scherbo-sp1

М-3. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ

3.0. Введение в модуль

Модуль содержит следующие структурные элементы:

1.Виды напряженного состояния.

2.Закон парности касательных напряжений.

3.Напряжения в наклонных площадках.

4.Главные напряжения.

5.Экстремальные касательные напряжения.

6.Траектории главных напряжений.

7.Деформированное состояние в точке.

8.Аналогия напряженного и деформированного состояний. Цель модуля – анализ напряженного состояния в точке.

3.1.Виды напряженного состояния

Всложных случаях действия сил на брус вопрос об определении наибольших напряжений, а также положения площадок, на которых они действуют, усложняется. Для решения этого вопроса приходится специально исследовать законы изменения напряжений при изменении наклона площадок, проходящих через какую-либо точку. Возникает проблема исследования так называемого напряженного состояния в точке деформируемого тела.

Напряженным состоянием в точке называют совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным через эту точку.

няется от точки к точке и поэтому по любому сечению т-п этого тела

напряжения распределены неравномерно. В этом случае при изучении напряженного состояния в какой-либо точке К мысленно вырезают в окрестности этой точки параллелепипед со сторонами dx, dy и dz (рис. 3.1, б). Ввиду малости параллелепипеда можно считать, что напряженное состояние во всех точках одинаково и совпадает с напряженным состоянием в исследуемой точке С. Поэтому как по граням, так и по любым его сечениям напряжения считаются распределенными равномерно. Указанные предположения позволяют исследовать закон изменения напряжений по

41

наклонным сечениям элементарного параллелепипеда, как это сделано для простого растяжения. Напряжения на гранях параллелепипеда при этом считаются заданными, а напряжения, действующие в его наклонных площадках, определяют с помощью метода сечений, т. е. из условий равновесия отсеченной части параллелепипеда.

В дальнейшем увидим, что в любой точке нагруженного тела всегда можно выделить элементарный параллелепипед, ориентированный так, что все его грани будут свободны от касательных напряжений. При этом различают линейное, плоское и объемное напряженные состояния в точке (рис. 3.2) в зависимости от того, испытывает ли параллелепипед растяжение (или сжатие) соответственно в одном,

двух или трех взаимно перпендикулярных направлениях.

Линейное напряженное состояние, например, испытывают точки бруса при центральном растяжении или сжатии. Плоское напряженное состояние наиболее часто встречается в задачах сопротивления материалов. Его характерным признаком является отсутствие каких-либо напряжений на двух параллельных гранях параллелепипеда.

Рассмотрим тонкую пластинку, находящуюся под действием произвольной системы сил, приложенных к кромкам пластинки и лежащих в ее плоскости (рис. 3.3, а).

а) б)

Рис. 3.3

На поверхности пластинки, параллельной плоскости zy, напряжения отсутствуют (σ = 0). Так как толщина пластинки мала, то можно считать, что их нет и внутри пластинки на площадках, параллельных этой поверхности. Поэтому в точках пластинки в общем случае будет иметь место плоское напряженное состояние. В описанных условиях находятся, например, элементы стержней и балок, изготовленных из относительно тонких пластинок. Вертикальная стенка двутавровой балки, выделенная двумя продольными сечениями т-п и т1-п1 (рис. 3.3, б), нагружена на контуре

42

некоторыми нормальными и касательными усилиями. Ее точки испытывают плоское напряженное состояние. Ввиду важности этого вида напряженного состояния для задач сопротивления материалов ему будет уделено ниже основное внимание.

Вырежем элементарный параллелепипед из пластинки, показанной на рис. 3.3, в окрестности произвольной точки К сечениями, перпендикулярными плоскости пластинки. Со стороны среды, окружающей параллелепипед, на него действуют в общем случае как нормальные, так и касательные усилия.

На рис. 3.4 показаны векторы нормальных и касательных напряжений, соответствующие этим усилиям. Оси координат совместим с центром элемента.

Выше указывалось, что во всех точках бесконечно малого параллелепипеда напряженное состояние считается однородным. Поэтому одноименные напряжения на параллельных гранях параллелепипеда (см. рис. 3.4) показаны численно равными друг другу. Следует обратить внимание на индексы при обозначении напряжений. У касательного напряжения имеется два индекса, например, τzу. Здесь

первый индекс показывает, что данное касательное напряжение действует на площадке с нормалью, параллельной оси z, второй индекс обозначает, что вектор касательного напряжения параллелен оси у. У нормального напряжения оба эти индекса совпадают и поэтому ставится лишь один индекс.

