Усі методички
.pdfгоризонтальній системі координат основною площиною є площина математичного горизонту NESW, а відліковими точками – точки зеніту z і Півдня S. Положення точки на небесній сфері визначається двома координатами: зенітною відстанню z (дуга вертикалу z ) і астрономічним азимутом Aа, який вимірюється дугою математичного горизонту від точки Півдня S до вертикалу світила за годинниковою стрілкою. На рис. 4 показано геодезичний азимут А від точки Півночі за годинниковою стрілкою до вертикала світила . Зазначимо, що азимут вимірюється в межах від 0 до 360 , а зенітна відстань дугою вертикала від точки зеніту z до світила від 0 до 180 . Зенітну відстань z можна замінити висотою h світила над горизонтом, яка відраховується від площини математичного горизонту по вертикалу до світила в межах від 0 до 90 . Таким чином, зв’язок між зенітною відстанню z і висотою h світила виражається формулою
z+ h = 90 .
2.Зміст роботи
Вихідними даними для обчислення ефемериди є:
- елементи початкової орбіти на момент t0: a0, e0, 0, i0, 0, 0;
- моменти спостережень t1, t2 і зоряний час S0 на початок доби спостережень;
-гравітаційний параметр моделі сферичної Землі з рівномірним розподілом мас у середині = 398600.5 км3/с2;
-геодезичні координати B, L, H пункту спостереження відносно загальноземного (геоцентричного) еліпсоїда з параметрами:
aе = 6378.137 км; |
e2 =6.69437999 10-3 |
Для обчислення ефемериди ШСЗ необхідно визначити положення супутника на задані моменти часу, що в даній задачі ви конується на основі незбуреного руху. Обчислення складаються з наступних етапів.
1.Обчислення середнього руху n і фокального параметра p
n = |
|
0 |
= |
1 |
|
0 |
, |
(1) |
|
a03 |
a0 |
|
a0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
p = a0 (1 − e02 ) . |
|
(2) |
7
Середній рух n – це середня кутова швидкість руху супутника по колу радіусом великої півосі орбіти а. Одиниці вимірювання середнього руху – радіан за секунду (рад./с).
2. Обчислення істинної аномалії vi та аргументу широти ui ШСЗ Параметр середній рух n дозволяє визначити кутове положення уявної
точки, яка рухається по коловій орбіті (радіуса а0) з середньою швидкістю відносно перигею (рис. 2), якщо відомо момент ti, на який треба обчислити положення супутника відносно початкового моменту t0, що співпадає з моментом проходження ШСЗ через перигей 0. Тобто обчислимо кут між напрямками на перигей і на уявну точку на, зазначеному вище, колі. Цей кут називається середньою аномалією M і визначається в радіанах, якщо різницю моментів ti i 0 виразити у секундах часу, маємо
M i = n (ti − 0 ) ; |
i =1, 2 . |
(3) |
Обчислення за формулою (3) виконується легко, якщо моменти ti і 0 виразити в долях години, а їх різницю помножити на 3600 і на значення середнього руху n. Якщо обчислення виконуються за допомогою калькулятора, то не скидаючи, отриманого значення середньої аномалії Мі, заносимо її у пам’ять калькулятора, переключаємо калькулятор на обчислення тригонометричних функцій від кутів, виражених у радіанах, і визначаємо ексцентричну аномалію Еі з рівняння Кеплера
Ei(n) = M i + e0 sin Ei(n−1) . |
(4) |
Тут зазначимо, що рівняння Кеплера розв’язується послідовними наближеннями. Для початкового наближення при невеликих значеннях ексцентриситету ( e0 0,3 ) можна прийняти, що
Ei(n−1) = M i .
Далі обчислення виконуємо за формулою (4) доти, поки виконається умова
Ei(n) − Ei(n−1) 1 10−8 .
