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По свойству пропорций можно поменять местами |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
3x : |
|
|
|
2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
5 |
|
|
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
3x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Возведём в квадрат |
y |
|
4 |
|
|
|
. Функция определена при x |
|
5 |
, что не отража- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ется на уже установленном ограничении x |
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В точке x0 |
|
1 находим |
y |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
5 |
3 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: y |
|
|
4 |
|
, |
|
x |
5 |
, |
y0 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5 |
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
|
Пример 4. В случае |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3x, |
|
|
x0 |
3 |
|
|
замечаем, что в левой части условия |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
4 y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
есть |
|
|
|
|
|
|
0 , |
|
но |
|
|
|
|
|
|
0 , |
и тогда дробь |
|
|
|
2 |
|
|
|
0 . Значит, в правой части |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 4 y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
4 y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3x |
0 , откуда x |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
, |
|
равносильное |
|
|
начальному, |
возводим |
|
в |
квадрат: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
4 y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
4 y |
|
4 |
|
, тогда 4 y |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
и |
|
y |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
9x2 |
|
|
|
9x2 |
|
|
4 |
|
|
|
9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
То, |
что 3 |
4y |
|
0 , т.е. |
|
y |
|
|
|
3 |
|
|
|
, учитывается формулой функции. В самом деле, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
дробь |
|
1 |
|
|
|
0 , и при вычитании её из |
3 |
|
это число можно только уменьшить. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
В точке x0 |
|
|
|
|
3 будет |
|
y |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
3 81 |
1 4 |
|
239 |
0,738. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
9 |
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
4 |
|
81 |
4 |
81 |
|
324 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
239 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ответ: y |
|
|
|
|
|
|
|
|
, x |
0, |
|
y0 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
9x2 |
|
|
324 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 5. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . Возведём в квадрат 5 |
2y |
4x |
1, но |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
2 y |
|
|
|
|
4x |
|
|
1, x0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
учтём, что 5 |
2y |
|
0 и 4x |
1 |
|
0 , т.е. что y |
|
2,5 и x |
0,25. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Из уравнения 5 2y |
4x |
|
|
1 выразим |
|
2y |
|
4x |
1 |
5 , тогда 2y |
4x |
4 и тем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
самым |
y |
4x |
4 |
|
2 |
|
2x . Также находим y 2 |
2 |
2 2 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: y |
2 |
|
|
|
2x, |
x |
0,25, |
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Пример 6. Пусть |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
, x0 |
3 . |
|
Из условия видно, |
что |
y |
2 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3y |
6 |
|
|
|
|
4 |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 . Обратные величины также равны: |
3y |
6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Переносим: |
3y |
6 |
|
4 |
|
|
2 |
x , выражаем y |
|
1 |
|
34 |
||||||||||||||||||
5 |
5 |
3 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Итак, y |
34 |
|
2 |
|
x при x |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
15 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Кроме того, |
y |
3 |
34 |
2 |
|
3 |
34 |
6 |
|
|
40 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
15 |
|
15 |
15 |
|
|
|
15 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответ: y |
|
34 |
|
|
2 |
x, x |
2, y0 |
|
8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
15 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 2x |
или 3y |
6 |
4 |
|
|
2 |
x . |
|
|
|||||||
5 |
5 |
5 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
x |
|
34 |
|
2 |
|
x , где |
|
34 |
|
6 |
4 |
. |
||
5 |
15 |
15 |
5 |
|
5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
83 .
15