Учебное пособие 800519

6.4. Модель управления риском при выполнении региональной программы

При реализации мероприятий программы всегда существует риск того, что намеченная мера либо не будет реализована, либо не даст ожидаемого эффекта. Это, в свою очередь, может привести к тому, что цели программы не будут достигнуты. Пусть разработан вариант программы, в котором критерий i принимает значение j(i). Пусть далее определены вероятности Рiк того, что фактическое значение оценки по i-му критерию будет равно k. Поставим

Опишем алгоритм определения этих вероятностей, предполагая, что фактические значения оценок по критериям являются независимыми случайными событиями. В основе алгоритма лежит процедура определения распределения вероятностей некоторой обобщенной оценки при известных

В первом столбце и первой строке указаны вероятности соответствующих оценок. Определим вероятности различных значений обобщенной оценки. Оценка 1 может быть получена в четырех случаях: (1, 1), (1, 2), (2, 1) и (3, 1), где первое число указывает оценку по критерию i, а второе – по критерию j. Следовательно, согласно известным фактам теории вероятности, вероятность того, что обобщенная оценка будет равна единице определяется выражением:

P(1) = p11 p21 + p12 p21 + p11 p22 + p11 p23 = 0,1 0,2 + 0,2 0,2 +0,1 0,7 +0,1 0,1 =0,14.

Оценка 2 может быть получена в пяти случаях: (3, 1), (4, 1), (2, 2), (2, 3) и (1, 4). Аналогично предыдущему имеем

P(2) = p13 p21 + p14 p21 + p12 p22 + p12 p23 + p11 p24 = 0,3.

Действуя аналогичным образом, получаем

P(3) = p13 p22 + p14 p22 + p13 p23 + p14 p23 + p12 p24 = 0,56,

P(4) = p13 p24 + p14 p24 = 0.

Заметим, что если планируемые значения критериев равны 3 по критерию i и 2 по критерию j, то планируемое значение обобщенной оценки равно 3. Таким образом, вероятность успеха, то есть вероятность того, что фактическое значение обобщенной оценки равно 3, составляет 0,56. Для получения распределения вероятностей комплексной оценки достаточно

161

применять описанный алгоритм, двигаясь снизу вверх от исходных критериев к комплексной оценке. Применим описываемый алгоритм к системе оценивания (рис. 6.2.6). Распределение вероятностей по критериям экологической безопасности, уровня жизни и экономической эффективности указаны в табл. 6.4.2.

Таблица 6.4.2

Вычисления удобно проводить, непосредственно помещая результаты в клетках матриц свертки. Для этого каждую клетку делим по диагонали на две части. В верхней части записываем результат свертки (обобщенную или комплексную оценку в зависимости от матрицы), а в нижней – произведение соответствующих вероятностей (рис. 6.4.1).

Для того чтобы получить распределение вероятностей комплексной оценки, достаточно сложить числа в нижних областях квадратов с одинаковыми значениями комплексной оценки. Имеем

Р(1) = 0, 112 + 0, 014 + 0, 24 = 0, 366, Р(2) = 0, 014 + 0, 03 + 0, 448 + 0, 056 = 0, 548,

Р(3) = 0, 03 + 0, 056 = 0, 086.

Таким образом, если планируемый вариант программы соответствует оценкам по критериям Хб=2, Хж=3, Хэ=2, то планируемое значение комплексной оценки равно 2, а вероятность успеха равна сумме вероятностей Р(2) + Р(3) = 0,634.

Сделаем два предположения, при выполнении которых процедура оценки риска существенно упрощается. Во-первых, примем, что вероятности фактических состояний выше (лучше), чем планируемые, равны 0. Это означает, что намеченные цели по каждому критерию не будут превышаться, то есть при достижении какой-либо цели ресурсы перераспределяются на другие цели. Во-вторых, будем рассматривать только напряженные варианты программы. А это значит, что успех программы возможен только в случае достижения запланированных оценок по всем критериям. Если теперь обозначить через qij – вероятность достижения оценки j по критерию i, если эта оценка является целевой установкой по данному критерию, то вероятность успеха программы равна

Q qij i , i

где j(i) – целевая установка по i-му критерию. Соответственно, риск программы равен

R 1 Q 1 qij i .

i

Если для разработанного варианта программы оценка риска оказалась ниже требуемой величины, то необходимо принять меры по снижению риска. Рассмотрим два подхода к решению этой задачи. В основе первого подхода лежит идея компенсирующих мероприятий, снижающих риск до приемлемого уровня. Естественно, что разработка и реализация компенсирующих мероприятий требует дополнительных затрат. Примем следующую стратегию снижения риска: в первую очередь компенсирующие мероприятия проводятся для снижения риска наиболее рисковых мероприятий. Основание такой стратегии состоит в том, что наиболее рисковые мероприятия оказывают максимальное влияние на уровень риска программы в целом.

