Определенный интеграл
.pdf
§15. Площадь поверхности вращения
Краткие теоретические сведения В § 14 мы рассмотрели поверхность вращения и ее объем. В этом пара-
графе приведем формулы для вычисления площади поверхности вращения.
Пусть f(x) имеет на [a, b] непрерывную производную f’(x) и является не-
отрицательной.
При вращении линии, заданной y=f(x), хϵ[a, b], вокруг оси Ох получим поверхность вращения.
Ее площадь вычисляется по формуле:
b |
b |
Sвр 2 f (x)
1 f '2 (x)dx 2 y
1 y'2 dx.
a |
a |
Аналогично, при вращении линии, заданной уравнением x=g(y) имеющей непрерывную производную g’(y) на [c, d] и являющейся неотрицательной на [c, d], площадь поверхности, образованной вращением этой кривой вокруг Оу, вы-
d |
d |
числяется: Sвр 2 g(y)
1 g'2 (y)dy 2 x
1 x'2 dy.
c |
c |
Если кривая, которая вращается вокруг оси Ох, задана параметрически:
x (t), |
|
|
t2 |
|
|
tϵ[t ,t ], то S |
вр |
2 (t) |
'2 (t) '2 (t)dt. |
||
|
1 2 |
|
|
|
|
y (t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
Если кривая задана в полярных координатах: ρ=f(φ), f(φ) непрерывна на
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[α, β], f’(φ)≠0 на [α, β], то Sвр sin |
2 '2 |
d . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Вычислить площадь шарового пояса, полученного при враще- |
||||||||||||||||||||||||
нии вокруг оси Ох дуги окружности х2 у2 |
9(у 0) между точками х=-1, х=1. |
|||||||||||||||||||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
(у 0), |
|
|
|
x |
|
|
, |
1 y'2 1 |
x2 |
|
9 |
, тогда |
|||||
|
у |
9 х2 |
y' |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9 x2 |
9 x2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 x2 |
|
|
|
||||||
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
11 12 (ед.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Sвр 2 |
9 х2 |
|
|
|
dx 6 х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
9 х |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси абсцисс одной арки циклоиды: |
x t sint, |
|
t 0,2 . |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 cost, |
|
|
|
|
|
|||
Здесь |
|
|
(t) t sint, |
(t) 1 cost , |
|
'(t) 1 cost , |
'(t) sint , |
|||||||||||||||||||||
'2 (t) '2 (t) (1 cost)2 |
|
sin2 t |
1 2cost 1 2(1 cost) 4sin2 |
t |
, |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|||||||||
Sвр 2 (1 cost) |
|
4sin2 |
|
dt 4 |
(1 cost)sin |
dt 8 sin3 |
dt |
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
8 (2cos |
t |
|
|
2 |
|
2 |
cos3 |
t |
|
|
2 ) 8 (( 2 2) |
2 |
( 1 1)) |
64 |
(ед.2 ). |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
0 |
3 |
2 |
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример 3. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды 1 cos вокруг полярной оси.
Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому достаточно
взять 0, .
Имеем 1 cos , ' sin ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 |
|
|
2sin |
|
|
2sin |
|
, |
тогда |
||||
|
2 '2 |
|
|
|
|
|
(1 cos )2 |
sin2 |
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2(1 cos ) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Sвр 2 |
(1 cos )sin |
|
4sin2 |
d 8 sin3 |
sin d 16 sin4 |
cos |
d |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
32 |
1 |
sin5 |
|
|
|
|
|
32 |
(ед.2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5 |
|
|
|
2 |
|
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задачи для практического занятия
1.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной
у0, х 0, у х2 : а) вокруг Ох; б) вокруг Оу.
2.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной
линиями 5х 8у 14 0 и у 1 х2 2 вокруг Ох.
4
3. Найти площадь поверхности, образованной вращением замкнутого контура, ограниченного линиями х у2 , у х2 вокруг Ох.
