637_Nosov_V.I._Seti_radiodostupa_CH.2_

где d f и dэт – евклидов просвет в кодированной системе и в

некодированной эталонной системе.

Отметим, что для больших значений SNR и данной вероятности появления ошибки формула (7.3) дает те же результаты, что и выражение для эффективности кодирования (6.26), повторно приведенное ниже

некодированной и кодированной систем. Следует помнить, что эффективность кодирования, выраженная в виде (7.3), дает ту же информацию (при больших значениях SNR), что и более привычное выражение для повышения достоверности передачи (7.4). По сути, формула (7.3) отражает основную задачу кода ТСМ. Эта задача – добиться просвета, превышающего минимальное расстояние между некодированными модулирующими сигналами (при той же скорости передачи информации, ширине полосы частот и мощности).

7.3.3 Эффективность кодирования для схемы 8-PSK при использовании решетки с четырьмя состояниями

Вычислим теперь эффективность кодирования для решетки с четырьмя состояниями в схеме 8-PSK, разработанной согласно правилам кодирования из раздела 7.2.2. Решетка на рис. 7.4 теперь будет исследоваться в контексте процедуры декодирования. Сначала в качестве настроечной выбирается нулевая последовательность. Иными словами, предполагается, что передатчик отправил последовательность, содержащую только копии сигнала номер 0.

Чтобы продемонстрировать преимущества такой системы ТСМ (используя алгоритм декодирования Витерби), нужно показать, что самый простой способ совершения ошибки в кодированной системе сложнее самого простого способа совершения ошибки в некодированной системе. Необходимо изучить всевозможные отклонения от верного пути с последующим слиянием с верным путем (нулевой последовательностью) и найти тот, который имеет минимальное евклидово расстояние до правильного пути. Рассмотрим сначала возможный путь ошибочного события (рис. 7.4), который выделен жирными линиями и помечен номерами сигнала 2, 1, 2. Квадрат расстояния до нулевого пути вычисляется как сумма квадратов отдельных расстояний между сигналами 2 и 0; 1 и 0; и 2 и 0. Соответствующие евклидовы расстояния между

2 и 0 d1 2 , 1 и 0 d0 0,765 взяты из диаграммы разбиения на рис. 7.2, в результате чего получаем евклидово расстояние между этими двумя путями

222

В уравнении (7.5) евклидово расстояние d получается точно так же, как и результирующий вектор в евклидовом пространстве, т.е. как квадратный корень из суммы квадратов отдельных компонентов (расстояний). На рис. 7.4 есть путь с отклонением и повторным слиянием, который имеет евклидово расстояние, меньшее d 2,2 . Это выделенное жирной линией ошибочное событие (помеченное как сигнал 4) происходит, если (при использовании декодирования Витерби) вместо правильного пути, связанного с сигналом 0, выживает параллельный. Может возникнуть вопрос: если декодер выбирает параллельный путь (т.е. последующее состояние одинаково в обоих случаях), будет ли это в действительности серьезной ошибкой. Если параллельный путь – это неправильно выбранный путь (это все-таки путь с отклонением и повторным слиянием, даже если он занимает только один промежуток времени), то позже, когда будут введены схемы кодеров и биты, выживший сигнал 4 даст в результате неверное значение бита. Расстояние от пути сигнала 4 до пути сигнала 0 равно, как видно из рис. 7.2, d f 2 . Это расстояние

меньше, чем расстояние для любого другого ошибочного события, поэтому евклидов просвет для этой кодированной системы равен d f 2 .

Минимальное евклидово расстояние для набора некодированных эталонных сигналов на рис. 7.3 равно dэт 2 . Теперь для вычисления

асимптотической эффективности кодирования следует воспользоваться уравнением (7.3), что даст следующее

7.4. Другие решетчатые коды

7.4.1 Параллельные пути

Если число состояний решетчатой диаграммы меньше размера набора кодированных сигналов M решетчатая диаграмма требует параллельных путей. Следовательно, решетка с четырьмя состояниями для модуляции 8-PSK требует наличия параллельных путей. Чтобы лучше понять причины этого, обратимся еще раз к первому правилу Унгербоека: если за один интервал модуляции кодируется k бит, решетка должна разрешать для каждого состояния 2k возможных перехода в последующее состояние. Для

223

рассматриваемого случая 8-PSK каждая сигнальная точка представляет k 1 3 кодовых бит или k 2 (4-PSK) бит данных. Поэтому из первого правила следует наличие 2k 22 4 переходов в каждое последующее состояние. На первый взгляд решетка с четырьмя состояниями без параллельных путей может удовлетворить такому условию, если реализовать полностью замкнутую решетку (каждое состояние связано со всеми последующими состояниями). Однако невозможно нарисовать полностью замкнутую решетку с четырьмя состояниями без параллельных путей, удовлетворяя при этом правилам 4 и 5 для системы 8-PSK. В следующем разделе показана решетка с восемью состояниями для схемы 8-PSK (количество состояний решетчатой диаграммы уже не меньше M ), где могут быть соблюдены все правила разбиения без требования наличия параллельных путей.