Необходимость разработки стратегии в трудных и неопределенных условиях не должна служить причиной отказа от структурного планирования. При формировании комплексного плана развития надо лишь иметь в виду следующие вопросы:

устойчивость – дает ли выбранное решение устойчивую ситуацию, означающую, что небольшие просчеты в оценках необходимых ресурсов не приведут к принципиальным изменением состояния управляемой системы;

осуществимость – обладаем ли мы необходимыми ресурсами и целеустремленностью, для оценки этой характеристики применяются широко известные модели распределения ресурсов [41];

эффективность – каковы количественные последствия от реализации выбранного варианта для развития региона.

163

Для учета возможных кризисных ситуаций в результате срабатывания рисков необходимо оперативно менять приоритеты развития и перечень значащих факторов в соответствии с механизмами экспертного оценивания и гибкой комплексной оценкой. Кроме того, для эффективного препятствования кризисным ситуациям следует:

по результатам анализа риска выявить чувствительные места и зоны опасности;

построить систему слежения и выработки сигналов тревоги

разработать план реакции или переориентации (сценариев), опирающийся на заранее выработанную резервную стратегию, что также рекомендуется предварительно ―проиграть‖ на автоматизированной системе имитационного моделирования;

сформировать приоритеты развития с учетом прежде всего главных

рисков.

Заметим, что в реализации комплексной программы развития региона

принимают участие большое количество исполнителей, обладающих собственными интересами, иногда противоречащими интересам развития системы, что служит одной из важнейших причин образования рисков отклонения в проекте.

Следует управлять риском в этих случаях, поскольку это позволит достичь его практического снижения по всей программе достижения заданной оценки комплексного состояния.

Пусть в проекте участвуют n> 1 исполнителя, деятельность которых происходит в условиях вероятностной неопределенности. ЛПР прогнозирует действия, выбираемые исполнителями как {yi}. Надежность i-го исполнителя обозначим как – обозначающую вероятность исполнения i-м исполнителем проектных обязательств при наличии механизма стимулирования Ci. Тогда pi(yi) = 1 – qi(yi) будет обозначать риск i-го исполнителя. Считаем, что вклад каждого исполнителя достаточный для изменения управляемой системы в соответствии с комплексной оценкой, если результат деятельности такого исполнителя превышает соответствующее критическое значение Vi. Фонд материального стимулирования имеет в качестве ограничения величину R, одинаковую для всех периодов. Требуется создать систему стимулирования {Sti(zti)}, i=1, n, t=1, 2, … минимизирующую риск. Вероятность того, что на протяжении k 2 периодов i-й исполнитель выполнит свой план, равна

Qi(k) = 1 – pi(Ci)k,

а вероятность того, что за к периодов вся программа развития будет выполнена:

n

Q(k) (1 [ pi (Ci )]k ).

i 1

164

уже выполнил свои задания, то в последующем периоде можно их не стимулировать, т.е. в каждом периоде фонд стимулирования распределяется между исполнителями, еще не выполнившими своих заданий.

Пусть Pi(Ci) = 1-Ci/R при Ci R и 0 при Ci R, где i=1, n. Очевидно, что проект завершается за время T=n с вероятностью 1. В первом периоде весь фонд выделяется первому исполнителю, во втором второму и т.д.

Рассмотрим следующую модель оперативного управления риском. Пусть о начале реализации проекта известно, что конечный результат достигается несколькими способами. При этом имеется n заданий (работ), проект представим в виде графа из n+2 вершин. 0-я вершина соответствует началу выполнения проекта, последняя его завершению, остальные вершины – отдельным операциям. Пусть любой путь из нулевой вершины в последнюю соответствует полному выполнению проекта.

