Учебники 80226
.pdfИз треугольника ACD по теореме косинусов находим
|
|
|
|
d 2 r 2 |
r 2 |
2r r cos . |
|||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
r 2 |
r 2 |
d 2 |
|
(0,05м)2 |
(0,12м)2 (0,1м)2 |
|||
cos |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
0,576 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2r1r2 |
|
|
2 |
0,05м 0,12м |
Подставив в формулу для В значения 0 , J , r1 , r2 и
cos найдём B 286мкТл.
Ответ: B 286мкТл.
Задача 2.2. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого провода в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии r0 = 20 см от середины его (рис. 2.2). Сила тока I,
текущего по проводу, равна 30А, длина l отрезка равна 60 см.
Дано:
r0 =20см=0,2м I=30A l=60cм=0,6м
B - ?
Лапласа:
dB
Решение
Для определения магнитной индукции поля, создаваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био-Савара-
0 J sin dl . 4 r 2
Прежде, чем интегрировать это выражение, преобразуем его так, чтобы
можно было интегрировать по углу а. Выразим длину элемента dl проводника через d . Согласно рис. 2.2 запишем
dl rd , Подставим это выражение dl в формулу: sin
dB |
|
0 I sin r d |
|
|
0 J d |
. |
|
4 r 2 sin |
|
4 r |
|||
|
|
|
|
|
11
Но r – величина переменная, зависящая от и равная
r r0 . sin
Подставив r в предыдущую формулу, найдем:
dB 0 I sin d
4 r0
Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком проводника, проинтегрируем полученное выражение в пределах от 1 до 2 :
2 |
0 I |
|
|
|
0 I |
2 |
||
dB |
sin d |
|
sin d |
|||||
4 r |
|
4 r |
||||||
1 |
|
|
|
1 |
||||
|
0 |
|
|
0 |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 I |
(cos 1 |
cos 2 ). |
|||||
4 r0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cos 2 cos 1 . С учетом этого
формула примет вид:
I
B 2 0r cos 1 .
0
Из рис. 2.2 следует cos 1 |
|
|
|
|
|
l / 2 |
|
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
r 2 |
(l / 2)2 |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
B |
0 I |
|
|
l |
|
|
|
. |
|||
2 r0 |
|
|
|
||||||||
4r 2 |
l 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Подставляем числовые значения в формулу и получаем: В = =24,9 мкТл.
Ответ: В = 24,9 мкТл.
Задача 2.3. По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток I = 40 А. Длина а стороны треугольника равна 30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот.
12
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
||||
I =40А |
|
|
|
|
|
Согласно принципу суперпозиции магнитных |
||||||
a =30см=0,3м |
полей, индукция в центре равностороннего |
|||||||||||
В - ? |
|
|
|
|
|
|
треугольника (рис 2.3) B 3B1 где |
|||||
|
|
|
|
0 I |
|
|
|
|
|
|
||
B1 |
|
|
(cos 1 |
cos 2 ) – индукция от одной из сторон |
||||||||
4 r0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
треугольника. Учитывая, что в данном случае |
||||||||||||
cos 2 |
cos 1 , получим |
|||||||||||
B 0 I 2 cos 1 |
0 I cos 1 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
4 r0 |
2 r0 |
||||||
Заметим, что |
|
|||||||||||
r |
|
R |
|
a |
|
|
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
где r0 |
|
– радиус вписанной; |
|||||||
|
|
|
R – |
описанной окружности; |
а – сторона равностороннего треугольника.
Используя полученные соотношения и проводя вычисления, получаем:
B 3B |
|
3 0I cos 1 |
|
3 0I cos 2 |
3 |
2,4 10 4(Тл) 240мкТл. |
|
|
|
||||
1 |
|
2 r0 |
|
2 a |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 240 мкТл.