Якщо перехід від кута М на уявну точку, обчислюваного з кінематичних міркувань, до кута Е на уявну точку, утвореного з геометричної побудови, здійснюється наближеннями, то перехід від ексцентричної аномалії Еі до істинної v виконується за допомогою строгого співвідношення
|
|
|
|
|
||
|
|
1 + e |
|
|||
v |
|
= 2 arctg |
|
|
0 |
|
s |
|
|
|
|
||
|
|
1 − e |
|
|
||
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
tg Ei(n) . (5) 2
8
При обчисленні на калькуляторі отримане останнє наближення ексцентричної аномалії поділити Ei(n) на 2, обчислити тангенс від кута в радіанах і
помножити на обчислену величину квадратного кореня, що стоїть перед тангенсом. Перед обчисленням арктангенса необхідно переключити калькулятор на обчислення кутів у градусах, тобто встановити „Deg”. Якщо арктангенс отримано в радіанах, то результат треба помножити на 180 і поділити на . Тепер знайдемо аргумент широти ui для кожного положення ШСЗ
ui = 0 + vi . |
(6) |
Тут елемент орбіти 0 – аргумент перигею заданий у вихідних даних.
3. Обчислення координат ШСЗ і складових його вектора швидкості в інерціальній системі
Параметри орбіти в прямокутній системі координат легко обчислюються за елементами орбіти, якщо відомий радіус-вектор супутника ri, його напрямні косинуси xi, yi, zi і часткові похідні напрямних косинусів по аргументу широти xi , yi , zi , а саме:
xi
yi
zi
ri = |
|
p |
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
||
1+ e0 cos vi |
|
|
||
xi = cos ui cos Ω0 |
− sin ui sin Ω0 cos i0 |
|||
yi = cos ui sin Ω0 |
+ sin ui cos Ω0 cos i0 |
, |
||
zi = sin ui sin i0 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
xi |
|
= −sin u |
|
cos Ω |
− cos u |
|
sin Ω cos i |
|
|
|
|
i |
i |
0 |
|
|||||||
|
ui |
|
|
0 |
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= −sin ui sin Ω0 |
− cos ui |
cos Ω0 cos i0 |
. |
||||
ui |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
zi |
|
= cos ui sin i0 |
|
|
|
|
|
|||
u |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7)
(8)
(9)
Тепер обчислимо координати і складові формулами:
xi |
|
xi |
|
|||
|
y |
|
= r |
|
|
, |
|
i |
|
yi |
|||
|
i |
|
|
|||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
zi |
|
вектора швидкості ШСЗ за
(10)
9
xiyi =zi
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
xi |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
sin v |
) |
|
|
+ (1 + e |
|
cos v |
) |
|
|
|
. |
(11) |
|
|
(e |
0 |
|
yi |
0 |
|
|
|||||||||
p |
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
yi |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
zi |
|
|
|
|
|
zi |
|
|
4. Обчислення координат ШСЗ в земній системі Для спрощення обчислень в даній роботі робиться припущення, що
небесний і земний екватори на моменти спостережень співпадають. Таким чином, при перетворенні координат супутника з інерціальної системи координат в земну (грінвіцьку) необхідно враховувати тільки добове обертання Землі відносно інерціальної системи, яке характеризується зоряним часом Si на моменти спостережень ti
~ |
h |
. |
Si = S0 + (1 + ) (ti ) |
|
Тут зоряний час S0 на початок доби заданий у вихідних даних, ~
(12)
= 0.0027379
– коефіцієнт переобчислення одиниць середнього сонячного часу UT1 (шкала Всесвітнього часу, приведеного до середньої осі обертання Землі) до одиниць
середнього зоряного часу, величина (ti )h – означає момент спостереження,
виражений в годинах. Зоряний час, обчислений за формулою (12), необхідно перевести з годинної міри в градусну. Для цього його треба помножити на 15, а тоді обчислити синус і косинус зоряного часу і переобчислити координати супутника в земну (грінвіцьку) систему координат
xiyizi
( з) |
cos Si |
sin Si |
0 |
xi |
|
|
|
||
|
= − sin Si |
|
0 |
yi |
|
|
|
||
( з) |
cos Si |
, |
(13) |
||||||
( з) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
z |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де xi ( з) , yi ( з) , zi ( з) – координати ШСЗ в земній (грінвіцькій) системі.
