Учебное пособие 800486
.pdf156
3. Определяем коэффициент нарастания колебаний по формуле (9.4)
1 |
|
|
|
1 |
|
2,92. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
1 |
62,8 |
2 |
||||||
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
95,7 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
4. Коэффициент динамичности при колебаниях рассчитываем по соотношению (9.6)
Кg |
1 |
H |
1 |
10 |
2,92 2,46. |
||
Q |
|
20 |
|||||
|
|
|
|
5. Для определения наибольшего нормального напряжения в балках строим эпюру изгибающих моментов от веса Q двигателя, установленного на балках, (рис. 9.2,в) и устанавливаем опасное сечение. Наибольший изгибаю-
щий момент возникает в сечении под правой опорой M x Ql3. Наибольшее статическое напряжение равно
|
M x |
|
|
Ql |
20 10 |
3 2 10 |
3 |
36,23 МПа. |
|
|
|
|
|||||||
стQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Wx |
|
|
6Wx |
6 184 103 3 |
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Наибольшее динамическое напряжение определяем по формуле (9.8)
g стQ Kg 2,46 36,23 89,13 МПа.
9.3 Расчеты на прочность и жесткость при ударных нагрузках
9. 3. 1. Основные понятия и расчетные соотношения
Под ударом понимается внезапное изменение скорости частиц тела, сопровождающееся быстрым изменением сил. Решение инженерных задач строится обычно на основе приближенной теории упругого удара, в которой принимаются следующие допущения:
1.Кинетическая энергия ударяющего тела полностью переходит в потенциальную энергию деформации ударяемого тела, при этом пренебрегают энергией идущей на деформацию ударяющего тела.
2.Закон распределения напряжений и деформаций по объему ударяемого тела остается таким же, как и при статическом действии нагрузок, при этом не учитывается локальное изменение распределения напряжений и деформаций непосредственно в месте удара.
Напряжения и перемещения, вызванные действием ударной нагрузки, в
Кg раз больше напряжений и перемещений, вызванных действием такой же
по величине, но статически приложенной нагрузки, т.е.
157
|
g |
|
Kg |
|
ст ; |
g K g |
ст ; |
g |
|
Kg |
ст , |
|
|
(9.9) |
|||||||||||
где ст , |
ст , |
|
ст |
- напряжения |
и перемещения при статическом приложе- |
||||||||||||||||||||
нии нагрузки; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
K g |
- коэффициент динамичности, величина которого зависит от вида |
|||||||||||||||||||||||
удара и соотношения масс ударяемого и ударяющего тел. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
В случае вертикального удара, |
когда ударяющее тело А при встрече с |
|||||||||||||||||||||||
ударяемым телом В движется в направлении силы тяжести |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 2 |
|
|
|
|
|
|
K g |
1 |
1 |
|
2H |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
mВ |
|
|
|
g |
ст 1 |
|
mВ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ст |
|
|
mА |
|
|
|
|
|
|
|
mА |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.10) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ис |
1 |
|
mВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
mА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где Н – высота падения тела А ; U – скорость тела А к моменту соударения; |
|||||||||||||||||||||||||
ст |
– линейное перемещение точки соударения тела |
В при статическом |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приложении к нему в направлении удара силы, равной весу тела А ; mA и mB
– массы тел А и В ; Ис – потенциальная энергия упругой деформации тела В при статическом приложении силы, равной весу тела А ; Т – кинетическая энергия ударяющего тела А ; – коэффициент приведения массы ударяемого тела к месту удара, величина которого зависит от схемы нагружения и берется из справочников.
