Учебное пособие 800446
.pdfFk (x) |
|
|
L |
Yk (x) |
1F1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2F2 |
|
|
L |
|
|
|
|
||
|
|
L |
Y(x) |
|
mFm |
|
|
|
|
|
|
Рис. 12 |
|
|
|
|
|
|
Принцип суперпозиции имеет эмпирическое происхождение. Например, в теории тяготения согласно этому принципу гравитационное поле, возбуждаемое какой-либо массой, не зависит от наличия других масс. И кроме того, гравитационное поле, создаваемое несколькими телами, равно геометрической сумме гравитационных полей, возбуждаемых этими телами в отдельности.
Подобное поведение физических систем наблюдается в оптике, радиотехнике, теплотехнике и при изучении колебаний ряда механических систем.
Частным случаем этой теоремы является нижеследующая теорема,
широко используемая в расчетах электрических цепей и в теории колебаний. |
|
|||||||||||
Теорема 8. |
Если система линейных уравнений |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dY |
A(x)Y F1(x) iF2(x), |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где i- мнимая |
единица, |
F1(x) colon(u1,..., un ) , |
F2(x) colon(v1,...,vn) |
с |
||||||||
действительными функциями aij (x), ui (x), vi (x) |
(i, j 1,2,...,n) |
имеет решение |
||||||||||
Y(x) Y (x) Y (x), |
Y (x) colon(y |
(1),...,y(n)), |
Y (x) colon(y |
(1) |
,...,y(n)), |
то |
||||||
1 |
2 |
1 |
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
2 |
|
||
действительная |
часть решения |
Y1(x) |
и |
его |
мнимая |
|
часть Y2(x) |
|||||
соответственно являются решениями уравнений |
|
|
|
|
|
dY1 A(x)Y1 F1(x), dx
dY2 A(x)Y2 F2(x). dx
Доказательство. |
По |
условию L[Y] F1 iF2, где L |
- линейный |
оператор (5.24). Докажем, |
что |
L[Y1] F1, L[Y2] F2 . Действительно, в силу |
|
линейности оператора L, получаем L[Y1 iY2] L[Y1] iL[Y2] F1 |
iF2 . |
Учитывая определение равенства комплексных чисел, имеем L[Y1] F1,
L[Y2] F2 .
Теорема 9. Если Y(n)(x) является решением линейной неоднородной системы
L[Y] F , |
(5.50) |
140
а Y(0)(x) - решением соответствующей однородной системы L[Y] , то
сумма |
Y(n)(x) Y(0)(x) также будет решением неоднородной системы |
(5.22). |
|
Доказательство. По условию теоремы L[Y(n)] F и L[Y(0)] , где - |
нулевой вектор. Покажем, что L[Y(n) Y(0)] F . Действительно, используя линейность оператора L, будем иметь:
L[Y(n) Y(0)] L[Y(n)] L[Y(0)] F F.
Таким образом, теорема доказана.
Теорема 10 (об общем решении неоднородной системы). Общее решение на отрезке x [a,b]неоднородной системы (5.22) с непрерывными на
[a,b] |
коэффициентами aij (x) и непрерывными правыми частями fi (x) равно |
|
n |
сумме |
общего решения Yoo(x) CiYi , соответствующей неоднородной |
|
i 1 |
системы (Yi (x) - линейно независимые решения однородной системы) и
частного решения Yчн (x) рассматриваемой неоднородной системы.
Доказательство. Как отмечалось выше, достаточными условиями существования и единственности решения нормальной системы дифференциальных уравнений
dyk |
f |
k |
(x, y ,..., y |
n |
) (k 1,2,...,n), |
|
|||||
dx |
1 |
|
|||
|
|
|
|
с начальными условиями yk (x0) yk0, являются: непрерывность всех функций
fk в окрестности начальных данных и ограниченность |
fk |
|
. Очевидно, что |
|
yk |
||||
|
|
|||
для нормальной линейной системы с непрерывными aij (x) |
и fi (x) эти условия |
выполняются при |
x [a,b]. Поэтому для доказательства сформулированной |
|
теоремы достаточно показать, что подбором постоянных Ci |
в решении |
|
n |
|
|
Y CiYi Yчн можно удовлетворить произвольно заданным |
начальным |
|
i 1 |
|
|
условиям Y(x0) Y0 |
colon(y10, y20,...,yn0). |
|
Покажем, что векторное уравнение |
|
|
|
n |
|
|
CiYi(x0) Yчн (x0) Y0 |
|
|
i 1 |
|
или эквивалентная система алгебраических линейных по |
Ci (i 1,...,n) |
|
уравнений |
|
|
141
n
Ci y1i(x0) yчн1(x0) y10,
i 1
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Ci y2i(x0) yчн2(x0) y20, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.51) |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Ci yni (x0) yчнn(x0) yn0 |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
имеет решение C(0) |
,...,C(0) |
, при любых правых частях y |
k0 |
y |
чнк |
(x |
) системы |
1 |
n |
|
|
0 |
|
(5.51). Но определитель этой системы равен определителю Вронского в точке x x0. Для линейно независимых решений Y1,Y2,...,Yn соответствующей однородной системы он отличен от нуля. Следовательно, система (5.51) имеет решение C1(0),C2(0),...,Cn(0) при любых правых частях. Теорема доказана.
Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
В том случае, когда удалось найти общее решение однородной системы линейных уравнений, соответствующей заданной неоднородной системы, для нахождения частного решения последней (а вместе с тем и общего ее решения)
применяется метод Лагранжа. |
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема 11. |
Пусть на сегменте |
[a,b] матрица A(x) и вектор F(x) |
|||||||
непрерывны (т.е. матричные элементы aij (x) |
и координатные функции fi (x) |
||||||||
непрерывны |
при |
x [a,b]). |
Пусть известна фундаментальная |
система |
|||||
решений |
для |
соответствующей |
однородной системы |
|
уравнений |
||||
Y (x) A(x)Y(x) . |
Тогда |
общее |
решение неоднородной системы |
уравнений |
|||||
Y (x) A(x)Y(x) F(x) может быть найдено с помощью квадратур. |
|
|
|||||||
Доказательство. |
По |
условию |
теоремы фундаментальная система |
||||||
решений однородной системы известна; т.е. известны функции |
|
|
|||||||
|
|
|
z11(x), |
z12(x), z1n(x), |
|
|
|||
|
|
|
z21(x), |
z22(x), z2n (x), |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn1(x), |
zn2(x), znn (x). |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
Решение неоднородной |
системы |
yk aki(x)yi(x) fk (x) |
(k 1,2,...,n) |
||||||
будем искать в виде |
|
|
|
i 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
yk Ci (x)zik (x) fk (x) |
(k 1,2,...,n), |
|
(5.52) |
||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
где Ci(x) (i 1,2,...,n)- некоторые непрерывно дифференцируемые функции.
Отметим, что при постоянных Ci формула (5.52) дает общее решение
142
однородной системы.
Подставим (5.52) в уравнения системы. Получим
n |
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
(k 1,2,...,n). |
|
(Ci |
(x)zik (x) Ci (x)zik (x)) akj(x) Ci (x)zij (x) fk (x), |
||||
i 1 |
|
|
j 1 |
i 1 |
|
Изменив порядок суммирования в правой части этого равенства, |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
n |
|
(Ci(x)zik (x) Ci(x)zik |
(x)) Ci(x) akj (x)zij (x) fk (x), |
(k 1,2,...,n). |
|||
i 1 |
|
|
i 1 |
j 1 |
|
Запишем последнее равенство в виде |
|
||||
n |
n |
|
n |
|
(k 1,2,...,n). |
Ci (x)zik (x) Ci (x) zik |
(x) akj (x)zij (x) fk (x), |
||||
i 1 |
i 1 |
|
j 1 |
|
|
|
|
|
Принимая во внимание, то что zik (x) - фундаментальная система решений однородной системы уравнений, видим: выражение в квадратной скобке во второй сумме равно тождественно нулю. В результате мы приходим к следующей алгебраической системе уравнений для определения производных
Ci (x)
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ci(x)zik (x) fk (x), |
(k 1,2,...,n) |
|
|||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
или в развернутом виде |
|
|
|
|
|
|
|
||
z |
(x)C |
(x) z |
(x)C |
(x) z |
n1 |
(x)C |
(x) f |
(x), |
|
11 |
1 |
12 |
2 |
|
n |
1 |
|
|
|
|
(x)C2(x) z22(x)C2(x) zn2(x)Cn(x) f2(x), |
|
|||||||
z21 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.53) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x)C1(x) zn2(x)C2(x) znn(x)Cn(x) fn(x). |
|
|||||||
zn1 |
|
Определителем этой линейной системы уравнений является определитель Вронского, который, в силу линейной независимости функций zik (x), отличен от нуля при x [a,b].