7.4.2 Решетка с восемью состояниями

После экспериментирования с использованием различных структур решетки и присвоением канальных сигналов, в качестве оптимального для восьми состояний был выбран код 8-PSK, показанный на рис. 7.6 [19].

Путь ошибочного события с минимальным расстоянием до нулевого пути помечен номерами сигналов 6, 7, 6. Поскольку здесь отсутствуют параллельные пути, ограничивающие евклидов просвет, квадрат этого просвета равен

Асимптотическая эффективность кодирования системы ТСМ с восемью состояниями относительно эталонной системы 4-PSK равна следующему

Подобным образом можно показать, что решетчатая структура с шестнадцатью состояниями для кодированного множества 8-PSK дает эффективность кодирования 4,1 дБ, по сравнению с некодированной схемой 4- PSK [19]. Если состояний меньше восьми, дополнительная эффективность кодирования может быть получена путем введения асимметрии во множество модулирующих сигналов.

7.4.3 Решетчатое кодирование для схемы QAM

Метод разбиения набора сигналов можно применять и к другим типам модуляции. Рассмотрим использование кодированной схемы 16-QAM с тремя информационными битами на интервал модуляции, где в качестве эталонной

224

I

системы выбрана не кодированная 8-PSK. Для нормированного пространства 16- QAM выберем среднее значение квадрата амплитуды набора сигналов, равное

единице, что дает d0 210 . На рис. 7.7 показано разбиение сигналов 16-QAM на

путем разбиения набора согласно описанной ранее процедуре, показана на рис. 7.8. Путь ошибочной комбинации с минимальным расстоянием обозначен как D6 , D5 , D2 . Хотя при использовании схемы ТСМ имеется эффективность

кодирования, при декодировании расширенного пространства сигнала существует потенциальная неопределенность фазы, которая может серьезно ухудшить достоверность передачи. Вей (Wei) [19] применил концепцию дифференциального кодирования к методам ТСМ, полученные при этом коды не зависят от поворотов элементарных сигналов на углы 90°, 180° и 270°.

Вкратце можно сказать, что решетчатое кодирование в каналах с ограниченной полосой включает больший алфавит сигналов (т.е. М-арные схемы РАМ, PSK или QAM) для компенсации избыточности, которая вводится при кодировании; таким образом, ширина полосы частот канала не возрастает.

225

d3 2 d2

Рис. 7.7 Разбиение Унгербоека сигналов 16QAM

Даже если увеличение размера набора сигналов уменьшает минимальное расстояние между сигналами, евклидов просвет между разрешенными кодовыми последовательностями превышает величину, необходимую для компенсации этого уменьшения. В результате полная эффективность кодирования равна от 3 до 6 дБ без какого-либо расширения полосы частот [19, 21].

7.5Пример решетчатого кодирования

Впредыдущем разделе обсуждалось отображение сигналов в переходы решетки безотносительно к конечному отображению канальных символов (кодовых битов или кодовых слов) в переходы решетки.

В этом разделе пример решетчатого кодирования начнется с рассмотрения точного определения структуры кодера. Структура кодера автоматически определяет решетчатую диаграмму и присвоение кодовых слов переходам решетки. Следовательно, в этом примере, если сигналы присвоены переходам решетки (а значит, подразумевающимся кодовым словам), уже нет возможности произвольно присваивать кодовые слова сигналам, как это делалось ранее при отсутствии схемы кодера.

Рассмотрим кодер, использующий сверточный код со степенью кодирования Rc 23 для передачи двух бит информации за один интервал

модуляции. Пример подобного кодера показан на рис. 7.9.

Степень кодирования 2/3 достигается, например, путем передачи без изменения одного бита из каждой пары битов исходной последовательности и кодирования второго бита двумя кодовыми битами (выполняется кодером со степенью кодирования 1/2 и длиной кодового ограничения K 3 ). Как показано на рисунке, биты из входной последовательности попадают в сдвиговый регистр только через один m2 ,m4 ,.... Может возникнуть вопрос: насколько может быть

226

хорошей такая система, если преимущества, определяемые избыточностью, получают только 50% бит.

