Учебники 80115
.pdf
|
10x − 2x |
|
|
+ 2x =3, |
|
8x − 4x |
|
+ x =5, |
|||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
№19. |
5x1 |
− 2x2 |
|
+12x3 =1, |
№20. |
−3x1 +11x2 −5x3 = −2, |
|||||
|
2x − 4x |
2 |
+11x =1. |
|
4x + 5x |
2 |
+10x = −3. |
||||
|
1 |
|
3 |
|
|
1 |
3 |
Задача №4
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Задание. |
Найти |
численное |
решение линейной краевой задачи для |
|||
дифференциального уравнения |
второго порядка конечно-разностным методом, |
|||||
используя аппроксимацию производных второго порядка и шаг h = 0,1. |
||||||
|
|
y′ |
|
|
|
|
№1. |
y′′ + |
|
+ 2y = x; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2y(1) + 3y′(1) =1,2. |
||
|
y(0,7) = 0,5, |
|||||
№2. |
y′′ − xy′ + 2y = x +1; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0,9) − 0,5y′(0,9) = 2, |
y(1,2) =1. |
||||
№3. |
y′′ + xy′ + y = x +1; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0,5) + 2y′(0,5) =1, |
y′(0,8) =1,2. |
№4.
№5.
|
|
|
|
2 |
; |
y′′ + 2y′ − xy = x |
|
||||
|
= 0,7, y(0,9) − 0,5y′(0,9) =1. |
||||
|
|||||
y′(0,6) |
|||||
|
|
y |
|
|
|
y′′ + 2y′ − |
|
= 3; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
= 2, |
|
0,5y(0,5) − y′(0,5) =1. |
||
y(0,2) |
|
№6.
№7.
|
|
|
|
2y |
|
|||
y′′ − y′ |
+ |
|
|
|
|
|
= x + 0,4; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
− 0,5y′(1,1) = 2, y′(1,4) = 4. |
|||||||
y(1,1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y′′ − 3y′ |
+ |
|
|
|
=1; |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
= 2, |
|
|
y(0,7) + 2y′(0,7) = 0,7. |
|||
y(0,4) |
|
|
11
|
|
|
|
|
y |
|
|
№8. |
y′′ + |
3y′ − |
|
|
y = x + 1; |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2y(1,5) − y′(1,5) = 0,5. |
|
y′(1,2) =1, |
|
|
||||
|
|
|
y′ |
|
|
|
= 2x2; |
№9. |
y′′ − |
|
|
+ 3y |
|||
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
+ 2y′(1) = 0,6, y(1,3) =1. |
|||||
|
y(1) |
№10. |
y′′ +1,5y′ − xy = 0,5; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2y(1,3) − y′(1,3) =1, |
y(1,6) = 3. |
||||||
№11. |
y′′ + 2xy′ − y = 0,4; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2y(0,3) + y′(0,3) =1, |
y′(0,6) = 2. |
||||||
№12. |
y′′ − 0,5xy′ + y = 2; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y(0,7) + 2y′(0,7) =1,4. |
||
|
y(0,4) =1,2, |
|||||||
|
|
2y′ |
|
|
|
|||
№13. |
y′′ + |
|
|
|
|
− 3y = 2; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2y(1,1) + y′(1,1) = 3. |
|
|
y′(0,8) =1,5, |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
№14. |
y′′ + |
2x |
|
|
y′ + y = x; |
y(0,8) = 3. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2y(0,5) − y′(0,5) =1, |
|||||||
№15. |
y′′ − 3xy′ + 2y =1,5; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′(0,7) =1,3, |
0,5y(1) + y′(1) = 2. |
||||||
№16. |
y′′ + 2xy′ − 2y = 0.6; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′(2) =1, 0,4y(2,3) − y′(2,3) =1. |
|||||||
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
№17. |
y′′ + |
|
|
− 0,4y |
= 2x; |
|
||
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0,6) − 0,3y′(0,6) = 0,6, y′(0,9) =1,7. |
|||||||
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
№18. |
y′′ − |
|
|
+ 0,8y = x; |
|
|||
|
|
|
||||||
|
2x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y′(2) =1. |
|
y(1,7) +1,2y′(1,7) = 2, |
12
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
№19. |
y′′ − |
|
+ xy |
= 2; |
|
||
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3y(1,1) − 0,5y′(1,1) =1. |
||
|
y(0,8) =1,6, |
||||||
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
№20. |
y′′ + |
2y′ − |
|
= |
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
x |
|
|
+ y′(0,9) =1, y(1,2) |
= 0,8. |
0,5y(0,9) |
Задача №6
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ
Задание. Найти максимум целевой функции при заданных ограничениях.
