Закатов Вища геодезія 1
.pdfприбору данной конструкции. Точность определения относительного ускорения сили тяжести в атом случае зависит только от случайньїх ошибок в определении периода качання маятников и и з м е н е н и й систематических ошибок и постоянннх прибора, которме могут произойти после наблюдений на исходном пункте.
Применением соответствующей методики и конструкции прибора ослабляется влияние и атих ошибок.
Точность окончательного вивода периода качання маятника после учета всех поправок характеризуется ошибкой около ±0,00000004 с; соответствующая ошибка в определении ускорения сили тяжести равна приблизительно
± 0,2 мгал.
Для уяснения идеи статического метода изложим принципиальную схему измерения сили тяжести прибором, в котором используется упругая сила пружини.
Пусть ми имеем тело с некоторой постоянной массой; вес атого тела определяется силой тяжести. Определим вес атого тела р в некотором исходном пункте, для которого известно значение сили тяжести g 0.
Вес атого тела в другой точке, для которой требуется определить силу тяжести, будет иной; назовем его через р 1? а искомую силу тяжести в опреде-
ляемой точке — через g x. Очевидно, изменение веса |
тела (рг — р) = Ар яв- |
ляется следствием изменения сили тяжести (Ag) = |
g x — g0. Следовательно, |
будем иметь: |
|
(Ag) = /(Ap),
gi = go+(&g)-
Простейшая возможная зависимость между (Ag) и (Ар) имеет вид
(/±g) = aAp+b.
Определение постоянннх а и b может бить произведено посредством изме рения веса тела в трех точках А, В и С сила тяжести для которьіх известна. Если обозначить:
gB ~ gA = (Agi) |
и |
Рв — Р А ^к Р і, |
gc — gB — (A g^) |
И |
Рс— Р Б = А р 2, |
то |
|
|
(Ag1) = aA p 1+&,
(Ag2) = а Ар 2 + Ь,
из которнх легко находятся неизвестние коаффициентн а и Ь.
Измерение веса тела должно бить произведено при помощи прибора, работа которого не зависит от сили тяжести; таким прибором могут служить пружиннне весьі, так как упругая сила пружини не зависит от сили тяжести.
Определение сили тяжести при помощи гравиметров занимает мало времени и производится с внсокой точностью.
§ 53. Потенциал сили притяжения
Пусть в пространстве имеем две материальнне точки А и В с координатами а, Ь, с жх, у, z (рис. 103). Обозначим массу точки А через т, массу точки В примем равной единице. Расстояние между точками обозначим через г.
230
Согласно закону всемирного тяготения, сила взаимного притяжения точек
А и В вьіразится |
формулой |
|
|
|
|
F = f ^ . |
(53.1) |
Расстояние |
г |
равно |
|
|
|
г2 — {а—х)2 -\-(Ь— у)2-\-(с —z)2. |
(53.2) |
Обозначим |
составляющие сили F по осям координат |
через Fx, Fy, Fz, |
|
а угльї, образуемьіе вектором ВА с осями координат, — а, |
[3, у. |
||
Очевидно, |
Fx, Fy, Fz будут проекциями вектора F на оси координат ох, |
||
оу, oz. |
|
|
|
Из рис. 103 |
FX= F cos а ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ - / ’c o s H |
(53.3) |
|
|
Fz —F cos у j |
|
(на рис. 103 для простотьі построения начало координат совмещено с одним из концов вектора F без изменения направлення осей).
Но
|
cos а = |
а — х |
"і |
|
|
------ |
|
|
|
|
0 |
Ь — у |
|
(53.4) |
|
cos р = |
------ |
|
|
|
1 |
г |
|
|
|
cos у = -— - |
|
|
|
Подставляя (53.4) в (53.3), |
получаем |
|
|
|
F x = |
F cos а = f m |
а — |
х |
|
г3 |
|
|||
Fy = F c o s ^ = f m- ^ |
(53.5) |
Fz = F cos у = fm
Сила притяжения и создаваемое ею напряжение является в е к т о р о м , которьій определяется как величиной, так и направлением в пространстве. Позтому характеристика силового поля в пространстве вьіражается тремя уравнениями (53.5).