Задача 2.4. Бесконечно длинный проводник изогнут так,
как это изображено на рис. 2.4. Радиус дуги окружности
R = 10 см. Определите магнитную индукцию B поля, создаваемого в точке О током I = 80 А, текущим по этому проводнику.
13
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R=10см=0,1м |
|
Магнитную индукцию |
B в точке О найдем, |
||||||||
I=80A |
|
|
|
используя принцип суперпозиции магнитных |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B - ? |
|
|
|
|
полей |
|
B |
Bi . |
В |
нашем |
|
|
|
|
|
|
случае |
проводник |
можно |
|
|||
разбить на три части (рис. 2.4): два |
|
||||||||||
прямолинейных проводника (1 и 3), одним |
|
||||||||||
концом уходящие в бесконечность, и дугу |
|
||||||||||
полуокружности (2) |
|
радиуса |
R. |
Тогда |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B B1 |
B2 |
B3 , где B1 , B2 , B3 – |
магнитные |
|
|||||||
индукции поля в точке О, создаваемые током, |
|
||||||||||
текущим соответственно на первом, втором и |
Рис 2.4 |
третьем участках проводника. |
|
|
|
||
Так как точка О лежит на оси проводника 1, |
то B1 0 и |
||||
|
|
|
|
|
|
тогда B B2 |
B3 . Учитывая, что векторы B2 |
и B3 |
направлены |
в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:
B B2 B3 .
Магнитную индукцию поля B2 можно найти, используя
выражение для магнитной индукции в центре кругового проводника с током I :
B 0 I . 2R
Так как магнитная индукция В2 создается в точке О половиной такого кругового проводника с током, то, учитывая равный вклад в магнитную индукцию от каждой половинки проводника, можно написать:
B2 0 I . 4R
Магнитную индукцию B3 найдем, используя формулу задачи 2.2:
14
|
|
|
|
B |
|
0 I |
(cos 1 |
cos 2 ). |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
4r0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В нашем случае r |
R |
, |
1 |
|
|
(cos |
1 |
0), |
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(cos 2 |
1) и B3 |
|
|
0 I |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Используя найденные |
выражения B2 и |
B3 , |
|
получим: |
||||||||||||||||||||
B B |
|
B |
0 I |
|
0 I |
|
, или B |
0 I |
( 1). |
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
3 |
4R |
|
4R |
|
|
|
|
|
|
|
4R |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Произведя вычисления, найдем В: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
B |
4 10 7 80 |
( 1) 3,31 10 4 Тл 331мкТл |
||||||||||||||||||||
|
|
4 0,1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: В=331мкТл.
Задача 2.5. Определите магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом R = 5 см, по которому течёт ток I =10А, в точке А, расположенной на расстоянии d = 10 см от центра кольца.
Дано:
R=5см=0,05м I=10А d=10см=0,1м
В - ?
где dB элементом тока
|
Решение: |
|
|
||
Магнитное поле создается |
|
||||
током, текущим по кольцу. |
|
||||
Для решения задачи |
|
|
|||
воспользуемся законом Био- |
|
||||
Савара – Лапласа: |
|
|
|||
|
|
0 I dl r |
|
Рис. 2.5 |
|
|
dB |
|
|
, |
|
|
4 r3 |
|
|||
— |
магнитная индукция поля, |
создаваемого |
|||
Idl |
в точке, определяемой радиус-вектором r . |
15
|
Выделим на кольце элемент dl |
и от него в точку А проведем |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиус-вектор r (рис. 2.5). Вектор dB направим в соответствии с |
|||||||||||||||||||||||
правилом буравчика. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Запишем закон в скалярном виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
dB |
0 I dl Sin |
, |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где r 2 R2 d 2 , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
dB |
|
0 I dl |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 (R 2 d 2 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Разложим вектор dB на составляющие dB1 |
и dB2 (рис. 2.5) |
||||||||||||||||||||||
dB1 |
dB sin , sin |
|
|
|
R |
|
|
|
, dB2 |
dB cos . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R 2 d 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Согласно |
принципу |
|
|
суперпозиции магнитных полей, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
магнитная индукция |
B в точке А определяется интегралом |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
B |
dB , |
|
|
dB dB1 |
dB2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца. Так |
|||||||||||||||||||||||
|
|
параллельно плоскости кольца, то dB2 0 (из |
|||||||||||||||||||||
как dB2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
соображений симметрии), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 R |
0 IR dl |
|
|
|
0 I 2 R |
2 |
|
0 IR |
2 |
|
|||||||||||
B dB1 |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
4 (R2 d 2 )3 2 |
|
4 (R2 d 2 )3 2 |
2(R2 d 2 )3 2 |
||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим числовые значения в единицах СИ, вычислим:
B |
4 10 7 |
10 25 10 |
4 |
11,2 10 6 |
(Тл) 11.2мкТл |
||
2(25 |
10 4 1 10 2 )3 2 |
||||||
|
|
|
Ответ: В=11,2 мкТл.