Состояние

D0 D4 D2 D6 D0 D0 D0

Рис. 7.8 Решетчатая диаграмма с восьмью состояниями для передачи сигнала 16 - QAM

Второй информационный m2

бит

u3 Третий кодированный бит

Рис. 7.9 Сверточный кодер со степенью кодирования 2/3

227

Напомним пример с кодером, который определял, что некоторые биты довольно уязвимы и поэтому они присваивались модулирующим сигналам с наилучшими пространственными характеристиками, в то время как другие считались устойчивыми и присваивались сигналам с худшими пространственными характеристиками. Модуляция и кодирование происходят одновременно с учетом пространственных характеристик модулированных сигналов. Следует подчеркнуть, что кодирование и декодирование в схеме ТСМ происходит преимущественно на сигнальном уровне (в нашем первом описании ТСМ о каком-либо кодере не упоминалось), тогда как в традиционном коде с исправлением ошибок кодирование и декодирование происходит только на битовом уровне.

Решетчатая диаграмма на рис. 7.10 описывает схему кодера представленную на рис. 7.9.

Как и в [19, 23], названия состояний соответствуют содержимому крайних правых K 1 2 разрядов регистра сдвига. Параллельные переходы на решетке (рис. 7.10) обусловлены не кодированными битами; не кодированный бит представляется крайним левым битом каждого перехода решетки. В каждом состоянии начинается четыре перехода. Для каждого состояния имеется два верхних перехода – от пары входных информационных битов ( m1m2 равны 00 и 10) и два нижних перехода проистекающие от пары (

m1m2 равны 00 и 10). На рис. 7.10 показана решетчатая структура, подобная

показанной на рис. 1.4, за исключением того, что каждый переход на рис. 7.10 обозначен назначенным ему кодовым словом.

Стоит повторить, что схема кодера определяет, какие кодовые слова появляются на переходах решетки; разработчик системы только присваивает сигналы переходам. Следовательно, когда уже имеется схема (поведение которой описывается решеткой), любой сигнал, присвоенный переходу в решетке, автоматически становится носителем кодового слова, которое соответствует этому переходу.

Пусть кодовая модуляция – это 8-ричная амплитудно-импульсная модуляция

(8-агу pulse amplitude modulation – 8-РАМ), как показано на рис. 7.11.

На рис. 7.11, а показан кодированный набор сигналов, где для каждого сигнала евклидово расстояние до центра пространства сигналов показано в некоторых произвольных единицах, причем сигналы расположены на равных расстояниях один от другого и симметрично относительно нуля. На рис. 7.11, б показан эталонный (не кодированный) набор 4-ричной схемы РАМ, в котором точки сигнала и расстояния помечены аналогичным образом. Важным этапом в разработке кодера является присвоение 8-ричных сигналов РАМ переходам решетки согласно правилам разбиения Унгербоека (рис. 7.12). Изучение этих правил может привести к такому же присвоению номеров сигналов переходам решетки, как показано на рис. 7.4. Подобное присвоение сигналов, а также кодовые слова, присвоенные схемой кодера, показаны на рис. 7.10. Наиболее несопоставимая пара сигналов (с расстоянием d2 = 8) была присвоена наиболее уязвимым (в плане появления ошибок) параллельным переходам.

228

б)

Рис. 7.11 Множества сигналов: а) кодированная 8 – PAM; б) некодированная 4 - PAM

Можно легко убедиться, что для такого типа модуляции параллельный путь (с d = 8) не будет ошибочным путем с минимальным расстоянием (как это было для 8-PSK). Далее для нахождения эталонного расстояния для 4-РАМ из рис. 7.11, б находим, что dэт 2. Теперь для этого примера можем вычислить

асимптотическую эффективность кодирования, сравнивая квадрат евклидова просвета кодированной системы с евклидовым просветом эталонной системы. Однако тут необходимо убедиться в том, что средняя мощность сигналов в каждом наборе одинакова. В предыдущем примере схемы 8-PSK выбор единичной окружности для кодированной и не кодированной систем означал, что средняя мощность сигнала была одинакова в обоих наборах. Однако в этом примере ситуация несколько иная. Следовательно, для вычисления асимптотической эффективности кодирования требуется нормировать следствие неравенства средней мощности набора сигналов, т.е. видоизменить выражение (7.3). Соответственно записываем

230