Однако при определенньїх условиях поле сил может бьіть виражено одной
функцией от |
координат х, у, z, как независимнх переменннх. |
|
Возьмем |
функцию |
|
|
V = f ~ |
(53.6) |
и найдем частньїе производнне ее по координатам х, у и z, явно входящим в нее через г,
dV _ |
, т dr |
дх |
dx |
Зг |
|
|
|
Производная ^ внчисляется путем дифференцирования вираження (53.2) |
|||
дг ___ |
а — |
х |
(53.7) |
дх |
г |
|
|
|
* |
231
следовательно,
дУ |
fm |
а — х |
|
дх |
7-3 |
|
|
аналогично атому |
, |
|
|
дУ |
b — y |
|
|
- w = f m |
гз |
(53.8) |
|
|
|
c — z |
|
dz |
Jm |
|
|
гЗ |
|
||
Сравнивая (53.8) и (53.5), долучаєм |
|
||
ev |
|
|
|
дх |
|
|
|
дУ |
= F. |
(53.9) |
|
ду |
|
|
|
дУ |
= F. |
) |
|
dz |
|
|
Ф у н к ц и я V, ч а с т и м є п р о и з в о д н ь ї е к о т о р о й п о п р я м о у г о л ь н и м к о о р д и н а т а м п р и т я г и в а е м о й т о ч - ки р а в н ь ї с о с т а в л я ю щ и м с и л ь ї п р и т я ж е н и я п о о с я м к о о р д и н а т , н а з и в а є м с я п о т е н ц и а л ь н о й ф у н к ц и е й ,
и л и п р о с т о |
п о т е н ц и а л о м |
|
п р и т я ж е н и я . |
||
Рассмотрим |
более общий случай, |
|
когда |
точка притягивается некоторьім |
|
телом. |
На рис. 104 изображено тело т, |
создающее вокруг себя силовое поле притяжения. Определим напряжение атого поля в точке А. Разобгем обт>ем тела т на алементарньїе обт>емм.
dx = dadb dc. |
(53.10) |
Обозначим через б плотность в единице массьі текущей точки М, т. е.
6 = - ^ . |
(53.11) |
Тогда будем иметь |
(53.12) |
dm = 6 dadb dc. |
232
Аналогично |
с (53.5) проекциями сили притяжения злементарной |
массм |
||||||
в точке М на точку А будут: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dFx = f - а |
dm — f ^ (ao |
Xj |
da db dc |
|
|
|
|
|
|
|
7-3 |
|
|
|
|
|
|
dFу = f |
dm —/ |
в ^ r3 |
^ |
da db dc |
|
|
(53.13) |
|
|
|
|
|
da db dc |
|
|
|
Суммируя действие злементарньїх масо по всему обьему тела, долучаєм |
||||||||
|
Fx = f ^ ^ |
6{a^ x) |
dadbdc |
) |
|
|
|
|
|
Fy = f ^ |
6{b^ y) |
dadbdc |
•. |
|
|
(53.14) |
|
|
|
6(CrF Z) |
dadbdc |
|
|
|
|
|
Потенциал притяжения тела М на точку А вьіразится |
формулой |
|
||||||
тз |
л |
'Ш б |
da db dc. |
|
dV dv |
dV |
(53.15) |
|
|
|
|
|
кото- |
||||
В зтом легко убедиться, если вичислить производньїе |
— и |
|
||||||
рне будут равньї соответственно Fx, Fy, Fz. |
|
|
|
|
|
|||
Вводя в последнее вьіражение массу, можем написать |
|
|
|
|||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
(53.16) |
В (53.16) интегрирование вьшолняется по всему обьему тела т. Следовательно, пределн интегрирования определяются в зависимости от форми тела.
Если под телом понимать Землю, то внражение (53.16) будет представлять потенциал притяжения Земли на внешнюю точку; в зтом случае интегрирова ние должно внполняться по всему обьему Земли.