5.Обчислення просторових прямокутних координат пункту У вихідних даних положення пункту задане геодезичними координатами
B, L, H відносно геоцентричного загальноземного еліпсоїда, а для подальших перетворень координат ШСЗ координати пункту необхідні у системі прямокутних просторових координат X, Y, Z, які обчислимо за наступними формулами:
|
ae |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = |
; |
W = |
(1 − e |
2 |
sin |
2 |
B , |
(14) |
||
W |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
X = (N + H ) cos B cos L |
|
|
|
|
|
Y |
= (N + H ) cos B sin L . |
(15) |
|
= [N (1 − e2 ) + H ]sin B |
|
Z |
|
|
Тут N – радіус кривини першого вертикалу, е2 |
– квадрат першого |
|
ексцентриситету еліпсоїда. |
|
|
6. Обчислення топоцентричних координат супутника Тепер приведемо координати супутника відносно пункту спостереження,
тобто у топоцентричну систему координат
xi |
|
xi ( з) |
X |
|
|
||
y |
= |
y |
( з) |
− Y |
|
, |
(16) |
i |
|
i |
|
|
|
|
|
z |
|
z |
( з) |
Z |
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
де xi , yi , zi – топоцентричні координати ШСЗ.
7. Обчислення координат супутника в горизонтальній системі Топоцентричні координати ШСЗ перетворюються в горизонтальну
систему за допомогою матриці обертання, елементи якої обчислюються за геодезичними координатами B i L, а саме:
ni |
− sin B cos L |
− sin B sin L |
cos B |
xi |
|
|
|||
e |
|
= |
− sin L |
cos L |
0 |
|
y |
, |
(17) |
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
u |
|
|
cos B cos L |
cos B sin L |
sin B |
z |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
де ni, ei, ui – прямокутні горизонтальні координати ШСЗ (рис. 3). 8. Обчислення сферичних горизонтальних координат ШСЗ
Від прямокутних координат ШСЗ в горизонтальній системі легко перейти до сферичних, тобто обчислимо азимут Аі, висоту hi над горизонтом, або зенітну відстань zi, і топоцентричний радіус-вектор ri
|
e |
|
|
|
|
|
A = arctg |
i |
|
, |
(18) |
||
|
||||||
i |
n |
|
|
|||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
ui |
|
|
|
|
|
|
h = arctg |
|
|
|
|
|
, |
(19) |
|||
|
|
|
|
|
||||||
i |
|
|
n2 + e2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
z |
i |
= 90 − h |
, |
|
|
|
(20) |
|||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ri = |
|
ni2 + ei2 + ui2 |
. |
|
(21) |
|||||
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
3. Приклад оформлення завдання Застереження: кожний пункт, наведеного нижче, завдання виконано за
іншими вихідними даними.