Примем следующее правило знаков для напряжений. Растягиваю-

щее нормальное напряжение будем считать положительным, сжимаю-

щее – отрицательным. Знак касательных напряжений τ связан с направле-

ниями осей координат: если внешняя нормаль данной площадки совпадает

снаправлением соответствующей координатной оси, то на этой площадке напряжение τ положительно, когда оно совпадает по направлению

ссоответствующей осью. Если же внешняя нормаль противоположна направлению оси (невидимые грани параллелепипеда на рис. 3.4), то на-

правление τ положительно тогда, когда оно также противоположно своей координатной оси. Это правило кратко называют правилом внешней нормали. Все напряжения, показанные на рис. 3.4 в осях z, у, положительны. Для наклонных площадок будем придерживаться того же правила знаков, но знак касательных напряжений будем оценивать относительно наклонных осей z', у' (рис. 3.5). Заметим, что поворот осей координат на 90°

43

меняет знак касательных напряжений на обратный, что в некоторых случаях необходимо учитывать в дальнейшем.

Рис. 3.5

При анализе плоского напряженного состояния в точке напряжения σz, σу, τzу и τyz считаются заданными и поэтому их называют исходными напряжениями.

3.2. Закон парности касательных напряжений

Параллелепипед, выделенный из тела (см. рис. 3.4), должен находиться в равновесии под действием сил, приложенных к его граням. Длины ребер параллелепипеда считаем равными dz, dy, a толщину элемента в направлении, перпендикулярном плоскости zу, примем равной единице. Сила, приложенная к какой-либо грани, равна соответствующему напряжению, умноженному на площадь грани, например, τzy dy 1. Очевидно, что

нормальные усилия на гранях параллелепипеда взаимно уравновешены. Касательные усилия на тех же гранях образуют две пары сил: τzydy с плечом dz и τyzdz с плечом dy, суммарный момент которых должен быть равен нулю:

(τzy dy)dz − (τ yz dz)dy = 0,

откуда

Ввиду того что элементарный параллелепипед может быть ориентирован произвольно, соотношение (3.1) выражает общее положение, назы-

ваемое обычно законом парности касательных напряжений. На любых взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по величине и направлены так, что стремятся вращать элемент в противоположные стороны.

Следовательно, при плоском напряженном состоянии возможны лишь два варианта действия касательных напряжений

(рис. 3.6).

44

3.3. Напряжения в наклонных площадках при плоском напряженном состоянии

В плоской задаче рассмотрим лишь одно семейство наклонных площадок, а именно: площадки, перпендикулярные ненагруженным граням параллелепипеда.

Разрежем элементарный параллелепипед, изображенный на рис. 3.4, наклонным сечением, перпендикулярным плоскости zу, выделив из него элементарную треугольную призму (рис. 3.7, а). Положение наклонной площадки и связанных с нею осей z', у' будем определять углом α. Угол поворота осей считаем положительным (α > 0), если он совершается в направлении от оси z к оси у по кратчайшему угловому пути. Для принятых осей z, у угол α > 0, если поворот совершается против часовой стрелки.

Напряжения на наклонной площадке σα и τα найдем из условий равновесия треугольной призмы. Положительное направление τα указано на рис. 3.7, б в соответствии с осями z', у'. Проектируя силы, действующие на призму, последовательно на оси z' и у', получим:

σαdF −σz dFz cos α − σy dFy sin α − τzy dFz sin α − τyz dFy cos α = 0;

ταdF + σz dFz sin α −σy dFy cos α − τzy dFz cos α + τyz dFy sin α = 0.

Подставляя вместо dFz и dFy их значения из (3.2), сократим все слагаемые на dF. Далее, учтя, что согласно (3.1) τzy = τyz , а 2sin αcos α = sin 2α и

cos2 α – sin2 α = cos 2α, найдем

Подстановка значений (3.5) в формулу (3.3) дает

Формулы (3.3) и (3.4) выражают закон изменения нормального и касательного напряжений в зависимости от угла наклона площадки. При этом знак τα, получаемый в формуле (3.4), соответствует осям z', у', повернутым до совмещения z' с внешней нормалью рассматриваемой площадки.

На рис. 3.7 наряду с исходным показан бесконечно малый элемент, выделенный в той же точке, но ориентированный по осям z', у'. Найдем напряжения на гранях этого элемента.

Напряжение σz' = σα определяется выражением (3.6). Для определе-

Запишем теперь напряжения, соответствующие осям z, у и z', у', в форме таблиц (матриц):

Так как оси в точке могут выбираться произвольно, то любая группа напряжений (3.8), соответствующая любым взаимно перпендикулярным площадкам, полностью определяет данное плоское напряженное состояние. При повороте осей координат преобразование компонентов напряженного

46

состояния происходит по выражениям (3.4), (3.6) и (3.7). Заметим, что сказанное позволяет рассматривать напряженное состояние в точке как некоторое понятие, более сложное и общее, чем, например, понятие числа, вектора.

