1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_8_22_лекц_1К
.pdfТеория вероятностей и математическая статистика
Лекция 8
1 курс. 4 зач.ед.
144 часа (36 час. лекц., 36 час. практич. зан., 72 час. самост. раб.). Экзамен.
1
Теория вероятностей и математическая статистика
6.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическим ожиданием* дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
*Понятие и термин «математическое ожидание» (МО) ввел
Гюйгенс в мемуарах «О расчете в азартных играх» (1657).
Современный термин МО ввел Лаплас (1795).
2
Теория вероятностей и математическая статистика
Вывод: Зная лишь математическое ожидание
случайной величины, нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания.
Таким образом, математическое ожидание не
характеризует полностью случайную величину.
3
Теория вероятностей и математическая статистика
Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям.
X — М(X).
4
8 Теория вероятностей и математическая статистика
Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:
М[Х — М(Х)] = 0.
5
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 1. Задан закон распределения дискретной случайной величины X :
X |
1 |
2 |
|
|
|
p |
0,2 |
0,8 |
|
|
|
Убедимся, что математическое ожидание отклонения равно нулю.
6
Теория вероятностей и математическая статистика
X |
1 |
2 |
|
|
|
p |
0,2 |
0,8 |
|
|
|
Решение. Шаг 1. Найдем математическое ожидание X:
М(Х) = 1 0,2 + 2 0,8 = 1,8.
Шаг 2. Найдем возможные значения отклонения, для чего из возможных значений X вычтем математическое ожидание М(X):
1 - 1,8 = - 0,8;
2 - 1,8 = 0,2.
7
Теория вероятностей и математическая статистика Шаг 3. Напишем закон распределения отклонения:
Х - М(Х) |
-0,8 |
0,2 |
|
|
|
р |
0,2 |
0,8 |
|
|
|
Шаг 4. Найдем математическое ожидание отклонения:
М[Х - М(X)] = (-0,8) 0,2 + 0,2 0,8 = 0.
Итак, математическое ожидание отклонения равно нулю, как и должно быть.
8
Теория вероятностей и математическая статистика
6.6. Дисперсия дискретной случайной величины
На практике часто требуется оценить рассеяние
возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.
Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.
9
Теория вероятностей и математическая статистика
На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение.
Однако такой путь ничего не даст, так как среднее
значение отклонения, т. е. М[Х—М(Х)], для любой случайной величины равно нулю.
10