Если mB |
|
|
mA , то К g |
определяют без учета массы ударяемого тела |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2H |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
||||||
K g 1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 1 |
|
|
(9.11) |
||||||||
|
|
|
|
|
g |
|
И |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ст |
|
|
|
|
|
|
ст |
с |
||||||||
Из (9.10) и (9.11) следует, что в случае внезапного (или мгновенного) |
||||||||||||||||||||||
приложения нагрузки Кg |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если |
2H |
|
|
|
U 2 |
|
T |
|
|
|
110 , то коэффициент динамичности мож- |
|||||||||||
ст |
|
|
|
g ст |
|
И |
с |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но определять по упрощенным формулам
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
158 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
K g |
2H |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
(9.12) |
|||||||||||
ст |
|
|
|
g ст |
Иc |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
При горизонтальном ударе значения К g с учетом массы ударяемого |
||||||||||||||||||||||||||
тела рассчитывают по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
K g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
. |
(9.13) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
mВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
g ст |
1 |
|
|
|
|
Ис |
1 |
|
mВ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
mА |
|
|
|
mА |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае, когда ударяющее тело совершает вращательное движение и вызывает в ударяемом теле деформации, определяемые угловыми перемеще-
ниями, то для определения |
К g |
можно пользоваться приведенными выше |
||||||
формулами, заменив U на |
, а вместо mA и mB брать моменты инерции J A |
|||||||
и J B тел A и B относительно их осей вращения. |
|
|||||||
|
Условия прочности и жесткости при ударе записывают в виде |
|
||||||
|
g |
g |
; g |
g |
; |
g |
, |
(9.14) |
где |
g , |
g |
- допустимые значения напряжения, определенные при ди- |
|||||
намическом напряжении, |
- допускаемое значение перемещения. |
|
||||||
9. 3. 2. Расчет на прочность при ударе |
|
|
||||||
|
Задача. На стальную балку двутаврового сечения (двутавр № 24) и |
|||||||
длиной l |
6 мм , свободно лежащую на двух жестких опорах, с высоты |
|||||||
Н |
5 см падает груз |
Р |
1,5 кН . Определить возникающее в балке нор- |
159
мальное наибольшее напряжение и сравнить его с максимальным напряжением в аналогичной балке, у которой правая опора заменена пружиной с податливостью 60 мм / кН (рис. 9.3).
Рис 9.3
Решение.
При падении груза Р балка испытывает ударный изгиб. Возникающее в ней максимальное напряжение можно определить с использованием формулы (9.9)
|
max |
K |
|
|
max , |
|
||
|
g |
|
|
g |
|
ст |
|
|
где |
max - максимальное напряжение, возникающее в балке при ее статиче- |
|||||||
|
ст |
|
|
|
|
|
|
|
ском изгибе силой Р , которое определяется по формуле |
||||||||
|
max |
|
M x |
|
max |
|
||
|
|
|
|
|||||
|
ст |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Wx |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
Для двутавра № 24 |
W 289см3 . Чтобы определить изгибающий мо- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
мент в опасном сечении балки т.е. M x max строим эпюру изгибающих моментов для балки, нагруженной грузом Р (рис. 9.4, а). Из нее находим, что
M x |
|
max |
2 |
P , следовательно, можно рассчитать |
|
||||
|
|
|||
|
|
9 |
|
|
|
|
max 2P |
2 1,5 103 6 103 |
6,92 МПа . |
|||
ст |
9W |
|
|
9 289 103 |
|
|
|
||||
|
x |
|
|||
|
|
|
|
|
160
Рис. 9.4
Определим коэффициент динамичности без учета собственного веса балки. При вертикальном ударе согласно (9.11)
|
Kg |
1 |
|
2H |
|
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
ст |
||
где |
ст - прогиб сечения С при статическом приложении к балке груза Р , |
|||||
т.е. |
yc . Поскольку балка прямая, а жесткость ее постоянна по длине, то для |
|||||
определения yc |
воспользуемся способом Верещагина. Введем вспомогатель- |
ную систему и нагрузим ее в сечении С единичной вертикальной силой (см. рис. 9.4, б). Определив реакции опор R1A и R1B , строим эпюру изгибающих моментов для вспомогательной системы (см. рис. 9.4, в). Разбивая эпюры
M x и M x1 на два участка, получим: |
|
|||||
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yc |
|
|
K M K1 |
|
1M11 |
2 M 21 . |
EI x K 1 |
|
|||||
|
|
EI x |
|
161
Из эпюр (см. рис. 9.4, а и см. рис. 9.4, в) следует:
|
P 2 |
; M11 |
R1A |
|
2 |
|
|
4 |
; |
|
|||
1 |
27 |
9 |
|
27 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
P 2 ; M |
|
R1 |
4 |
|
|
4 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
27 |
|
|
21 |
|
B |
9 |
|
|
27 |
|
||
Таким образом, учитывая, что I x |
3460см4 , получим: |
|
|
|
yс |
4P 3 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
4 P 3 |
|||||||||
ст |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