Тогда аналогично выполнимости комплексной программы риск будет оцениваться по правилу произведения вероятностей, но в качестве длин дуг, например можно выбирать нормированные доли фонда финансирования исполнителей по отношению к тем величинам, которые потребуются для выполнения своей операции. Разумеется, найденный вариант должен быть допустим с точки зрения бюджетного ограничения.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Сформулируйте цели стратегического управления.

2.Сформулируйте критерии достижения целей стратегического управления.

3.В чем заключается задача о ранце?

4.Какой метод используется при решении задачи о ранце?

5.Как построить график зависимости "затраты-эффект"?

6.Что характеризует зависимость "затраты-эффект"?

7.Какая задача называется задачей многокритериальной оптимизации?

8.В чем состоит недостаток линейных сверток?

9.Сформулируйте метод формирования комплексной оценки на основе построения иерархической структуры (дерева) критериев.

10.В чем заключается ―механизм честной игры‖?

11.В чем заключается условие эффективности системы оценивания на основе матричных свѐрток?

12.Как совместить требования согласованности системы оценивания и требования еѐ достаточной простоты?

13.В чем заключается метод построения новой системы оценивания, включающей введенный показатель?

14.Что называется расстоянием между показателями хi и xj?

165

15.Сформулируйте условие согласования шкал.

16.Сформулируйте классическое определение вероятности.

17.В чем заключается алгоритм определения вероятностей Рк того, что

фактическое значение комплексной оценки будет равно k, k 1, m .

18.Чему равен риск программы?

19.Как можно снизить риск?

20.Какие вопросы надо учитывать при формировании комплексного плана развития?

21.В чем заключается модель оперативного управления риском?

ГЛАВА 7. МОДЕЛЬ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗЕМЕЛЬНОГО УЧАСТКА С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ НА ЕГО ПЛОЩАДЬ И СТОИМОСТЬ СТРОИТЕЛЬСТВА

7.1. Учет ограничений на площадь земельного участка

Рассмотрим задачу формирования плана застройки земельного участка административно-территориального образования. По существующим нормативам рассматриваемый земельный участок может быть застроен зданиями различного типа, число которых m. Понятно, что унификация производства дает существенную экономию в затратах, поэтому общая стоимость возведения зданий i-го типа зависит от количества построенных зданий данного типа и эта зависимость будет являться вогнутой функцией от количества возведенных зданий данного типа, то есть чем больше однотипных зданий будет построено, тем больше будет экономия на затратах. Естественно, что доход строительных компаний будет пропорционален общей площади построенных сооружений и, естественно, что компании стремятся в рамках заданного бюджета и площади выделенного для строительства участка получить максимально возможный эффект, который в данном случае заключается в максимизации общей площади построенных зданий.

Учет ограничений на площадь земельного участка приводит к дополнительному ограничению. Обозначим ti − площадь, требуемую для строительства дома i-го типа, N-общая площадь земельного участка, отведенного под строительство жилых домов. Ограничимся случаем линейной зависимости стоимости строительства от числа домов каждого типа. Задача заключается в максимизации площади жилых помещений

при ограничениях

166

Получили задачу целочисленного линейного программирования с двумя ограничениями. Для ее решения можно применить стандартные программы. Рассмотрим, однако, другой подход, в основе которого лежит метод сетей допустимых решений, предложенный Бурковым В.Н. Идея метода состоит в следующем. Рассмотрим первое ограничение (7.1.2) и построим сеть всех допустимых решений для этого ограничения. Способ построения такой сети описан, например, в [43]. Поэтому ограничимся иллюстрацией на примере. Примем для упрощения вычислений, что дома строятся пакетами. Положим xi 1 , если строится пакет домов i-го типа (пакет содержит определенное число

домов), xi 0 в противном случае.

Пример 7.1.1 1шаг. Пусть ограничение (7.1.2) имеет вид

x1 2x2 2x3 2x4 x5 5 .

Соответствующая сеть всех допустимых вариантов приведена на рис. 7.1.1.

5

4

3

Рис. 7.1.1

2 шаг. Рассмотрим ограничение (7.1.3):

6x1 2x2 2x3 3x4 4x5 8 .