При бесконечном удалении тела от притягиваемой точки, т. е. когда расстояние г неограниченно велико по сравнению с размерами тела, вираження для сили притяжения и потенциальной функции напишутся:
|
|
|
|
(53.17) |
где М — масса тела. |
у - Щ - У |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из последних виражений имеем: |
|
|
|
|
lim F = 0; |
lim rV = fM\ |
lim r2 |
= fM. |
(53.18) |
r -*■ o o |
r —»■oo |
|
|
|
Функции, удовлетворяющие равенствам |
(53.17), |
назнвают |
р е г у л я р |
|
н и м и н а б е с к о н е ч н о с т и . |
|
|
|
До сих пор ми полагали, ч т о притягиваемая точка находится внепритягиватощего тела. Допустим теперь, что притягиваемая точка расположена внутри
233.
притягивающего тела. Тогда величина г в виражений (53.15) может принять мальїе значення и стремиться к нулю. При г, стремящемся к нулю, его значение будет становиться величиной первого порядна малости. Следовательно, внражение
d o d b dc
r
будет величиной второго порядна малости. Первьіе производньїе от потенциала, содержащие интеграл вида
^ b ^ - d a d b d c , |
(53.19) |
в зтом случае будут конечними и непрерьівньїми, так как, если (а — х) будет стремиться к нулю, числитель станет величиной четвертого порядна малости,
а знаменатель — третьего. Позтому отношение их будет |
первого порядка |
малости. |
п р и т я ж е н и я |
Отсюда вьітекает существенньїй вьівод: п о т е н ц и а л |
З е м л и и е г о п е р в ь і е п р о и з в о д н ь ї е в с ю д у к о н е ч н ь ї и о д н о з н а ч н а ; можно доказать, что они будут также непрернвннми.
Введение понятия потенциала приводит к тому, что вместо получения и исследования трех функций, вьіражающих компонентьі сильї по осям коорди нат, стало возможньїм находить и исследовать одну функцию. Вияснилось, что потенциальная функция обладает замечательннми свойствами, использование которнх оказалось чрезвнчайно плодотворним для решения многих научннх
проблем, в том числе и проблеми изучения фигурн Земли. |
|
|
||||||||
§ 54. Разложение потенциала земного притяжения в ряд |
|
|||||||||
Использование |
вираження |
для |
потенциала ]силн |
земного |
притяжения |
|||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dm |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
' ї |
г |
|
|
|
|
|
встречает известнне трудности. Более удобное внражение для потенциала V |
||||||||||
можно полупить путем разложения |
1/г в ряд. |
|
|
|
|
|||||
z |
|
|
Примем систему пространственннх прямо- |
|||||||
|
угольннх координат |
с началом в центре Земли |
||||||||
|
и |
с |
осью z, |
совпадающей с осью вращения |
||||||
|
Земли (рис. |
105). Тогда |
плоскость |
ху совпа- |
||||||
|
дает с плоскостью земного зкватора. |
|
||||||||
|
|
|
Напишем |
внражение |
для потенциала при |
|||||
|
тяжения |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
V |
|
d m |
|
(54.1) |
|
|
|
|
|
|
- f t |
V |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис 105 |
где |
р' — расстояние |
притягиваемой |
точки А |
||||||
(а, |
Ь, |
с) |
от текущей |
точки М (х, |
у , |
z) с зле- |
ментарной массой dm.
Обозначим расстояния от точек А и М до начала координат О соответственно г и р.
