Учебники 80285
.pdfциллографа, и на его экране наблюдается картина затухающих колебаний.
Порядок выполнения работы.
1.Ознакомиться с описанием приборов. Собрать электрическую схему измерительной установки (рис.7). Установить заданные преподавателем величины емкости С, индуктив-
ности L и значение сопротивления RМ = 0 ( в этом случае полное сопротивление контура равно активному сопротивлению катушки индуктивности).
2.Включить осциллограф и генератор импульсов ГИ, дать им прогреться 2-3 мин.
Рис.7
3. Регулируя частоту развертки осциллографа, добиться получения на экране устойчивой картины затухающих колебаний. Усиление по горизонтали и вертикали следует подобрать так, чтобы на экране наблюдалась полная картина затухающих колебаний, подобная изображенной на рис.8.
4. Ручкой вертикального смещения "↕" расположить изображение симметрично относительно, горизонтальной
102
средней линии шкалы осциллографа. Зарисовать полученную картину.
|
t1 t2 |
t3 |
t4 t1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
Рис.8
5. Определить период Т собственных колебаний контура: Это можно сделать двумя методами:
а) Необходимо измерить горизонтальное расстояние между двумя точками, соответствующее периоду колебаний в делениях шкалы осциллографа, и умножить его на коэффициент развертки (положение переключателя ВРЕМЯ/ ДЕЛ) и положение переключателя скорости развертки "х1, х0,2".
в) Определить период Т0 собственных колебаний контура по формуле T0 = n0 t0, где n0 - число малых делений масштабной сетки осциллографа, соответствующих периоду T0, t0 -
цена одного малого деления. Причѐм t0 |
1 |
N , где |
1 |
с - |
|
50 |
50 |
||||
|
|
|
время следования импульса синхронизации, N - полное число малых делений масштабной сетки между двумя последующими импульсами зарядки (точки 1 и 2 рис.8).
6. Определить в делениях шкалы осциллографа величину амплитуды затухающих колебаний через один или, если затухание не велико, через несколько периодов колебаний. По
103
полученным значениям амплитуд Am и Am+n периодов (m и m+n числа периодов колебаний) определить логарифмичес-
кий декремент затухания λ и добротность Q из соотношений:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Am |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
; |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
Am n |
. |
|
|
|
|
||||||||
7. Сравнить полученные значения Т , |
и Q с их теорети- |
||||||||||||||||||||
ческими значениями, рассчитанными по формулам |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
T |
2 ( |
1 |
)2 |
( |
R |
) |
2 , |
|
T |
R |
T , |
Q |
|
|
(11) |
||||||
|
|
|
LC |
|
|
2L |
|
|
|
|
|
2L |
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. По указанию преподавателя выполнить пп.3-7 для |
|||||||||||||||||||||
других значений RM, оставляя L и С постоянными. |
|
|
|||||||||||||||||||
9. |
Постепенно увеличивая сопротивление RM |
добиться |
перехода от колебательной формы разряда к апериодическому разряду. Зарисовать картину, наблюдаемую на экране осцил-
лографа при сопротивлении контура, равном RКР. Сравнить полученное значение RКР со значением, рассчитанным по формуле (7). Все данные поместить в табл. 1 и 2.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
№ |
С, |
L, |
7, Ом |
Т, |
Т, |
RKP, |
R |
изм. |
мкф |
мГн |
|
с |
расч. |
Ом |
Кр.расч. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
||
№ |
С, |
L, |
R=RM+RK |
Am |
Am+n |
n |
λ |
λ |
|
Q |
Q |
изм |
мкф |
мГн |
Ом |
|
|
|
|
расч. |
|
расч |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
104
2.10. ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Теоретическое введение
Вынужденные электрические колебания можно осуще-
ствить, если включить последовательно с элементами контура (рис. 1) переменную ЭДС, т.е. разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение (рис.3)
U = U0 cosωt . |
(1) |
Тогда формула (1) примет вид
IR |
q |
L q U |
0 соs t . |
(2) |
|
|
|||||
С |
|||||
|
|
|
|
Произведя преобразования (см. работа 2.9 формулы 1-3),
получим дифференциальное уравнение вынужденных
электромагнитных колебаний
|
|
|
q |
2 q |
2 |
|
U 0 |
|
соs |
t . |
|
|
|
(3) |
|||
|
|
|
0 |
|
L |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В случае установившихся колебаний дифференциаль- |
|||||||||||||||||
ное уравнение имеет решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
q = q0 cos(ωt + ψ), |
|
|
|
(4) |
|||||||||
где ω – частота вынуждающего напряжения, |
|
|
|
|
|||||||||||||
q0 |
|
|
U 0 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
U 0 |
|
|
, |
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 2 |
4 2 2 |
|
|
|
R2 |
L 1 С 2 |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
tg |
|
2 |
|
|
|
|
|
R |
. |
|
|
(6) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
L 1 C |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продифференцировав (4) по t,найдем силу тока в контуре
I = - q0 ω sin(ωt + ψ) = I0 cos(ωt + ψ + π/2),
где I0 = q0 ω – амплитуда тока. Запишем это выражение в виде
105
I = I0 cos(ωt – φ), |
(7) |
где φ = -(ψ + π/2) – сдвиг фаз между током и приложенным напряжением.