1. Вихiднi данi:
a0 |
15951.3 km |
e0 |
0.1432 |
i0 |
62 43 23 |
|
|
|
|
|
|
0 |
135 27 14 |
0 |
97 12 38 |
0 |
9h04m42s |
t1 |
10h32m34s |
t2 |
11h04m23s |
So |
5h24m51s |
B |
58 18 12.41 |
L |
46 47 06.22 |
H |
2.6311 км |
|
|
|
|
|
|
|
398600.5 км3/c2 |
aе |
6378.245 км |
e2 |
6.693422 10- |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2. Обчислення
2.1. Середнього руху ШСЗ і фокального параметра n = 3.133821 10-4 рад./c
p = 15624.2125 км
2.2. Прогнозування незбуреного руху ШСЗ на два моменти часу
|
t1 |
t2 |
|
|
|
M (рад.) |
1.652151 |
2.250397 |
E(o) (рад.) |
1.652151 |
2.250397 |
E(1) (рад.) |
1.794877 |
2.361781 |
E(2) (рад.) |
1.791770 |
2.351087 |
E(3) (рад.) |
1.791869 |
2.352171 |
E(4) (рад.) |
1.791865 |
2.352061 |
E(5) (рад.) |
- |
2.352072 |
E(6) (рад.) |
- |
2.352071 |
E (рад.) |
1.791866 |
2.352071 |
v |
110 34 31 |
140 19 57 |
u |
207 47 09 |
237 32 35 |
r (км) |
16452.1835 |
17559.8339 |
xs (км) |
12838.8940 |
11479.5661 |
ys (км) |
-7705.2215 |
-1771.1129 |
zs (км) |
-6816.6492 |
- |
|
|
13169.3010 |
rконтроль |
16452.1835 |
17559.8339 |
|
12 |
|
2.3. Обчислення координат пункту
|
|
|
|
N (км) |
|
6394.0871 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
X (км) |
|
2194.1393 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Y (км) |
|
2418.5309 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Z (км) |
|
5463.6937 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.4. Обчислення координат ШСЗ в земній системі координат |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
S |
|
16h02m09.40s |
16h37m04.12s |
|
||||||
|
|
x (км) |
|
|
|
175.0862 |
-2458.4646 |
|
|
|||
|
|
y (км) |
|
15232.5930 |
11169.1093 |
|
|
|||||
|
|
z (км) |
|
-6691.3154 |
-13894.0676 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.5. Обчислення топоцентричних координат супутника |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x (км) |
|
-1729.0507 |
-4252.4817 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y (км) |
|
13005.5775 |
8806.7254 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z (км) |
|
|
|
- |
- |
|
|
|||
|
|
|
|
|
12278.0005 |
19765.3963 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
2.6. Обчислення прямокутних координат ШСЗ в горизонтальній системі |
||||||||||||
координат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n (км) |
|
|
|
- |
- |
|
|
|||
|
|
|
|
|
13660.6819 |
12847.7044 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
e (км) |
|
9562.1670 |
8862.6241 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
u (км) |
|
6695.8711 |
15578.9374 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.7. Обчислення координат супутника в горизонтальній системі координат (A, z, r )
A |
145 42 34 |
146 18 04 |
|
|
|
h |
22 09 08 |
45 43 58 |
|
|
|
r (км) |
18055.490 |
22274.750 |
|
|
|
z |
67 50 52 |
44 16 02 |
|
|
|
Література
1.Космическая геодезия: Учеб. Для вузов / В Н. Баранов, Е. Г. Бойко, И. И. Краснорылов и др. – М.: Недра, 1986. - 407 c.
2.Урмаев М.С. Орбитальные методы космической геодезии.– М., Недра,
1981.– 256 с.
3.Цюпак І.М., Марченко О.М. Рух супутника за законами Кеплера.- Методичні вказівки.- Львів: Нац. університет „Львівська політехніка”,
2014.- 19 с.
13
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
ПРОГНОЗУВАННЯ РУХУ СУПУТНИКА ТА ОБЧИСЛЕННЯ ЙОГО ЕФЕМЕРИДИ НА ОСНОВІ ЗАДАЧІ ДВОХ ТІЛ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до виконання лабораторної роботи з курсу “Супутникова геодезія та сферична астрономія, ч. 2”
для студентів основного напряму “Геодезія, картографія та землевпорядкування”
Укладачі: Цюпак Ігор Михайлович, канд.техн.наук, доц.
Марченко Олександр Миколайович, д-р.фіз.-мат.наук, проф.
Редактор
Комп’ютерне складання
Підписано до друку Формат 70 1001/16 . Папір офсетний.
Друк на різографі. Умови друк. арк. 14. Обл.-вид. арк. Наклад 50 прим. Зам.
Поліграфічний центр Видавництва Національного університету «Львівська політехніка»
Вул. Ф. Колесси, 2, 79000, Львів
14