234
С введенннми |
обозначениями |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
р'* = (а —х) 2 + ІЬ— у)2 + |
(с— з)2 = а2 + Ь2 + с2 ■ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
— 2 {ах + by + cz) + х2 + у2 + z2, |
|
|
|
(54.2) |
|||||
|
|
|
|
г2 = |
a2 -f Ь2 + |
с2 |
|
|
|
|
(54.3) |
||
|
|
|
|
ч2 — |
/у.2 |
у2 + |
Z2 |
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
ж2 + |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(54.4) |
|
« 2 e |
|
2 rP |
a:r~l~^^~bCZ |
р 2 _ |
г 2 |
___2р. ах + |
^У + |
С2 |
і Р2 |
||||
|
|
|
^ |
гр |
|
' ^ |
|
\ |
Г |
гр |
|
' 7-2 / ’ |
|
Из треугольника |
ОМА (см. рис. 105) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
р»2 _ |
г2 — 2 гр CO Sl})4- Р2 - |
|
|
|
(54.5) |
||||
Сравнивая |
(54.4) с |
(54.5), |
находим |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
axArbyArez |
cos гр. |
|
|
|
(54.6) |
||||
Подставляя |
|
|
|
|
гр |
|
|
|
|
||||
(54.6) в (54.4), получаем, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
р*2 = т2 ( і — 2 -£ -co sip + iJ) . |
|
|
|
(54.7) |
|||||
|
|
|
|
|
І |
|
|
|
в (54.1), возведем (54.7) в сте- |
||||
Для получения внражения -т-, входящего |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
пень — у и |
разложим правую часть по биному Ньютона, тогда получим ряд |
||||||||||||
|
|
|
|
р |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
по возрастающим степеням -у- . 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
р 2 |
|
получаем |
|
|
|
|
|
||
Ограничиваясь членом с у , |
|
|
|
|
|
||||||||
|
у - |
= у |
р + jr cos ф■+ -SL (з cos2 У - 1) + . . . ) . |
|
(54.8) |
||||||||
Попутно укажем, что козффициентн при степенях у |
являются так на8н- |
||||||||||||
ваемнми сферическими функциями, применяемнми в теории потенциала. |
|||||||||||||
Подставляя |
|
|
|
|
і |
(54.1), находим |
|
|
|||||
найденное значение у - в |
|
|
|||||||||||
F |
= |
|
+ |
р cos гр dm-\- |
^ |
р 2 (3 cos2 гр — 1) dm-j- .... |
(54.9) |
||||||
Первин интеграл, распространенньїй на весь обтем притягивающего тела |
|||||||||||||
будет равен его массе М. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Второй интеграл, принимая во внимание (54.6), |
можно |
представить так: |
|||||||||||
-гт $ р cos'Фdm = т г У р 7^ dm+ 1* J р ^ * d |
|
m |
|
(54.10) |
Но координатні центра массьі тела (центра инерции) определяются формулой
j1х dm
(54.11)
f dm
235
Аналогичньїе вираження получаются для других осей координат. |
Земли, |
Так как начало координат нами било принято в центре массьі |
|
то х' = 0. Принимая во внимание, что |
|
J dm = М, |
(54.12) |
получаем |
|
l x d m = 0. |
(54.13) |
Аналогичньїе формули получаются по другим осям координат. Тогда перннй интеграл правой части (54.10) будет
^ 7р |
~ ~ г з \ ах |
= 7Г § х |
~ |
|
|
По тем же соображениям будут равнн нулю и остальнне два интеграла |
|||||
(54.10). |
|
|
|
|
|
Следовательно, |
р cos ф dm = 0. |
|
|
(54.14) |
|
|
|
|
|||
Таким образом, второй |
член разложения потенциала |
сили |
притяжения |
||
в ряд равен нулю. |
|
|
|
|
|
Рассматривая третий интеграл вираження (54.9) |
|
|
|||
^ р2 (3 cos2 ф— 1) dm —^ 1-^- {ах-f- by -j- cz) 2 — р2| dm, |
(54.15) |
||||
замечаем, что при возведении в квадрат трехчлена |
{ах + |
by + |
cz) появится, |
||
в частности, интеграл вида |
|
|
|
|
|
J ах by d m — ab\ ху dm. |
|
|
(54.16) |
Интегралн вида J xydm називаются произведениями инерции. При рас-
положении координатних осей, совпадающих с главннми осями инерции, они равнн нулю. Позтому (54.15) можно представить в виде
^ (її" (аж+ by + cz) 2 — р2j dm — J (3 (а2х2 -J- b2y2 -j- c2z2)— р2г2} dm = |
|
= 7Г j (З (а2*2 + &У + c2z2)— Р2 («2 + Ь2 + с2)} dm. |
(54.17) |
Соединяя вместе члени, содержащие а2, затем Ь2 и с2, разбиваем интеграл на три части, из которих первую напишем так:
^ а2 {Зх2 — р2) dm = — ^ {2 х2 — у2 — z2) dm. |
(54.18) |
Аналогично две другие части представятся интегралами:
^(2у2 — х2 —z2) dm,
^(2z2 — х2 —у2) dm.