Тогда в соответствии с (5) и (6)
I 0 q0 |
|
|
|
|
U 0 |
|
|
, |
(8) |
|
|
R |
2 |
|
|
L |
1 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
1 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tg |
ctg |
|
|
|
|
. |
|
(9) |
||
|
|
|
R |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фа- |
||||||||||
зе с током: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UR = I0Rcos(ωt – φ) = URocos(ωt – φ), |
(10) |
|||||||||
где URo = I0 R – амплитудное |
|
значение напряжения на актив- |
||||||||
ном сопротивлении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3 |
|
|
|
|
|
|
Рис.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В соответствии с (4), (5) и (8) напряжение на ѐмкости |
|
|
|||||||||||||||||||
|
U |
|
|
q |
|
q0 |
cos t |
|
|
I 0 |
cos t |
|
|
|
|
|
|
||||
|
C |
|
C |
C |
|
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
|
|
U C0 cos |
t |
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Здесь Uc0 = I0/ωC– амплитудное значение напряжения |
|||||||||||||||||||
на |
емкости. Напряжение на индуктивности получим |
|
как |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
производную от функции (17), умноженную на L: |
|
|
|||||||||||||||||||
Ul |
|
L |
dI |
|
LI 0 sin( |
t |
|
U L0 cos( t |
|
|
) |
|
|
||||||||
|
dt |
|
2 |
. |
(12) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ULo = I0 ω L – амплитуда напряжения на индуктивности.
Сопоставление формул (14), (17), (19) - (22) показывает, что ток отстает по фазе от вынуждающего напряжения в том случае, когда ωL>1/ωC, и опережает, когда ωL<1/ωC. Напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π/2, напряжение на индуктивности опережает ток на π/2. Фазовые соотношения можно наглядно представить с помощью векторной диаграммы (рис.4), построенной на основании уравнения (12), из которого следует
UR + UC + UL = U0 cos ωt, |
(13) |
из зависимостей (17), (21) и (22).
Для рассматриваемого контура можно записать закон Ома, связывающий амплитудные значения тока и внешнего напряжения:
I 0 |
U 0 Z , |
|
|
|
(14) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
R 2 ( L |
1 |
)2 . |
(15) |
||
C |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Величину Z называют полным сопротивлением цепи, XL = ωL – индуктивным сопротивлением, ХС = 1/ωС – емкостным сопротивлением.
Из формул (24) и (25) следует, что при условии ωL–1/ωC=0 амплитуда тока достигает максимального значения – наблюдается явление резонанса тока. Кривую зависимости амплитуды тока от частоты внешнего напряжения называют резонансной кривой, или резонансной характерис- тикой данного контура. На рис.5 даны резонансные кривые при различных активных сопротивлениях контура. Чем меньше активное сопротивление контура R, тем больше амплитуда тока при резонансе и тем острее резонансная
107
кривая. Из формул (24) и (25) следует, что резонансная часто-
|
|
|
|
|
та контура определяется соотношением |
P |
1 LC , ампли- |
||
туда тока при резонансе равна I0 U R , а сдвиг фаз φ=0. |
В соответствии с формулой (10) URo = IоR. Таким образом, резонансная кривая для амплитуды напряжения на активном сопротивлении отличается от резонансной кривой для амплитуды тока лишь множителем R , т.е. максимальное значение амплитуду напряжения на активном сопротивлении достигается при частоте ωp (рис.6). На основании формул (11) и (12) получаем выражения для определения амплитудных значений UCo и ULo
UC0 |
|
|
|
|
|
|
U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC ( |
1 |
|
2 )2 |
2 R2 |
1 2LC |
2 |
L2C 2 4 |
R2C 2 |
2 , (16) |
|||||||||||||||
|
LC |
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
U 0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 0 |
|
|
|
|
|
U L0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
( 17) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 ) |
|
2 R 2 |
( |
1 |
|
1)2 |
R 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
LC |
|
|
L2 |
|
LC |
2 |
L2 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выражений (16) и(17) видно, что значения UCo и ULo зависят как от параметров самого колебательного контура (R, L, C), так и от частоты внешнего напряжения (ω) Зависимости величин ULo и UCo от частоты имеют явно выраженный резонансный характер (см. рис.6). Резонансные частоты находят из условия максимума напряжения (производные от полученных выражений (16) и (17), взятые по частоте, приравниваются к нулю). Проделав эти операции, получаем:
2
PC
2
PL
|
1 |
|
|
1 R2 |
2 |
, |
(18) |
|||
|
LC |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
||
|
|
2 L |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 . |
(19) |
|
(2LC |
|
R2C 2 ) |
|
2 |
|
причем ωPC < ωP < ω PL .