27EI x |
27 |
|
|
|
|
27 |
|
|
243 EI x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4 |
1,5 103 |
63 |
109 |
|
|
|
|
0,77мм. |
||||||||||||||
243 |
2 105 |
3460 104 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Поскольку |
2H |
|
110 , определяем коэффициент динамичности по упрощен- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
ст |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ной формуле (9.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Kg |
|
|
2H |
|
2 5 10 |
|
|
11,4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ст |
|
|
|
|
0,77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Наибольшее динамическое напряжение в балке будет равно |
|||||||||||||||||||||||
max |
|
|
Kg |
max |
11,4 |
6,92 |
78,9МПа. |
||||||||||||||||
g |
|
|
ст |
|
|
|
|||||||||||||||||
Определим теперь |
|
max |
|
|
в случае, когда опора В заменена пружиной с |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
податливостью |
(рис. 9.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
162
Рис. 9.5
В этом случае вертикальное перемещение сечения С при статическом нагружении балки силой Р складывается из yc и перемещения сечения С за
счет поворота балки относительно опоры |
А вызванного деформацией пру- |
|||||||||||||||||||||||||
жины, заменяющей опору В . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Осадка пружины |
RB |
|
|
|
|
P |
1,5 60 |
|
30 мм , тогда из подо- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
бия треугольников АВВ1 |
и АСС 1 следует, что СС1 |
|
. Таким образом, |
|||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вертикальное перемещение сечения С будет равно |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ст |
yc |
|
|
0,77 |
10 |
|
|
10,77 мм. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку |
2H |
|
110, то динамический коэффициент будет равен |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ст |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Kg |
1 1 |
|
2H |
1 |
1 |
2 5 10 |
|
|
|
4,21. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ст |
10,77 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наибольшее динамическое напряжение в балке с пружинной опорой В будет равно
max |
max |
4,21 6,92 29,13 МПа. |
g |
Kg ст |
Сопоставление показывает, что во втором случае максимальные динамические напряжения в 2,7 раза меньше. Это обусловлено тем, что во вто-
163
ром случае жесткость конструкции значительно меньше, чем в первом, что приводит к существенному уменьшению коэффициента динамичности.
10. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ НАПРЯЖЕНИЯХ, ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ВО ВРЕМЕНИ
10.1. Основные понятия и расчетные соотношения
Части машин и сооружений, в которых возникают напряжения, переменные по величине и многократно повторяющиеся во времени, разрушаются при напряжениях, значительно меньших предела прочности, а иногда и предела пропорциональности материала. Явление разрушения материала при переменных напряжения в результате постепенного накопления повреждений и образования трещин, называется усталостью материала. Способность материала сопротивляться разрушению при действии напряжений, циклически изменяющихся во времени, называют выносливостью или циклической прочностью.
В большинстве случаев напряжения, возникающие в деталях машин, изменяются во времени согласно тому или иному периодическому закону. Совокупность последовательных значений напряжений за один период их изменения называется циклом.
Цикл переменных напряжений (рис. 10.1) характеризуется:
1) максимальным max (или max ) и минимальным min (или min ) напряжениями цикла;
2)средним напряжением цикла
|
|
|
max |
|
min |
|
(или |
|
|
|
max |
min |
); |
|||
|
m |
2 |
|
|
m |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
амплитудным напряжением цикла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
max |
|
min |
|
|
(или |
|
|
|
max |
min |
); |
||
|
а |
2 |
|
|
а |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
коэффициентом асимметрии цикла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
r |
|
min |
|
(или r |
|
min |
). |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max max
|
|
|
|
164 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
max |
|
|
|
|
|
a |
|
|
min |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
Рис.10.1 |
|
|
|
Если |
max |
min , |
цикл |
называется |
симметричным |
(рис.10.2). |
|
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
0, |
a |
max, r |
1. |
|
165
max
0
min |
max |
t |
|
|
|
Рис. 10.2
Циклы, у которых максимальные и минимальные напряжения равны нулю (рис. 10.3), называются отнулевыми или пульсационными. Для этих циклов
m |
a |
max |
; |
min |
0; r |
0 (рис. 10.3,а) |
||
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
a |
|
min |
; |
max |
0; r |
(рис. 10.3,б). |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|