52
4. Вычислить объем веретенообразного тела, полученного вращением во-
круг оси Ох фигуры, ограниченной астроидой x аcos3 t,
y аsin3 t.
5. Найти площадь поверхности, образованной вращением цепной линии
|
а |
|
|
|
х |
|
|
х |
|
|
|||
у |
(е |
|
|
е |
|
) вокруг оси Ох, xϵ[-a,a]. |
|||||||
а |
а |
||||||||||||
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
6. |
Вычислить площадь |
поверхности, образованной вращением линии |
|||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x et |
sint, |
вокруг оси Ох, tϵ[0, |
|
]. |
|||||||||
2 |
|||||||||||||
y e |
|
cost. |
|
|
|
|
|||||||
7.Найти площадь поверхности, образованной вращением окружности
2rsin вокруг полярной оси.
8.Вычислить площадь поверхности, полученной вращением вокруг оси абсцисс дуги синусоиды, xϵ[0,π].
9.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигу-
ры, ограниченной Ох, y sin x, xϵ[0,π].
10. |
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy фигуры, |
||
ограниченной х=0, y2 4 x. |
|||
11. |
Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фи- |
||
гуры, ограниченной линиями х2 y2 1, y2 |
3 |
x. |
|
|
|||
|
2 |
|
|
12. |
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy фигуры, |
||
ограниченной y х3,х 2,у 0. |
|||
13. |
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фи- |
||
гуры, ограниченной линией x аsint,
y bsin 2t.
14.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой y2 4 x , отсеченной прямой х=2.
15.Определить площадь поверхности, образованной вращением вокруг
оси Оу дуги линии у 1 х2 , отсеченной прямой y 3 .
2 |
2 |
53
16. Вычислить площадь шара радиуса R.
17. Найти площадь поверхности, полученной вращением астроиды
x аcos3 t,y аsin3 t.
18. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением линии y x3 вокруг Ох, xϵ[0,1].
19.Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты
cos2 вокруг полярной оси.
20.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг Оу ли-
нии y2 2x между точками пересечения с линией 2х=3.
21. Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-
ченной линиями хy 4,х 1,х 4,у 0.
22. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг Оу криволи-
2
нейной трапеции, ограниченной кривой х2 y3 1.
23. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг Ох криволи-
нейной трапеции, ограниченной линиями у 0,х 1,у хех .
24. Найти объем тела, образованного вращением вокруг Оу криволиней-
ной трапеции, ограниченной линиями х 0,х 2,у ех и осью Ох.
25. Вычислить площадь поверхности тора, образованного вращением круга радиуса R вокруг прямой, лежащей в той же плоскости, расстояние кото-
рой от центра круга равно a<R. Вычислить объем тора.
54
§16. Экономическая интерпретация определенного интеграла
Краткие теоретические сведения
Пусть функция y=f(t) описывает изменение производительности некото-
рого производства с течением времени t. Обозначим через Q – объем продук-
ции, произведенной за промежуток времени [0, T]. Тогда объем Q произведен-
ной продукции по известной функции f(t) производительности труда вычисля-
T
ется по формуле: Q f (t)dt . В этом и заключается экономическая интерпрета-
0
ция определенного интеграла.
Пример 1. Найти выработку Q за восьмичасовой рабочий день, если про-
изводительность |
труда |
|
|
в течение |
дня |
изменяется по |
формуле: |
|||||||||||
f (t) 0,3t2 |
1,6t 4, |
t |
|
|
|
– |
|
|
|
|
время |
в |
часах. |
Имеем |
||||
8 |
|
|
t |
3 |
|
8 |
|
t |
2 |
|
|
8 |
|
80 |
|
|
4 8 32 (у.е.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Q ( 0,3t2 |
1,6t 4)dt 0,3 |
|
|
|
1,6 |
|
|
|
4t |
|
0,1 83 |
0,8 82 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 2. Найти запас товаров на складе, образовавшийся за 4 дня, если поступление товаров характеризуется функцией. Имеем
4 |
t |
3 |
|
4 |
|
t |
2 |
|
|
4 |
|
04 43 42 16 96 (у.е.). |
|
|
|
||||||||||
Q (3t2 2t 4)dt 3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
4t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|||||||||||
55
§17. Путь, пройденный материальной точкой
Краткие теоретические сведения Если материальная точка движется по некоторой кривой и абсолютная
величина ее скорости v=v(t) есть известная функция времени t , то путь, прой-
t2
денный точкой за промежуток времени [t1, t2], равен S v(t)dt .