Задача 2.6. Замкнутый тороид с железным сердечником имеет N=400 витков из тонкого провода, намотанных в один слой. Средний диаметр тороида d = 25 cм. Определить напряженность и индукцию магнитного поля внутри тороида,
16
магнитную проницаемость железа, а также намагниченность J при значениях силы тока в обмотке тороида I1 =0,5 A и I 2 =5 A.
Дано:
N=400 витков d=25см=0,25м I1 =0,5А
I2 =5А
H1 ? H2 ?
1жел ? 2жел ?
I1 ? I2 ?
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|||||||
|
Применяя теорему о циркуляции вектора |
|||||||||||||||
|
|
|
|
вдоль окружности с |
диаметром d |
|||||||||||
|
|
H |
|
|||||||||||||
|
(средняя |
линия |
тороида; |
рис. 2.6) |
||||||||||||
|
|
H d IN , |
находим |
напряженность |
||||||||||||
|
магнитного поля |
внутри тороида: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
IN |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( d ) |
|
|||
|
Отсюда |
после |
подстановки численных |
|||||||||||||
|
данных получаем: |
|
||||||||||||||
H |
|
|
|
0,5 400 |
255( |
А |
) , |
|
||||||||
1 |
|
3,14 0,25 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
м |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
H |
|
|
|
|
5 400 |
|
2550( |
А |
) . |
|
||||||
2 |
3,14 0,25 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
м |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.6 Рис. 2.7
Далее, используя график на рис. 1.2, определяем магнитные
индукции: |
B1 =0,9 Тл, |
B2 |
|
=1,45 Тл. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Затем |
по формуле |
B |
0 H находим магнитные |
||||
проницаемости ( |
|
B |
) : |
|
|
||
0 H |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
17
1 2.8 103 , 2 4,5 102 ,
Анализ полученных данных позволяет установить, что силе тока I пропорциональна только напряженность магнитного поля внутри ферромагнетика (железа), тогда как все остальные величины (индукция В, магнитная проницаемость ,
намагниченность J ) являются нелинейными функциями H, а, следовательно, и нелинейными функциями силы тока I .
Задача 2.7. Обмотка тороида, имеющего стальной сердечник с вакуумным зазором длиной l0 =3мм, содержит n=1000 витков на метр длины. Средний диаметр тороида d=30 см. При какой силе тока I в обмотке тороида индукция B0 в зазоре равна 1Тл (рис. 2.7).
Дано:
l0 =3мм. n=1000 в/м d=30см
B0 =1Тл
I -?