|
Z(x) = x1 + x2 + x3 + x4 + 2x5 → max, |
|
Z(x) = x1 + 2x2 + x3 + x4 → max, |
|||||||||||||||||||||||
|
x − 2x |
+ 2x |
≤ 6, |
|
|
|
x − x |
|
|
+ 2x + x =10, |
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
№1. |
x1 + 2x2 + x3 + x4 |
= 24, |
№2. |
x1 + 2x2 + x3 ≤14, |
||||||||||||||||||||||
|
2x + x |
− 4x |
+ x |
|
= 30. |
|
2x + x |
2 |
− 4x |
+ x =12. |
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
5 |
||
|
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Z(x) = x1 + x2 − x3 + x5 → max, |
|
Z(x) = 2x1 + x2 + x3 + x4 + x5 → max, |
|||||||||||||||||||||||
|
x + 2x |
|
+ x + x |
=11, |
|
|
x + 2x |
|
+ x + x |
= 9, |
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
5 |
|||||
№3. |
2x1 −1x2 + x3 ≤ 8, |
|
|
|
№4. |
x1 −1x2 + x3 ≤ 2, |
||||||||||||||||||||
|
x + x |
|
− x |
|
+ x |
4 |
|
= 20. |
|
|
x + x |
− x |
|
+ x |
4 |
=16. |
||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Z(x) = x + 2x + x |
+ x |
+ x → max, |
|
Z(x) = −x1 + 2x3 + x4 + x5 → max, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + x + x ≤ 3, |
|
|
|
|
2x1 + x2 + x3 ≤ 5, |
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x −1x |
|
+ x |
|
+ x |
|
= 23, |
|
|
|
−1x |
|
+ x |
|
+ x |
=17, |
||||||||||
№5. |
2 |
|
|
|
№6. |
x |
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
5 |
|
||||||
|
x + x |
− x |
+ x |
|
=18. |
|
|
x + x |
− x |
+ x |
|
= 26. |
||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
||
|
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
|
|
13
№7.
№9.
№11.
№13.
№15.
№17.
Z(x) = x + x + 2x |
|
+ x |
4 |
+ x → max, |
|
Z(x) = x1 − 2x2 + 2x3 + x4 + x5 → max, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x + x |
− x |
≤10, |
|
|
|
|
|
|
x1 + x2 − x3 ≤11, |
|
|||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 2x |
|
+ x + x |
|
= 24, |
|
|
|
+ 2x |
|
+ x |
|
+ x |
= 31, |
||||||||||||
|
|
|
№8. |
2x |
|
|
|||||||||||||||||||
x + x |
− x + x |
= 32. |
|
|
|
x + x |
|
− x |
+ x |
= 40. |
|||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
5 |
||||
1 |
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|||
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Z(x) = x − 2x + 2x + x |
+ x → max, |
|
|
Z(x) = x1 − x2 + x3 + x4 − x5 → max, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + x − x ≤ 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + x2 − x3 ≤ 7, |
||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
= 24, |
|
|
|
|
|
−1x2 + x3 + x5 = 34, |
||||||||||
2x1 −1x2 + x3 + x5 |
|
|
№10. |
2x1 |
|||||||||||||||||||||
2x + x |
2 |
− x + x |
4 |
= 38. |
|
|
x + x |
|
− x |
|
+ x |
= 21. |
|||||||||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
||||
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
||||||||
Z(x) = −x1 + x2 + x3 − x4 + x5 → max, |
|
|
Z(x) = −x1 + x2 + x3 − x4 − x5 → max, |
||||||||||||||||||||||
x − x |
− x |
≤16, |
|
|
|
|
|
|
|
x − x |
− x |
≤ 9, |
|
||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2x1 + x2 + x3 + x5 |
= 42, |
|
|
№12. |
2x1 + x2 + x3 + x5 = 29, |
||||||||||||||||||||
x − x |
+ x |
+ x |
= 36. |
|
|
|
|
x − x |
+ x |
+ x |
= 39. |
||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
|||||||||
Z(x) = −x1 + x2 + 2x3 − x4 − x5 → max, |
|
Z(x) = 2x1 + x2 + 2x3 + x4 − x5 → max, |
|||||||||||||||||||||||
x − x + x ≤ 7, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + x + x ≤ 6, |
|
|||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2x1 + x2 + x3 + x5 |
= 23, |
|
|
№14. |
x2 + x3 + x5 =19, |
||||||||||||||||||||
x − x |
+ x |
+ x |
= 37. |
|
|
|
|
|
x − x + x + x |
= 33. |
|||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
||||||||
Z(x) = 2x1 + x2 + 2x3 + x4 + x5 → max, |
|
Z(x) = 2x1 + x2 + 2x3 + x4 + x5 → max, |
|||||||||||||||||||||||
x + x + x ≤ 6, |
|
|
|
|
|
|
|
2x + x − x ≤ 3, |
|
||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
x1 + x2 + x3 + x5 =18, |
|
|
|
№16. |
x1 + x2 + x3 + x5 = 23, |
||||||||||||||||||||
x − x |
+ x + x |
= 34. |
|
|
|
|
x − x |
|
+ x + x |
= 31. |
|||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Z(x) = 2x1 + x2 − x3 + x4 + x5 → max, |
|
|
Z(x) = x2 − x3 + x4 + x5 → max, |
||||||||||||||||||||||
2x + x − x ≤ 4, |
|
|
|
|
|
|
|
2x + x − x ≤1, |
|||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
x1 |
+ x2 + x3 + x5 |
= 26, |
|
|
|
№18. |
−x1 + x2 + x3 + x5 =14, |
||||||||||||||||||
−x + x |
+ x + x |
= 32. |
|
|
|
|
x + x |
|
+ x |
|
+ x |
= 27. |
|||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
||
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
|
14
|
Z(x) = 2x1 + x2 − x3 + x4 + x5 → max, |
|
Z(x) = x1 − x2 + x3 − x4 + x5 → max, |
||||||||
|
2x + x − x ≤ 4, |
|
|
x − x + x ≤ 5, |
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
№19. |
x1 |
+ x2 + x3 + x5 |
= 26, |
№20. |
−2x1 + x2 + x3 + x5 =17, |
||||||
|
−x + x |
+ x + x |
4 |
= 32. |
|
x + x |
− x |
+ x = 31. |
|||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
xi ≥ 0, i |
|
|
|
|
xi ≥ 0, i |
|
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Задача №1
Задание. Дана табл. 4 значений функции y = f (x). Построить для этой функции интерполяционный многочлен Ньютона и с помощью его найти приближенное значение функции для заданного аргумента x = 3,57.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
3,50 |
3,55 |
3,60 |
3,65 |
3,70 |
|
x |
|
|
|
Y |
|
33,115 |
34,813 |
36,598 |
38,475 |
40,447 |
|
3,57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Часто |
приходится |
рассматривать |
функции |
f (x), заданные |
||||||
табличными значениями yi = f (xi ), |
(i = 0,1,2,...,n). Эти значения могут быть |
получены в результате расчета, эксперимента, опыта и т.д. Значения же
функции в |
промежуточных точках неизвестны и их |
получение может быть |
|
связано |
с |
проведением сложных расчетов и экспериментов. В некоторых |
|
случаях |
даже при известной зависимости y = f (x) |
ее использование в |
практических расчетах затруднительно из-за ее громоздкости (содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.д.).
В связи с этим возникает задача о приближении (аппроксимации) функций: функцию f (x), заданную таблично или аналитически, аппроксимировать функцией ϕ(x) так, чтобы отклонение ϕ(x) от f (x) в заданной области было наименьшим. Функция ϕ(x) при этом называется аппроксимирующей.
На практике очень важен случай аппроксимации функции многочленом
ϕ(x) = a |
0 |
+ a x + a |
2 |
x2 |
+ ... + a |
m |
xm . |
(1) |
|
1 |
|
|
|
|
При этом коэффициенты ai подбираются так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции. В этом случае будем говорить о полиномиальной аппроксимации или кусочно-полиномиальной аппроксимации.
Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек {xi}, то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и др.
15
При построении приближения на непрерывном множестве точек (например, на отрезке [a,b]), аппроксимация называется непрерывной (или интегральной).
Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции y = f (x) строим многочлен (1), принимающий в заданных точках xi те же значения yi , что и функция f (x), т.е.
|
ϕ(xi ) = yi , |
i = 0,1,...,n. |
|
(2) |
При этом предполагается, что среди значений |
xi |
нет одинаковых, т.е. |
||
xi ≠ xk при |
i ≠ k . |
|
|
|
Точки |
xi называются узлами |
интерполяции, |
а |
многочлен ϕ(x) - |
интерполяционным многочленом. Близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.
Максимальная степень интерполяционного многочлена m = n. В этом случае говорят о глобальной интерполяции, так как один многочлен
ϕ(x) = a |
0 |
+ a x + a |
2 |
x2 |
+ ... + a |
n |
xn |
(3) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
используется для интерполяции |
функции |
f (x) на |
всем |
рассматриваемом |
интервале аргумента x. Коэффициенты ai многочлена (3) находятся из системы уравнений (2).
Построим теперь интерполяционный многочлен, единый для всего
отрезка [a,b]. Пусть для функции |
y = f (x) |
заданы n +1 значения таблично |
||||||||
заданной функции |
yi = f (xi ) для |
равноотстоящих значений независимой |
||||||||
переменной (табл. 5): |
|
xi = x0 + ih , |
(i = 0,1,2,...,n), где h −шаг интерполяции. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
||
|
|
x |
x0 |
|
x1 |
x2 |
|
… |
xn |
|
|
|
y |
y0 |
|
y1 |
y2 |
|
… |
yn |
|
Прежде чем получить такие формулы, рассмотрим элементы конечных разностей.
Составим разности значений заданной функции:
∆y0 = y1 − y0 = f (x0 + h) − f (x0 ), ∆y1 = y2 − y1 = f (x0 + 2h) − f (x0 + h),
.............................................................
∆yn−1 = yn − yn−1 = f (x0 + nh) − f [x0 + (n −1)h].
Эти разности называются конечными разностями первого порядка функции. Из них, в свою очередь, таким же образом можно получить n −1 конечных разностей второго порядка, или вторых разностей:
16
∆2 y0 = ∆y1 − ∆y0; ∆2 y1 = ∆y2 − ∆y1; ....; ∆2 yn−2 = ∆yn−1 − ∆yn−2.
Аналогично определяются разности III и IV и т.д. порядков. Разность порядка k определяется формулой:
∆k yi−1 = ∆k−1yi − ∆k−1yi−1,
где k = 1,2,..., n и ∆0 yi = yi .
В некоторых случаях требуется знать выражения конечных разностей непосредственно через значения функции. Для нескольких первых порядков разностей их можно получить непосредственной подстановкой
∆y0 = y1 − y0 ;
∆2 y |
0 |
= ∆y − ∆y |
0 |
= (y |
2 |
− y ) − (y − y |
0 |
) = y |
2 |
− 2y − y |
0 |
; |
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
∆3 y |
0 |
= ∆2 y − ∆2 y |
0 |
= (∆y |
2 |
− ∆y ) − (∆y − ∆y |
0 |
) = ∆y |
2 |
− 2∆y + y |
0 |
= |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
= (y3 − y2 ) − 2(y2 − y1) + (y1 − y0 ) = y3 − 3y2 + 3y1 − y0. |
|
|
||||||||||||||||||||
Аналогично для любого k можно записать: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
∆k y0 = yk − |
k |
yk−1 |
+ |
k(k −1) |
yk−2 + ...+ (−1)k y0 . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Такую же формулу можно записать и для значения разности в узле xi :
∆k yi = yk+i − kyk+i−1 + k(k −1) yk+i−2 + ...+ (−1)k yi .
2!
Для функции y = f (x), заданной таблицей своих значений y0, y1,..., yn в узлах x0 , x1,..., xn , конечные разности разных порядков удобно помещать в одну общую таблицу с узлами и значениями функции. Обычно используют горизонтальную таблицу или диагональную таблицу конечных разностей
Интерполяционный многочлен Ньютона для заданной функции имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
q(q −1) |
2 |
|
|
q(q −1)(q − 2) |
3 |
|
|
||
P (x) = y |
0 |
+ q∆y |
0 |
+ |
|
|
∆ |
y |
0 |
+ |
|
∆ y |
0 |
+ |
||
|
|
|||||||||||||||
n |
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
3! |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||
|
|
q(q −1) ... (q − n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
.... + |
|
∆ |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где q = x − x0 . h
Интерполяционную формулу (4) обычно используют для вычисления значений функции в левой половине отрезка. Дело в том, разности ∆k yi вычисляются через значения функции yi , yi+1, ..., yi+k , причем i + k ≤ n .
Поэтому при больших значениях i |
мы не можем вычислить разности высших |
порядков (k ≤ n − i). Например, при |
i = n − 3 в (4) можно учесть только ∆y , |
∆2 y и ∆3 y. |
|
17
Составим таблицу конечных разностей для заданных значений (табл. 6):
|
|
|
|
|
Таблица 6 |
||
xi |
yi |
∆yi |
∆2 y |
i |
|
∆3 y |
i |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
3,50 |
33,115 |
1,698 |
0,087 |
|
0,005 |
||
3,55 |
34,813 |
1,785 |
0,092 |
|
0,003 |
||
3,60 |
36,598 |
1,877 |
0,095 |
|
------ |
||
3,65 |
38,475 |
1,972 |
------ |
|
------ |
||
3,70 |
40,447 |
------ |
------ |
|
------ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
При составлении табл. 6 конечных разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Поэтому в формуле Ньютона полагаем n = 3. Приняв x0 = 3,50, y0 = 33,115, будем иметь:
|
P (x) = 33,115 +1,698 q + 0,087 |
q(q −1) |
+ 0,005 |
q(q −1)(q − 2) |
|
||
|
|
||||||
3 |
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
||
|
P3(x) = 33,115 +1,698q + 0,0435q(q −1) + 0,00083q(q −1)(q − 2), |
||||||
где q = |
x − 3,50 |
= 20(x − 3,5). Подставим в выражение для |
q вместо x значение |
||||
|
0,05
x = 3,57. Получим q = 20(3,57 − 3,5) =1,4.
Тогда
P3(1,57) ≈ 33,115+1,698 1,4+ 0,0435 1,4 (1,4−1) + 0,00083 1,4 (1,4−1) (1,4− 2) = = 33,115+ 2,372+ 0,02436− 0,000278= 35,511.
Следовательно, |
f (1,57) ≈ 35,511. |
|
Задача №2 |
Задание. |
Дана табл. 7 значений функции y = f (x). Используя метод |
наименьших квадратов, подобрать для заданных значений x и y :
1)линейную функцию y = A0 + A1x;
2)квадратичную функцию y = A0 + A1x + A2x2. Построить графики этих функций.
Таблица 7
X |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
3,0 |
|
|
|
|
|
|
|
Y |
0,31 |
0,82 |
1,29 |
1,85 |
2,51 |
3,02 |
|
|
|
|
|
|
|
18
Решение. Пусть для неизвестной функции f (x) в точках x0 , x1, ..., xm экспериментальным путем получены значения y0 = f (x0), y1 = f (x1),
ym = f (xm ) . Интерполяция позволяет аппроксимировать таблично заданную функцию f (x) с помощью более простой функции ϕ(x). При этом требуется выполнение в узлах интерполяции {xi} равенства f (xi ) = ϕ(xi ) (i = 0,1,...,m). В ряде случаев выполнение этого условия затруднительно или даже нецелесообразно. При большом числе узлов интерполяции степень интерполирующего многочлена получается высокой. Поэтому точность такой аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале порядка несколько шагов сетки. Для другого интервала приходится заново вычислять коэффициенты интерполяционной формулы. В практических приложениях
желательно иметь единую приближенную формулу f (xi ) ≈ ϕ(xi ) |
(i = 0,1,...,m), |
пригодную для большего отрезка [a,b]. При этом точность |
приближения |
может оцениваться по-разному. В основу обычно берется рассмотренное отклонение
f(xi ) −ϕ(xi ) (i = 0,1,...,m).
Всвязи с этим возникает задача о приближении: таблично заданную функцию f (x) заменяют многочленом Pn (x) , который имеет не слишком
высокую степень n < m −1 и дает в некотором смысле разумную точность аппроксимации.
Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов за меру отклонения многочлена Pn (x) от функции f (x) принимается их среднее квадратичное отклонение
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ = ∑[Pn (xi ) − yi ]2 . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача состоит в |
том, чтобы |
в |
аппроксимирующем |
|
многочлене |
||||||||||
P (x) = A |
+ A x + ...+ A xn |
подобрать |
коэффициенты A , A ,..., A |
так, чтобы |
||||||||||||
n |
0 |
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
n |
|
минимизировать |
δ = ∑m |
[A0 + A1xi + ...+ An xin − yi ]2 = δ (A0, A1,..., An ). Так как |
||||||||||||||
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициенты A0, A1,..., An выступают в |
роли |
независимых |
|
переменных |
||||||||||||
функции δ , то необходимым условием минимума |
является равенство нулю |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂δ |
∂δ |
|
∂δ |
|
|
|
||||
всех частных производных |
|
|
, |
|
, …, |
|
. |
Приравнивая к нулю эти |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
∂A |
∂A |
||||||||||||||
|
∂A |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
частные производные, получим систему уравнений:
19
|
m |
|
2 |
∑ (A0 + A1xi +A2 xi2 + ... + An xin − yi ) = 0; |
|
|
i=0 |
|
|
m |
|
2 |
∑ (A0 + A1xi +A2 xi2 + ... + An xin − yi )xi |
= 0; |
|
i=0 |
|
|
|
|
|
m |
|
|
∑ (A0 + A1xi +A2 xi2 + ... + An xin − yi )xi2 = 0; |
|
2 |
||
|
i=0 |
|
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... |
||
|
|
|
|
m |
|
2 |
∑ (A0 + A1xi +A2 xi2 + ... + An xin − yi )xin |
= 0. |
|
i=0 |
|
|
|
|
После преобразования система принимает вид
|
m |
|
m |
m |
m |
|
A0m + A1 ∑xi +A2 ∑xi2 +...+ An ∑xin = ∑yi; |
||||||
|
i=0 |
i=0 |
i=0 |
i=0 |
|
|
|
m |
|
m |
m |
m |
m |
A0 ∑xi +A1 |
∑xi2 +A2 |
∑xi3 +...+ An ∑xin+1 = |
∑xi yi; |
|||
|
i=0 |
i=0 |
i=0 |
i=0 |
i=0 |
|
|
||||||
|
m |
|
m |
m |
m |
m |
|
∑xi2 +A1 ∑xi3 +A2 ∑xi4 +...+ An ∑xin+2 = ∑xi2 yi; |
|||||
A0 |
||||||
|
i=0 |
|
i=0 |
i=0 |
i=0 |
i=0 |
......................................................................................... |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
m |
m |
m |
m |
A0 |
∑xin +A1 |
∑xin+1 +A2 ∑xin+2 +...+ An ∑xi2n = ∑xin yi. |
||||
|
i=0 |
|
i=0 |
i=0 |
i=0 |
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому она имеет единственное решение A0, A1,..., An .
1. Аппроксимируем таблично заданную функцию y = f (x) линейной
y = A0 + A1x.
Составим систему для определения A0, A1:
|
|
|
6 |
6 |
A0m |
+ A1 |
∑xk = ∑yk ; |
||
|
|
|
k=1 |
k =1 |
|
6 |
|
6 |
6 |
A0 ∑xk + A1 ∑xk2 = ∑xk yk . |
||||
k=1 |
k =1 |
k=1 |
20