t1
Пример 1. Скорость материальной точки определяется формулой v 
t 1
(м/с). Найти путь, пройденный точкой за первые 8 секунд после начала движе-
ния. Найти среднюю скорость за этот промежуток времени.
8
S
0
8 |
1 |
|
2 |
|
|
8 |
2 |
|
|
|
(м); vср |
|
S |
|
18 |
2,25(м/с). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t 1 |
dt (t 1) |
2 |
dt |
(t 1) |
t 1 |
|
(9 |
9 |
1) 18 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
3 |
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
t 8 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
56
§18. Работа переменной силы
Краткие теоретические сведения В §1 мы рассмотрели задачу о работе переменной силы, под действием
которой тело движется по прямой Ох, причем направление силы совпадает с направлением движения. Работа А такой силы F при перемещении тела из точ-
b
ки х=а в точку x=b (F – непрерывна на [a,b]) вычисляется: F(x)dx.
a
Пример 1. Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь осно-
вания которого равна S, высота Н, плавает на поверхности воды. Определить работу, которую нужно совершить, чтобы вытащить поплавок из воды, сохра-
няя вертикальное положение его оси, если плотность дерева равна γ (рис. 27)
Пусть AL высота подводной части поплавка ABCD, AL=h.
По закону Архимеда сила давления воды, действующая снизу вверх на плавающее тело, равна весу q, тогда q SH Sh .
Пусть к некоторому моменту времени подводная часть поплавка оказа-
лась поднята на высоту х (считая от поверхности воды). В этот момент времени сила давления воды на тело будет f (x) S(h x), а сила, которую нужно прило-
жить к телу, чтобы удержать его от погружения в воду, окажется равной
57
F(x) q f (x) Sh S(h x) Sx . Тогда |
h |
x |
2 |
|
h |
|
Sh |
2 |
. Так как |
H h, то |
||
|
|
|||||||||||
А Sxdx S |
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|||
А |
SН2 2 |
– искомая работа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Определить работу, которую надо затратить, чтобы поднять с поверхности Земли (радиус Земли R) на высоту h тело массы m. Найти эту ра-
боту при условии удаления тела на бесконечность.
Сила, которая действует на тело массы m, равна F k mM , r – расстояние r2
от центра Земли.
Работа А, затрачиваемая на поднятие массы m с поверхности Земли (r=R)
|
R h |
mM |
|
|
1 |
|
R h |
|
1 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
до высоты h (r+R=h), вычисляется: А |
k |
|
|
dr kmM |
|
|
|
|
|
kmM |
|
|
|
. |
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
R |
r |
|
|
|
r |
|
|
R |
|
R |
|
R h |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Так |
как |
на поверхности |
Земли |
(r=R) |
F=mg, то |
kM=gR2 и |
|||||||||||||||||||
А mgR |
2 |
1 |
|
1 |
|
mgR |
2 |
|
R h R |
mgh |
R |
|
mgh |
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
||||||||||
|
|
R |
|
|
R h |
|
|
|
R(R h) |
|
|
|
R h |
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда lim А limmgh |
R |
|
|
mgR |
mgR |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
h |
|
h |
|
|
R h |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для практического занятия (§§ 16,17,18) |
|
||||||||||||||||
1. |
Найти объем произведенной продукции за время t=6 ч., если произво- |
||||||||||||||||||||||||
дительность труда задана формулой |
f (t) t2 |
10t (ед./ч). |
|
||||||||||||||||||||||
2. |
Найти дневную выработку за рабочий день (длительность – 7 часов), |
||||||||||||||||||||||||
если производительность |
труда в |
|
течение дня |
изменяется |
по формуле |
||||||||||||||||||||
f (t) 0,6t2 |
1,8t 6 |
(t – время в часах). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
Определить выработку рабочего: а) за весь рабочий день; б) за четвер- |
||||||||||||||||||||||||
тый час работы; в) за шестой час работы, если продолжительность рабочего дня
8 часов, о производительность труда – f (t) 3t2 20t.