Решая систему (5.53) методом Крамера, получим
n |
Wki(x) |
|
|
|
|
Ci (x) fk (x) |
|
(i 1,2,...,n), |
(5.54) |
||
W(x) |
|||||
k 1 |
Wki (x) - алгебраическое |
||||
где W(x) - определитель Вронского (5.33), |
|||||
дополнение элемента zik (x) вронскиана W(x). |
Отметим, что для удобства в |
формуле (5.54) вспомогательные определители разложены по столбцу из свободных членов f1(x), f2(x),..., fn (x).
Интегрируя (5.54), находим:
n x |
|
Wki(x) |
|
|
|
|
Ci(x) |
fk (x) |
dx ci |
(i 1,2,...,n). |
(5.55) |
||
|
||||||
k 1x |
|
W(x) |
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
143 |
|
|
|
Подставив эти значения Ci (x) в формулу (5.52), получаем:
n |
n x |
Wji(x) |
n |
|
|
|
yk (x) zik (x) f j(x) |
dx cizik (x), |
(k 1,2,...,n). |
(5.56) |
|||
W(x) |
||||||
i 1 |
j 1x |
i 1 |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
Формулы (5.56) определяют общее решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Первые выражения в (5.56) дают частное решение неоднородной системы, а вторые выражения – общее решение соответствующей однородной системы уравнений.
Таким образом, задача интегрирования линейной неоднородной системы сводится к задаче построения фундаментальной системы решений соответствующей ей однородной системы уравнений и последующего нахождения квадратур.
Пример. Найти общее решение неоднородной системы
dy |
z, |
dz |
y |
1 |
ln x, |
|
dx |
x2 |
|||
dx |
|
|
если известно общее решение соответствующей однородной системы
y C ex |
C |
e x , |
z C ex |
C |
e x. |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
Решение. Общее решение неоднородной системы ищем методом вариации постоянных:
|
|
|
|
|
y C |
(x)ex C |
2 |
(x)e x , |
|
z C (x)ex C |
2 |
(x)e x. |
(*) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Функции C1(x) и |
C2(x) определяем из системы уравнений: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
C (x)ex |
C (x)e x 0, |
C (x)ex C |
(x)e x |
|
1 |
|
ln x. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
C (x) |
Разрешим полученные уравнения относительно неизвестных функций |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и C (x) |
. Складывая эти уравнения, |
а затем вычитая из первого второе, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dC (x) |
1 |
e x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dC |
2 |
(x) |
|
|
1 |
ex |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnx . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Отсюда |
|
C1,2(x) |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
ln x dx c1,2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где |
c1,2 - произвольные постоянные. |
Используя метод интегрирования по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частям udv uv vdu, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
x 1 |
|
|
u e x, |
|
|
du e xdx |
|
|
|
e |
x |
e |
x |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
dv x 2dx, |
|
v x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u e x, |
du e xdx |
|
|
|
e |
x |
e x ln x e x ln xdx c1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
dv x 1dx, |
v lnx |
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя вычисленный интеграл в выражение для C1(x) и проделав
144
аналогичную процедуру с интегралом, входящим в C2(x), получим:
|
1 |
e x |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
ex |
1 |
|
|
|
|||
C |
(x) |
|
|
|
ln x |
c |
, |
C |
2 |
(x) |
|
|
|
ln x |
c |
2 . |
||
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
2 |
|
x |
|
1 |
|
|
2 |
|
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найденные функции подставим в выражения (*). То есть, общее решение системы записывается в виде:
y c ex |
c |
2 |
e x |
lnx , |
z c ex |
c |
2 |
e x |
|
1 |
. |
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.5.Системы линейных дифференциальных уравнений
спостоянными коэффициентами. Метод Эйлера построения фундаментальной системы решений
Вданном разделе изучаются линейные системы дифференциальных уравнений вида (5.15), сокращенная форма записи которых следующая
|
|
dyk |
n |
|
|
|
|
|
|
aki yi fk (x) |
(k 1,2,...,n) |
(5.57) |
|||
|
|
dx |
|||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
или Y AY F(x) . |
|
|
|
|
|
||
Здесь |
постоянные вещественные |
коэффициенты aki (k,i 1,2,...,n) - |
|||||
элементы |
матрицы |
A, |
Y colon(y1,..., yn), |
F(x) colon( f1,..., fn ), |
fk (x) |
||
(k 1,2,...,n)- непрерывные в |
(a,b) функции. |
|
|
Из общей теории линейных систем уравнений, изложенной в предыдущих параграфах этой главы, следует существование решения этой системы и единственность решения начальной задачи. Здесь мы покажем, что систему (5.57) можно проинтегрировать в конечном виде, выражая решение либо через элементарные функции, либо в квадратурах.