Соответствующая сеть приведена на рис. 7.1.2

167

Рис.7.1.2

Определение. Проблемной вершиной сети всех допустимых решений (сеть ВДР) назовем вершину, не принадлежащую последнему слою (в нашем случае слою 5), имеющую сеть захода больше 1. Заметим, что сеть ВДР (рис.7.1.1.) имеет шесть проблемных вершин, а сеть ВДР (рис.7.1.2.) имеет одну проблемную вершину (3.2).

Вершины сети будем обозначать номером переменной (в нашем случае 3) и величиной требуемой площади земельного участка (в нашем случае 2).

3 шаг. Выбираем сеть с минимальным числом проблемных вершин. Назовем эту сеть основной. Длины дуг сети берем равными соответствующим коэффициентам другой сети, в нашем случае первой сети (длины дуг приведены у дуг на рис. 7.1.2 в скобках).

Определяем кратчайшие пути в каждую вершину основной сети. Если длина кратчайшего пути в вершину больше правой части первого ограничения, то есть 5, то соответствующую дугу исключаем. Исключенные дуги перечеркнуты на рис. 7.1.2.

Имеет место Теорема 7.1.1. Полученная сеть ВДР содержит все допустимые решения

системы неравенств (7.1.2), (7.1.3).

Доказательство. Если длина кратчайшего пути в какую-либо вершину сети превышает правую часть первого ограничения, то не существует ни одного допустимого решения задачи, которому соответствуют пути, заканчивающиеся в данной вершине. Поэтому соответствующую заходящую дугу можно исключить. В нашем примере для дуги [(3;4), (4;7)] имеет место

(3;4) c4 6 5

( (3;4) - потенциал вершины (3;4)).

Поэтому эту дугу, а значит, и следующую за ней дугу [(4;7), (5;7)] исключаем. Полученная сеть приведена на рис. 7.1.3.

4 шаг. Полагаем длины дуг сети рис. 7.1.3. равными соответствующим коэффициентам целевой функции. Пусть целевая функция имеет вид

168

6x1 3x2 x3 5x4 6x5 .

Определим путь максимальной длины.

Теорема 7.1.2. Длина максимального пути в сети ВДР определяет оценку сверху для исходной задачи (7.1.1)-(7.1.3).

Доказательство следует из теоремы 7.1.1, поскольку сеть ВДР содержит все допустимые решения.

Рис. 7.1.3

В примере длина максимального пути равна 11 (путь выделен на рис. 7.1.3). Следствие. Если среди путей максимальной длины существует путь, для которого соответствующее решение задачи удовлетворяет первому ограничению, то это решение является оптимальным. Доказательство очевидно.

В нашем случае это именно так. Пути максимальной длины соответствует решение х=(0,0,0,1,1), которое удовлетворяет неравенству (7.1.2). Поэтому это решение является оптимальным.

Более того, имеет место Теорема 7.1.3. Если путь максимальной длины не содержит проблемных

вершин, то соответствующее решение является оптимальным. Доказательство. Если путь не содержит проблемных вершин, то, очевидно, соответствующее решение удовлетворяет неравенству (7.1.2). Если решение, соответствующее пути максимальной длины не удовлетворяет ограничению (7.1.2), то применяем метод ветвей и границ, причем ветвление проводим по переменной, соответствующей одной из проблемных вершин. Приведем пример.

Пример 7.1.2. Пусть ограничение (7.1.3) имеет вид

а целевая функция

169

Построим сеть ВДР для ограничения (7.1.4), рис. 7.1.4.

Рис. 7.1.4

Число проблемных вершин равно 5, что меньше чем для сети рис. 7.1.1 Поэтому в качестве основной, берем сеть рис. 7.1.4. Подставляя длины дуг из ограничения (7.1.2), получаем, что ни одна дуга не исключается. Берем длины дуг, равными коэффициентам целевой функции (7.1.5), и определяем путь максимальной длины (длины дуг указаны над уровнем ограничения 10). Путь максимальной длины [(0;0); (1;0); (2;3); (3;5); (4;8); (5;10)] . Его длина равна

15. Соответствующее решение х=(0,1,1,1,0). Однако это решение не удовлетворяет неравенству (7.1.2). Поэтому 15 − это оценка сверху. Применяем метод ветвей и границ. Для ветвления берем проблемную вершину (4;8), то есть переменную х. Делим множество всех решений на два подмножества. В первом подмножестве х4=1, а во втором х4=0.