Сложим выражения (3.6) и (3.7). Как видим, сумма σα и σα+90° не зависит от угла α (инвариантна к направлениям осей координат) и, следовательно, для данной точки эта сумма есть величина постоянная:

3.4. Главные напряжения

Будем мысленно вращать оси z', у' и прямоугольный элемент, меняя угол α (рис. 3.8). Очевидно, при каком-то угле α0 нормальное напряжение σα0 достигнет наибольшего для

данной точки значения. На основании выражения (3.9) можно сделать вывод, что напряжение на перпендикулярной площадке будет наименьшим. Найдем эти площадки и экстремальные для точки нормальные напряжения. Для этого приравняем нулю производную

Приравнивая нулю это выражение и обозначая угол наклона нормалей искомых площадок через α0, получим τα0 = 0. Это позволяет сделать

важный вывод: на площадках, где действуют экстремальные для точки нормальные напряжения, касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называются главными, а соответствующие им нормальные на-

пряжения – главными напряжениями в точке.

47

Приравнивая выражение в скобках формулы (3.10) нулю, найдем тангенс двойного угла, определяющего наклон нормалей главных площадок:

Выражение (3.12) дает два взаимно перпендикулярных направления с углами наклона α'0 и α0″ = α'0+ 90°, по которым действуют главные напряжения (рис. 3.9). Оси, совпадающие с линиями действия главных напряжений, называют главными осями в точке z0, y0. Для определения величины главных напряжений подставим в формулу (3.6) α = α0. Вынося

По известной из тригонометрии формуле, используя выражение

(3.12), находим

2α′0′ = 2α′0 +180o имеют противоположные знаки. Подставляя выражения

(3.12) и (б) в формулу (а), после приведения выражения в скобках к общему знаменателю и сокращения найдем два значения σα0 , обозначаемые

ми σ1 и σ2. Матрица (3.8) при плоском напряженном состоянии при этом запишется в виде

Вернемся к формуле (3.12). Она дает направления, но не указывает, в каком из них действует σmах, а в каком σmin. Для решения этого вопроса по правилам математики можно было бы исследовать знак второй производ-

зать, по какому из двух направлений действует σmах.

Из формулы (3.11) вытекает, что при τα > 0 имеем ddσαα > 0. Следо-

вательно, σα возрастает с увеличением α. Это показано на рис. 3.10. Аналогично, рассмотрев случай τα < 0, придем к общему выводу: с

поворотом площадки в направлении вектора касательного напряжения нормальное напряжение на площадке алгебраически возрастает. Например, при повороте вертикальных площадок в направлении τzу нормальные напряжения на них будут возрастать и, следовательно, при совпадении с ближайшей в этом направлении поворота главной площадкой достигнут σmах, как это показано на рис. 3.9 и 3.11, а. На основании этих рисунков можно сформулировать следующее правило: направление σmах всегда про-

ходит через две четверти осей координат, в которых стрелки касательных напряжений τzу и τzу сходятся.

Указанное правило станет физически более понятным, если обратить внимание на то, что касательные напряжения создают удлинение одной из диагоналей (рис. 3.11, б). Именно к этой диагонали и тяготеет направление σmах.

Заметим, что можно получить формулу, определяющую тангенс одиночного угла наклона нормали главной площадки σ1 или σ2. Для этого

49

предположим, что наклонная площадка элементарной призмы, изображенной на рис. 3.7, б, – главная. Тогда α = α0 = α1,2, τα0 = 0 и σα0 = σ1,2. Проектируя все силы, действующие на призму, на вертикаль, получим

σ1,2dF sin α1,2 −σy dFy − τzy dFz = 0.

Отсюда, учитывая равенства (3.2), найдем

В зависимости от того, какое из главных напряжений (σ1 или σ2) подставляют в эту формулу, получают тангенс угла наклона нормали соответствующей площадки. Этим автоматически решается вопрос о выборе из двух главных направлений направления σmах.

3.5. Экстремальные касательные напряжения

Одно и то же плоское напряженное состояние в точке может быть представлено различными исходными площадками и напряжениями. Так как касательные напряжения на главных площадках отсутствуют, то главные площадки и напряжения наиболее просто определяют напряженное состояние в точке. Поэтому примем их за исходные (рис. 3.12, а). Для краткости по-прежнему обозначим σmax = σ1 и σmin = σ2. Отсчитывая

угол α от направления σ1, напишем значения σα и τα по формулам, полагая в них σz = σ1, σy = σ2 , а τzy = 0 :

Экстремальные касательные напряжения в точке равны полуразности главных напряжений и действуют на площадках, наклоненных к главным под углом 45° (рис. 3.12, а).

Подставляя выражение (3.13) в формулу (3.16), получим значение τmax через исходные напряжения σz, σу и τzy: