Учебное пособие 800652
.pdf
|
|
|
|
||||
n |
0 |
0 , n |
|
, т.е. |
различные ветви функции в этих точках |
||
совпадают. |
|
|
|
||||
|
|
Для |
логарифмической |
функции w Ln z |
точками раз- |
||
ветвления являются z |
0 и z |
, причем Ln 0 |
и Ln |
. Любое конечное число обходов (в одном и том же направлении) вокруг точки z 0 не приведет к первоначальной ветви функции w Ln z . Такие точки ветвления называются лога-
рифмическими.
При интегрировании необходимо выделять ветвь многозначной функции. Это достигается заданием значения многозначной функции в некоторой точке кривой интегрирования.
Если контур интегрирования замкнут, то начальной точкой z0 пути интегрирования считается та точка, в которой за-
дано значение подынтегральной функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 6. Вычислить интеграл |
|
|
|
dz |
|
, где C – верхняя |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
дуга окружности |
|
z |
1, интегрирование проводится в положи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
тельном направлении. Для функции |
z |
берется та ветвь, для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
которой |
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Решение. Первый способ. Функция |
|
|
|
|
z |
имеет два значе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ния ( |
arg z ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z |
|
|
cos |
|
|
|
|
i sin |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z |
|
|
cos |
|
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
cos |
|
|
|
i sin |
|
. |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Так как интегрирование ведется по дуге окружности |
|
z |
|
1, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
cos |
|
i sin |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
i sin |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 удовлетворяет второе значение (*). В самом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
деле, |
пусть |
z |
1, |
|
тогда |
arg z |
|
|
|
0 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i sin 0 |
1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
cos 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
1 dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
z |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
z |
|
1 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Полагая в формуле (*) z |
|
|
|
1, найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
arg( |
|
1) |
|
|
|
i sin |
arg( |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
i sin |
|
i . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Согласно выбору ветви имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 и окончательно полу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чим |
|
|
dz |
|
|
2 |
|
|
|
i |
1 |
|
2 |
|
|
2i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Второй способ. Полагаем z |
|
rei |
|
, где r |
|
|
z |
|
1, а ме- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
няется от |
|
|
|
|
|
|
|
до |
. |
|
Из условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следует, |
что |
ei |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
ie |
i |
|
|
|
|
|
|
ie |
i |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
e |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
z |
0 |
|
|
|
ei |
|
|
|
0 e |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
e i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 e |
2 |
|
|
|
|
2 i 1 2 2i . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
ln3 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Пример 7. Вычислить интеграл |
|
|
dz |
|
по дуге окруж- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ности |
|
|
z |
|
|
1 ( ln z |
|
– главное значение логарифма, ln1 0 ). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
Решение. Первый способ. Применяя формулу НьютонаЛейбница, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
ln3 z |
dz |
i |
ln3 z d ln z |
|
ln4 z |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln4 i |
|
ln4 1 ln4 i |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Второй способ. Делаем замену |
|
переменной |
ln z w , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dw |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
. Дуга окружности |
z |
|
|
1 переходит в отрезок мнимой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
оси, заключенный между точками |
|
0, 0 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
. |
Интеграл |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
i ln3 z |
i |
|
2 |
w3dw |
|
|
w4 |
|
i |
|
2 |
|
1 (i )4 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
z |
0 |
4 |
|
|
0 |
|
|
4 |
24 |
|
|
|
|
64 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Третий способ. Полагаем z |
|
rei |
, |
|
где |
|
|
|
|
|
1. Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln z |
i |
, dz |
|
iei d . Действительная переменная |
|
|
|
изменяет- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ся в пределах 0 |
|
|
|
|
2 . В этом случае получаем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
3 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
|
|
z |
dz |
|
|
i |
|
ie |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
3d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
1 |
|
z |
|
0 |
|
|
|
ei |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
|
64 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. Интегральная формула Коши
Если функция f z аналитична в области D , z0 D и D – контур, охватывающий точку z0 , то справедлива ин-
тегральная формула Коши:
63
f |
z0 |
1 |
|
f |
z |
dz . |
(3.21) |
|
|
|
|
||||
2 i |
|
z |
z0 |
||||
|
|
|
|
|
|||
При этом функция f |
z имеет всюду в D производные любо- |
го порядка, для которых справедливы формулы:
f n z0 |
n! |
|
f |
z |
|
dz, n 1, 2, . |
(3.22) |
|
|
|
|
||||
2 i |
|
z |
z0 |
n 1 |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Формулами (3.21) и (3.22) применяются для вычисления некоторых интегралов.
ez
Пример 8. Вычислить dz , где C – окружность:
C z 3
а) z 2 , б) z 4 .
y |
y |
|
|
|
| |
|
z |
|
|= |
|
2 |
| z | = 4
y
| z | = 3
|
|
x |
z0=0 |
z0=-3 0 |
x z0=-3 0 |
x |
а) |
|
|
б) |
|
Рис. 3.4 |
Рис. 3.5 |
|||
Решение. а) Если C – окружность радиуса 2, то подын- |
||||
тегральная функция |
ez |
|
является аналитической в каждой |
|
z 3 |
||||
|
|
64
точке круга |
z |
|
2 (рис. 3.4, а). Поэтому, в силу теоремы Коши |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
(3.17), получаем |
|
|
|
|
|
dz 0 . |
|
||
z |
2 |
z 3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) Если C – окружность радиуса 4, то точка z0 |
3 (в |
ней подынтегральная функция не определена) расположена
внутри окружности |
|
z |
|
|
4 (рис. 3.4, б). |
Представим подынте- |
||||||||||||||||||||||||
гральную функцию в виде |
|
f |
|
z |
|
, где f |
|
z |
|
ez |
является ана- |
|||||||||||||||||||
|
z |
|
z0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
литической в каждой точке круга |
|
|
|
z |
|
4 . Применяя интеграль- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ную формулу Коши (3.21), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ez |
|
dz |
2 i ez |
|
|
|
|
2 |
|
i |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3 |
|
|
||||||||||||||
|
z |
|
4 |
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 9. Вычислить |
|
cos z |
dz , где C : |
|
z |
|
3 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
z3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Подынтегральная функция |
cos z |
|
является ана- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 |
|
||||
литической в круге |
z |
|
3 всюду кроме точки z0 |
0 (рис. 3.5). |
||||||||||||||||||||||||||
Выделим под знаком интеграла функцию f |
|
z |
cos z , являю- |
|||||||||||||||||||||||||||
щуюся аналитической |
в |
круге |
|
z |
|
3 . |
Воспользуемся инте- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гральной формулой Коши для производной (3.22). При z0 0 и n 2 получим
|
|
|
cos z |
dz |
2 i |
cos z |
|
2 |
i |
cos z |
|
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z |
|
3 |
z3 |
2! |
z 0 |
2 |
|
z 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez2 |
||
Пример 10. Вычислить интеграл |
|
|
|
dz , если: |
|
z2 |
|
||
|
C |
6z |
||
|
|
|
|
65
1) C1 : z 2 1; 2) C2 : z 2 3 ; 3) C3 : z 2 5 .
|
y |
|
|
y |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
-3 -2 -1 |
1 2 3 5 6 7 x |
-3 |
1 |
2 |
6 7 x |
|
|
|
|
2 |
а) |
б) |
Рис. 3.6 |
|
Решение. 1) Так как z2 6z z z |
6 , поэтому знамена- |
тель подынтегральной функции обращается в нуль в точках z 0 и z 6 . В замкнутой области, ограниченной окружностью C1 : z 2 1, подынтегральная функция аналитическая
(рис. 3.6, а), поэтому в силу теоремы Коши (3.17)
|
|
|
ez2 |
0 . |
||
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
z2 |
|
||
|
|
C |
6z |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
2) |
Внутри области, |
|
ограниченной окружностью |
|||
|
3 , находится одна точка |
z 0 , в которой знамена- |
||||
C2 : |
z 2 |
тель подынтегральной функции обращается в нуль (рис. 3.6, а). Перепишем интеграл в виде
|
|
ez2 |
|
|
|
|
ez2 |
||||
|
|
|
|
|
|
z |
6 |
dz . |
|||
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|||
|
|
z2 |
|
|
|
||||||
C |
2 |
6z |
|
z 2 |
|
3 |
z |
||||
|
|
66
|
|
f |
|
z |
|
ez2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Функция |
|
|
|
|
является аналитической в данной облас- |
||||||||||||
|
z |
6 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ти. Применяя интегральную формулу Коши (3.21), получим |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ez2 |
|
|
ez2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
z 6 |
dz 2 i |
|
|
2 i |
i |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z |
2 |
|
3 |
z |
|
|
z 6 |
|
z |
0 |
6 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) В области, ограниченной окружностью C3 : z 2 5 ,
имеем две точки z 0 и z 6 , в которых знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль (рис. 3.6, а). Непосредственно формулу (3.21) применять нельзя. В этом случае для вычисления интеграла можно поступить так.