В п. 5.5 было показано, что интегрирование неоднородной линейной системы приводится к интегрированию соответствующей однородной системы. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений можно найти методом вариации постоянных, если известна фундаментальная система решений соответствующей однородной системы
|
dyk |
n |
|
|
|
aki yi |
(k 1,2,...,n), |
(5.58) |
|
|
dx |
|||
|
i 1 |
|
|
|
или |
Y AY . |
(5.59) |
||
|
|
Ниже будет показано, что фундаментальная система решений может быть построена из элементарных функций, непрерывно дифференцируемых в интервале ( , ).
Построение фундаментальной системы решений и общего решения однородной линейной системы.
Частное решение системы (5.58) будем искать в виде
145
|
|
y |
e x, |
y |
2 |
|
2 |
e x |
,...,y |
n |
|
n |
e x |
|
(5.60) |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или, что тоже самое, в векторной форме |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Y e x , |
colon( 1, 2,..., n), |
|
(5.61) |
||||||||||
где |
1, 2,..., n |
и |
- некоторые постоянные, причем числа 1, 2,..., n не |
||||||||||||
равны нулю одновременно (при |
1 2 |
... n 0 получили бы |
нулевое |
||||||||||||
решение, которое не может входить в фундаментальную систему решений). |
|||||||||||||||
|
Необходимо найти постоянные 1, |
2, |
..., n |
и |
так, чтобы функции |
||||||||||
yk |
ke x удовлетворяли системе (5.58) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Подставляя в векторное уравнение (5.58) искомое решение (5.61) и |
||||||||||||||
учитывая Y e x , находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
e x e x A , |
или |
(A E) , |
|
(5.62) |
|||||||||
где colon(0,0,...,0), |
E diag(1,1,...,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Равенство |
(5.62) показывает: |
функция |
(5.61) |
является |
решением |
рассматриваемой однородной системы в том случае, когда - собственное число матрицы, - принадлежащий этому собственному числу собственный вектор этой матрицы.
В координатной форме уравнения (5.62) представляет собой однородную систему линейных уравнений вида
(a11 ) 1 a12 2 a1n n |
0, |
|
||||||||
|
|
|
|
) 2 a2n n |
0, |
|
||||
a21 1 (a22 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.63) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
n2 |
|
2 |
(a |
nn |
) |
n |
0. |
|
n1 1 |
|
|
|
|
|
|
Отметим, что систему (5.63) можно получить и непосредственно, минуя операции в матричной форме, если подставить функции (5.60) в уравнения
(5.58).
Будем искать решения отличные от нулевого. При этом определитель системы (5.63) должен быть равен нулю, то есть
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
a1n |
|
|
( ) |
|
A E |
|
|
a21 |
a22 |
|
a2n |
0. |
(5.64) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
an1 |
an2 |
ann |
|
|
Алгебраическое уравнение (5.64) называется характеристическим
уравнением для системы типа (5.58) с постоянными коэффициентами aij .
Среди корней характеристического многочлена с действительными коэффициентами в правой части (5.64) могут быть:
1) |
простые действительные корни i,(i 1,2,...n); |
|
2) |
кратные действительные |
корни k кратности Sk , при этом |
|
|
146 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
сумма всех кратностей, включая простые корни m с |
Sm 1, |
S j n, |
|||||
где l l - число различных корней; |
|
|
|
j 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
3) |
среди |
корней |
есть |
комплексно-сопряженные |
пары |
||
m m ivm, |
m 1 |
m ivm, простые или кратные. |
|
|
|
||
Соответственно этим случаем |
Y(k) |
из (5.60) могут иметь следующий |
|||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
1.Все i - действительные и различные.