4. Найти запас товаров на складе, образовавшийся на складе за 6 дней, ес-
ли поступление товаров характеризуется функцией f (t) 6t2 4t 1.
58
5. Скорость материальной точки определяется формулой v(t) (2t 1)2
(м/с). Найти путь, пройденный точкой за первые 3 секунды после начала дви-
жения.
6. Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх. Считая, что при по-
стоянной силе тяги ракеты ее ускорение растет по закону j A (a-bt>0), a bt
найти скорость v в любой момент времени t, если начальная скорость равна ну-
лю.
7. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v0 (без учета сопротивления воздуха) вычисляется: v=v0-gt, t – время, g – уско-
рение силы тяжести. Определить, на каком расстоянии от начального положе-
ния будет находиться тело через 10 секунд от момента бросания.
8. При гармоническом колебательном движении по оси Ох около начала
координат скорость x’(t) определяется: |
x'(t) |
2 |
2 t |
|
|
(t – время, T – пе- |
||
|
cos |
|
0 |
|
||||
T |
T |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
риод колебания, φ0 – начальная фаза). Найти положение точки в момент време-
ни t2, если известно, что в момент t1 она находилась в точке х=х1.
9. Определить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружи-
ну на 6 см, если сила 1 Н растягивает ее на 1 см.
Указание. По закону Гука сила Хн, растягивающая пружину на х см, равна
Х=kx (k – коэффициент пропорциональности). |
|
|
|
|
|||
10. Два электрических заряда e |
|
1 |
10 7 k |
и e |
|
2 |
10 7 k находятся на оси |
|
|
||||||
0 |
3 |
|
1 |
3 |
|
||
Ох в точках х0=0, х0=1 (см) соответственно. Найти работу, которая будет произ-
ведена, если второй заряд переместится в точку х2=10 см.
Указание. Сила взаимодействия зарядов F 9 109 e0e1 Н. x2
Для вычисления силы давления жидкости используется закон Паскаля:
P hSg , P – сила давления жидкости на площадку S, δ – плотность жидкости, h
– глубина погружения, g – ускорение силы тяжести.
59
11. Вертикальная плотина имеет форму трапеции, верхнее основание а=70
м, нижнее – b=50 м, высота плотины h=20 м. Найти давление воды на плотину. 12. Котел имеет форму параболоида вращения (рис. 28). Радиус основа-
ния R, глубина котла Н. Котел наполнен жидкостью, плотность которой d.
Найти работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.
Указание. Рассмотреть сечение параболоида плоскостью, перпендикуляр-
ной оси вращения, на расстоянии х от вершины, площадь которого у2 . На площадь этой площадки действует сила веса столба жидкости, имеющего пло-
щадку своим основанием и (Н-х) – высотой. Уравнение параболы у2 2рх.
В заключении отметим, что существуют и другие приложения опреде-
ленного интеграла, кроме рассмотренных в предыдущих параграфах.
Приведем некоторые из них.
1. Пусть имеется непрекращающийся денежный поток, например, в слу-
чае эксплуатации земельного участка. Если r – непрерывная процентная ставка, R(t) – соответствующая рента, то дисконтированная стоимость земельного
|
|
rt |
|
участка выражается формулой: Р R(t)e |
|
dt . |
|
100 |
|||
0
Пример 3. Определить дисконтированную стоимость земельного участка,
если рента R(t) 3e 0,6t , r 12%.
60