поля в зазоре:
|
Решение: |
|
|
Применяя теорему о циркуляции вектора Н, |
|
||
находим H d H0l0 I dn , |
где Н |
– |
|
напряженность |
магнитного |
поля |
в |
сердечнике, H 0 |
− напряженность магнитного |
поля в зазоре. Так как относительная магнитная проницаемость вакуума 1, то по формуле
0 H определяем напряженность магнитного
H |
|
|
B0 |
, H |
|
|
107 |
|
А |
. |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
4 м |
|||
|
|
|
|
|
|
Вследствие того, что вакуумный зазор узкий, будем считать радиальную составляющую вектора магнитной индукции и в зазоре, и в сердечнике равной нулю. Тогда,
учитывая факт непрерывности нормальных (радиальных)
составляющих вектора B на границе раздела двух различных магнетиков:
B1n B2n ,
18
получим, что индукция B в сердечнике по модулю равна B0 . По графику (рис. 1.2) определяем напряженность
магнитного поля в сердечнике: H 7 102 мА . Таким образом,
находим
|
|
I |
H |
|
|
B0l0 |
, |
|
|
n |
|
0 dn |
|||
Ответ: |
I =3,2A. |
|
|
|
|
|
|
Задача |
2.8. На |
оси |
бесконечно длинного соленоида |
напряженность H 24 103 мА при силе тока I=6A. Определить
число слоев обмотки, если диаметр проволоки d=1мм, намотка проведена вплотную, диаметр катушки D значительно меньше её длины l .
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Напряженность |
магнитного |
|
поля на |
оси |
|||||||||||
|
|
А |
|
|
|||||||||||||||
H 24 10 |
3 |
бесконечно длинного цилиндра равна |
|
||||||||||||||||
|
м |
|
|
|
|
H Ink , |
|
|
|
|
|
||||||||
I=6A |
|
|
|
|
где n – число витков на единице длины, k – |
||||||||||||||
D<< l |
|
|
|
|
число слоев. Число витков N в одном |
слое |
|||||||||||||
d=1мм=10 3 м |
намотки определится из формулы |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
N = l/d. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к - ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
n |
N |
|
|
l |
|
|
1 |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
d l |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
d |
|
||||
Подставляя в первую формул и выражая k , получим |
|
||||||||||||||||||
H |
I |
1 |
k , откуда k |
Hd |
|
|
24 103 |
10 3 |
|
4 (слоя) |
|
||||||||
d |
I |
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: k=4 .
Задача 2.9. Вычислить циркуляцию вектора магнитной индукции вдоль контура, охватывающего токи I1 =10A,
19
I 2 =10A , текущие в одном направлении, и ток I 3 =20A, текущий в противоположном направлении.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
J1 |
J2 |
|
I1=10A |
По теореме о циркуляции |
|
|
|||||
I2=15A |
вектора магнитной индукции |
|
||||||
I3=20A |
вдоль произвольного контура L |
J3 |
||||||
I1 I2 I3 |
запишем |
|
|
|
|
L |
||
B dl - ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Рис. 2.8 |
|||
e |
|
|
|
|
|
|||
Bdl (I1 I2 I3 ) 4 10 7 |
Гн |
(10 15 20)А |
||||||
м |
||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
20 107 |
Гн А |
= 6,28 106 |
Гн А |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
м |
м |
|
|
Ответ: 6,28 106 Гн А .
м
Задача 2.10. Провод в виде тонкого полукольца
радиусом R = 10 см находится в однородном магнитном поле
(В = 50 мТл). По проводу течет ток I = 10 А. Найти силу F , действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля.
Дано: |
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
||
R = 10 см=0,1м |
|
Расположим провод в плоскости чертежа |
|||
В = 50мТл= 50 103 |
перпендикулярно линиям магнитной |
||||
I = 10 А |
|
|
индукции (рис. 2.9) и выделим на нем |
||
F - ? |
|
|
малый элемент dl с током. На этот элемент |
||
тока Idl будет действовать по закону |
|||||
|
|
|
|
|
|
Ампера |
сила |
dF |
I dl B . |
||
Направление |
|
этой |
силы |
можно |
|
определить |
по |
правилу векторного |
произведения или по правилу левой руки. Используя симметрию, выбе-
рем координатные оси так, как это
Рис. 2.9
20