Из механики известно, что главние моменти инерции А, В, С относительно осей координат ннражаются формулами:
А = J {y2 -\-z2)dm |
(54.19) |
|
В = j (ж2-j-z2 )dm\ С = J {х2 -f- у2) dm |
||
|
236
Легко проверить, что |
|
|
|
J (2 х2 — у2 |
—z2) dm = В-\-С — 2А |
|
|
J (2г/3 - z2 |
- z2) dm = |
С + А - 2 В |
(54.20) |
j (2z2 —Xі —у2) dm = |
А -\-В— 2С |
|
Позтому, принимая во внимание (54.18) и (54.20), интеграл (54.15) примет вид
-А- [а2 (В + С - 2 А ) + b2 (С + А - 2 В) + с2 {А + В - 2 С)]. |
(54.21) |
Введем теперь геоцентрические координати — широту Ф и долготу L, отсчитьіваемую от плоскости xz. Тогда на оснований (4.15) и (4.32) будем иметь:
|
а = r cos Ф cos L ] |
|
||
|
Ь= |
r cos Ф sin L і . |
(54.22) |
|
|
с = |
r sin Ф |
І |
|
Далее, заменяя cos2L |
и sin2L через |
косинуси |
кратних дуг, получаем: |
|
а-2 = |
А. г2 cos2 Ф (1 + |
cos 2L) |
|
|
Ь2 = А- г2 cos2 Ф (1 — cos 2L) |
(54.23) |
|||
|
с2 = г2 sin2 Ф
Заменяя в (54.21) величини а2, Ь2 и с2 через их вираження (54.23), группи-
руя члени, содержащие cos 2L, после некоторнх преобразований получаем вираження для третьего интеграла в (54.9)
( С |
— |
( 1 - 3 sin2ф ) ^ - 1 ( В - А ) cos2 Ф cos 2L. |
(54.24) |
Принимая во |
внимание (54.24), а также (54.14), получаем разложение |
||
потенциала V в ряд по (54.9) в окончательном виде |
|
||
V = Щ- + -X. ( с - |
-A+iL) (1 _ з sin2 Ф) + АА (В_ А ) cos2 Ф cos 2L. |
(54.25) |
Первнй член полученного вираження (54.25) представляет собой потенциал шара с массой, равной массе Земли.
Второй член, зависящий от широти, представляет собой влияние сжатия Земли или, иначе говоря, влияние возрастания масс от полюса к зкватору. Третий член представляет собой влияние неравномерного распределения масс по долготе.
Таким образом, полученная формула (54.25) справедлива и для трехосной Земли.
Если рассматривать Землю как тело вращения и моменти инерции относительно осей, расположенннх в плоскости зкватора, положить равннми между •собой, т. е. А = В, то третий член в формуле (54.25) пропадает; соответственно изменится в зтой формуле и второй член, и для данного случая формула (54.25)
шерепишется |
|
У = - ^ - + ( С - А ) ( і — 38іп2 Ф). |
(54.25е) |
237
Вьіше бьіли упомянутьі сферические функции, которне находят себе широкое применение во многих вопросах математической физики, в частности, в теории потенциала и решении основних задач внсшей геодезии на основе астро- номо-геодезических и гравиметрических измерений и спутниковнх наблюдений.