108
Определяя резонансные частоты экспериментально и зная один из параметров контура (например R), из полученной системы уравнений (13) и (19) можно найти неизвестные значения L и С .
|
Рис.5 |
|
|
|
|
|
Рис.6 |
|
|
|
|
||||||
Амплитуды напряжений на емкости и индуктивности при |
||||||||
резонансной частоте ωp соответственно равны |
|
|||||||
UCoP = XCP*IoP=Uo*Q; ULoP=XLP*IoP=Uo*Q, |
где |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
1 |
|
L |
, |
(20) |
|
|
|
|
|
|
||||
R |
|
C |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
добротность контура. Добротность контура показывает, во
сколько раз амплитудные значения напряжений на реактивных элементах, т.е. на емкости и индуктивности, при резонансе больше, чем амплитудное значение внешнего напряжения (см. рис.6):
Q |
U C0 P |
|
U L0 P |
. |
(21) |
|
|
||||
|
U 0 |
|
U 0 |
|
Итак, явление резонанса в последовательном колебательном контуре заключается в том, что при определенной частоте
внешнего напряжения, равной ωP, амплитуда тока в контуре достигает максимального значения. При резонансе полное
109
сопротивление контура равно его активному сопротивлению R, а сдвиг фаз между током в контуре и внешним напряжением равен нулю. Контур действует как активное сопротивление.
В момент резонанса амплитудные значения напряжения на индуктивности и емкости равны и достигают значения,
которое может быть значительно больше амплитудного значения внешнего напряжения. Поэтому явление резонанса в последовательном контуре называют резонансом напряже-
ний.
Для изучения вынужденных электрических колебаний последовательно с элементами контура подключается звуковой генератор (ГЗ) переменного напряжения (рис.9). Измеряя
цифровым вольтметром напряжения на каждом из элементовОписание установкиконтура, в за-
висимости от частоты выходного сигнала ГЗ, получают данные для построения резонансных кривых.
Порядок выполнения работы
1. Переключатели емкостей и индуктивностей колебательного контура установить в положение''CX''и ''LX'' . При помощи магазина сопротивлений установить определен-ное значение сопротивления RM по указанию преподавателя. Полное активное сопротивление контура R считать равным сопротивлению RM (омическим сопротивлением катушки индуктивности пренебрегаем RK<<RM ).
2 Снять резонансные кривые URo = URo(ν), ULo = =ULo(ν), UCo = UCo(ν) при постоянном значении величины диодного напряжения ГЗ, регулируемого ручкой РЕГ. ВЫХ. ГЗ. Для этого подключить генератор к колебательному контуру, вольтметр - поочередно параллельно активному
110
сопротивлению R (рис.9,а), катушке индуктивности L (рис.9,б), конденсатору C (рис. 9,в).
Рис.9
Для получения хороших графиков необходимо снять по 20 значений URo, ULo и UCo: 10 точек до резонанса, резонансное значение и 9 точек после резонанса с интервалами частот 200 или 250 Гц в зависимости от цены деления ГЗ в данной области частот. Полученные данные заносятся в таблицу 3.
Таблица 3
νR, Гц
URo, B
νL, Гц
ULo, В
νС, Гц
UCo, B
По полученным данным построить графики URo = URo(ν); ULo = ULo(ν); UCo = UCo(ν) на одном рисунке (аналогично рис. 6). Определить резонансные частоты ωP,
ωPL, ωPC, учитывая, что ω=2πν. Из формул (28) и (29)определяют значения LX и CX (расчеты можно провести на
ЭВМ, программа №220).
Убедиться в правильности формулы
111