Первый способ. Разложим дробь |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
на простейшие: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
z2 |
|
6z |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
6z 6 |
|
|
z 6 |
6 |
|
|
|
z |
|
|
|||||||||||||
Подставив в интеграл, по формуле (3.21) получим |
|||||||||||||||||||||||||||
|
ez2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ez2 dz 1 |
|
|
|
|
ez2 dz |
|||||||||||
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C z2 |
|
6 |
|
|
|
|
5 z 6 6 |
|
|
|
|
|
5 z |
||||||||||||||
6z |
|
z 2 |
|
|
z 2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
ie36 |
|
i |
|
|
e36 |
1 |
|
|
2 iez2 |
|
2 iez2 |
|
|
|
i |
|
. |
|||||||
6 |
z 6 |
6 |
z |
0 |
3 |
3 |
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Второй способ. Построим окружности |
1 |
и |
2 |
с центра- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ми в точках z 0 и |
z |
6 достаточно малых радиусов таких, |
чтобы окружности не пересекались и целиком лежали в круге z 2 5 (рис. 3.6, б). В трехсвязной области, ограниченной
окружностями z 2 5, 1 и 2 , подынтегральная функция
всюду аналитична. По теореме Коши для многосвязной области (3.20) получаем
67
|
|
|
ez2 |
ez2 dz |
|
ez2 dz |
. |
|||
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
z2 6z |
|
z2 |
|
||
z 2 |
|
5 |
6z |
|
6z |
|
||||
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
К каждому интегралу в правой части можно применить интегральную формулу Коши (3.21). В результате получим
|
|
|
|
ez2 |
ez2 |
|
|
|
ez2 |
|
|
|
|
|
e36 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
dz 2 i |
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
. |
z 2 |
5 |
z2 6z |
z 6 |
z |
|
|
z |
|
z |
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||
|
Пример 11. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
z |
|
dz . |
|
|||||||||
|
z |
1 |
|
1 |
|
z2 |
1 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
-1 |
0 |
1 |
2 |
x |
|
Рис. 3.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Подынтегральная функция |
|
sin |
z |
яв- |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
z 1 2 |
z 1 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ляется аналитической в области |
z 1 |
|
1 всюду, кроме точки |
||||||||||||
z 1 (рис. 3.7). Выделим под знаком интеграла функцию f |
z |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
, являющуюся аналитической в круге |
|
z |
1 |
|
1: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
sin |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z |
|
z |
1 2 |
|
|
|
|
f |
z |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
z 1 2 z 1 2 |
|
z 1 2 |
z 1 2 |
|
|
|
68
Полагая в формуле (3.22) n |
1 , |
z0 |
1, получим |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
z |
dz 2 if 1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|
1 z 1 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Находим производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f |
z |
|
|
|
|
|
sin |
z |
|
|
|
|
|
cos |
z z |
1 |
2 sin |
z |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
z 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отсюда f |
1 |
2 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
. Следовательно, |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
2 i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
z 1 |
|
1 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример 12. Вычислить интеграл |
|
|
|
ch z dz |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 z |
1 3 |
z 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
-2 |
-1 |
1 |
2 x -2 |
-1 |
1 |
2 x |
а) б)
Рис. 3.8
Решение. Первый способ. Знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в двух точках z1 1 и z2 1 , ле-
жащих внутри круга z 2 (рис. 3.8, а). Разложим на простейшие дроби функцию
69
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z 1 3 z 1 |
|
|
|
8 z 1 8 z 1 4 z 1 2 |
2 |
|
|
z 1 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Используя линейность интеграла, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ch z dz |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ch z |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
dz |
|||||||||||||||||
|
|
z |
|
2 z 1 3 z 1 |
8 |
z 1 |
8 |
z 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ch z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
dz . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
z |
2 |
z 1 2 |
|
|
2 |
z 1 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К первым двум интегралам применяем интегральную формулу Коши (3.21):
|
|
|
ch z |
|
dz 2 i ch1 , |
|
|
|
ch z |
|
dz 2 i ch ( 1) 2 i ch1 . |
z |
|
2 z 1 |
z |
|
2 z 1 |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Третий и четвертый интегралы вычисляем с помощью форму-
лы (3.22):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
2 |
i |
ch z |
|
2 |
|
i sh1, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
2 |
z |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch z |
|
|
|
2 |
i |
|
|
|
|
|
|
i ch1. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
ch z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 z |
1 3 |
|
2! |
|
z 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch z dz |
|
|
|
2 |
i ch1 |
2 |
|
i ch1 |
|
2 i sh1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
z |
|
2 z |
1 3 |
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i ch1 |
i |
sh1 |
ch1 |
|
i |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2e |
|
|
|
|
|||||||||
Второй способ. Построим окружности |
1 |
и |
2 |
|
с центра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ми в точках z1 |
|
|
1 и z2 |
1 достаточно малых радиусов таких, |
чтобы окружности не пересекались и целиком лежали в круге z 2 (рис. 3.8, б). В трехсвязной области, ограниченной ок-
70