Перепишем (54.8) так:
У - Т [ l + |
T |
cos'l> + |
( • £ ) * ( 4 c o s * * - 1 ) + . . . |
|
|
+ ( f У*?» (cos ф)+ . . . ] . |
(54.26) |
||
Ряд (54.26) сходится |
при |
р <*r. |
Р п (cos ф) — внражение, |
являющееся |
функцией cos ф порядна п , представляет собой один из видов сферических функций; зто многочлени степени п от cos ф. Они назнваются многочленами
Лежандра. |
|
(54.26) перепишется |
|
В более общем вид0 формула |
|
||
|
П=*СО |
|
|
У |
= 2 |
т £ г із"(С08'Й- |
<54-27> |
|
П=0 |
|
|
Внражение для потенциала притяжения, принимая |
во внимание (54.1) |
||
и (54.27), в общем виде напишется: |
|
||
|
|
71= ОО |
|
y = |
|
- g _ p „ ( cos^)dm |
(54.28) |
|
|
71=0 |
|
или, учитнвая вираження для первнх трех членов ряда, данньїе формулой
(54.8): |
|
|
|
V = f |
+ / |
tosty d m + f j - ^ y ( 3 со82ф— i)dm + |
|
|
|
n =oo |
|
|
+ / |
2 j -^TT p n(cos t ) dm• |
(54.29) |
|
|
fl=3 |
|
Интегрируя первьіе три члена, получим формулу (54.25), конечно, без |
|||
последнего члена, |
т. е. |
|
|
|
Р = 1Т - + 4 |
>г(С - Л 1 Г - ) (l-3cos*2> ) + |
|
|
+ - ~ ( В —4 )sin 2d>cos2£. |
(54.30) |
Последовательное изучение вопросов программн данного курса дается без использования сферических функций. Приведеннне самьіе начальнне и злементарнне понятия об зтом виде специальннх функций и их применение даются для общего ознайомлення, которое может бить полезно при более детальном изучении теоретических вопросов геодезии по первоисточникам и специальньїм трудам (например, [1], [12]; [39] и многие другие).
238
n
§ 55. Основньїе свойства потенциала притяжения
Пусть задана материальная точка В с координатами х, у , z; на бесконечно малом расстоянии ds от В возьмем другую материальную точку В г с координа тами х + dx, у + dy и z + dz.
Очевидно,
ds = У (dx) 2 + (dy) 2 + (dz)2, |
(55.1) |
|||
dx — ds cos (s, |
x) ) |
|
||
dy = |
ds cos (s, |
y) |
[, |
(55.2) |
dz = |
ds cos (s, |
z) |
j |
|
где (s, х), (s, у) и (s, z) — угльї, образуемне направлением ds с осями коорди нат х , у, z.
Тогда потенциал У силн притяжения, как функция координат х , у, z, получит приращение при перемещении из точки В в точку В г, равное полному дифференциалу
тг/ |
j |
| dV , |
dV |
(55.3) |
|
d v = - t e dx+ - J i dv + |
- H dz- |
||||
|
|||||
Или, имея в виду (53.9), |
|
|
|
|
|
dV = Fx dx + Fy dy + |
Fz dz. |
(55.4) |
|||
Принимая во внимание (55.2), (55.4) и (53.3), |
|
||||
dV = F ds (cos (s, |
x) cos (F, x) -f- cos (s, y) cos (F, |
y) + |
|||
|
+ |
cos(s, z)cos(/’, z)}. |
(55.5) |
Ho вьіражение, стоящее в фигурньїх скобках, єсть косинус угла между направлением силн тяжести F и направлением злемента ds, т. е. cos (F, s). Позтому
dV — F ds cos (F, s). |
(55.6) |
Так как F cos (F, s) = Fs — составляющая силн F по направленню зле |
|
мента ds, то |
|
dV = Fs ds. |
(55.7) |
Из равенств (55.6) и (55.7) внтекает ряд важних свойств потенциальной функции.
Как известно из механики, злементарная работа сили F при перемещении точки на расстояние ds будет Fds; отсюда следует, что бесконечно малое при ращение потенциала єсть работа, которую совершает сила F при перемещении единицьі массн на расстояние ds.
При конечном перемещении единицн массн между некоторнми точками
М и N работа В, совершаемая |
силой F, |
будет равна разности потенциалов |
|
в зтих точках, т. е. |
|
|
|
м |
м |
|
|
Д = j Fdscos(F, ds) = J |
dV = VM — VN= fcV. |
(55.8) |
|
N |
N |
|
|
239