Тогда фундаментальная |
|
система |
решений |
может |
быть |
записана |
||||||
следующим образом: |
y(1) |
|
(1) e 1x; y(1) |
|
(1) e 1x |
|
|
|
(1) e 1x , |
|
||
:Y(1) |
|
|
; ;y |
(1) |
|
|
||||||
1 |
1 |
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
n |
|
n |
|
:Y(2) |
y(2) |
(2) |
e 2x; y(2) |
|
(2) e 2x |
; ; y |
(2) |
|
(2) e 2x , |
|||
2 |
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
n |
|
n |
|
|
:Y(n) |
y(n) |
|
|
(n) e nx; y(n) |
|
(n) e nx |
; ;y |
(n) |
|
(n) e nx . |
|
|
n |
1 |
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
n |
|
n |
|
Здесь i(k), (i 1,..., n) |
находятся |
|
для |
каждого |
|
|
|
Y(k) |
из (5.63) |
при |
|||||||||||||||
соответствующем значении k |
|
(k 1,...,n). При этом общее |
решение |
(5.59) |
|||||||||||||||||||||
для данного случая имеет вид |
(1) |
e 1x |
|
|
|
|
(2) e 2x |
|
|
|
|
|
(n) e nx ; |
|
|||||||||||
y (x) C |
C |
C |
n |
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
y |
2 |
(x) C |
(1) |
e 1x |
C |
2 |
|
(2) e 2x |
C |
n |
|
(n) e nx ; |
|
||||||||||||
|
1 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
y |
n |
(x) C |
(1) e 1x |
C |
2 |
|
(2) e 2x |
C |
n |
|
(n) |
e nx. |
|
||||||||||||
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||
Пример 1. Найти общее решение однородной линейной системы |
|||||||||||||||||||||||||
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
y 2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
dz |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
du |
2y z 2u. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. В матричной форме эту систему можно записать следующим |
|||||||||||||||||||||||||
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AX, |
где |
A |
0 |
1 |
0 , |
X y . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
z |
|
Запишем характеристическое уравнение (5.64) для этой системы
147
|
|
1 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0; |
|
(1 )(1 )(2 ) 0. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корни |
этого уравнения |
1 1; 2 1; 3 |
2 |
все |
действительные |
|
и |
|||||||||||||||||||||||||
различные, следовательно, |
|
Y(1) |
1(1)ex; |
2(1)ex; |
3(1)ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Y (2) |
1(2)e x; |
2(2)e x; |
3(2)e x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
(1) |
|
Y(3) 1(3)e2x; |
2(3)e2x; 3(2)e2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Найдем из (5.63) |
, |
|
(i 1, 2, 3), |
|
|
соответствующие корню |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
(1 1) 1 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( 1 1) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
1 |
|
2 |
(2 ) |
3 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как определитель этой системы |
( 1) 0, то одно из неизвестных |
|||||||||||||||||||||||||||||||
можно взять в качестве произвольного параметра, поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Mij |
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и ранг этой |
системы равен двум. |
Пусть |
|
3 1, |
тогда |
2 |
0 и |
1 |
|
1 |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Y(1)(t) |
|
|
|
ex; 0; |
ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для определения i2, |
|
(i 1,2,3) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(1 |
2) 1 2 2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
||||||||
|
( 1 2) 2 |
|
|
|
|
|
, ( 2) |
0 |
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 (2 2) 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Так как ( 2) 0,положим |
2 |
1, при этом |
Mij |
|
2 |
0 |
|
|
0, |
поэтому |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 1 0 3 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; |
3 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
и следовательно 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 1 3 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y(2) e x; e x; e x .
Аналогично для нахождения i(3), (i 1,...,3) будет
148
(1 |
3) 1 2 2 |
0 |
|
1 |
2 0 |
|
|
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
) |
|
0 |
|
0 |
|
||
( 1 |
3 |
2 |
, ( 3) |
0 |
3 0 |
. |
||||
|
|
|
|
|
||||||
2 1 |
2 (2 3) 3 0 |
|
2 |
1 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть 3 1, тогда 2 1 0, поэтому
Y(3) 0; 0; |
e2x . |
Общее решение системы будет иметь вид
y(x) 1 C1ex C2e x, 2
z(x) C2e x,
u(x) C1ex C2e x C3e2x.
2. Рассмотрим случай, когда среди действительных корней есть кратные. Пусть корень k имеет кратность Sk , тогда этому корню в
фундаментальной системе решений будут соответствовать Sk строк:
|
|
: Y(k) |
|
|
|
(k) |
|
k |
x |
; |
(k) |
e |
|
k |
x |
|
(k) |
|
k |
x |
||||
k |
|
|
e |
|
|
|
; ...; |
e |
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:Y(k 1) |
|
|
(k 1) |
x e |
x |
; |
(k |
|
x |
;...; |
|
|
|
x |
|
|||||||||
|
|
|
k |
|
1) x e |
k |
|
(k 1) |
x e |
k |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
……………………………………………………………..
(k S 1) |
|
(k S 1) |
S 1 x |
(k S 1) |
S 1 x |
|||||
|
||||||||||
:Y |
k |
|
k |
x k |
e k ; |
|
k |
x k |
e k ;...; |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k S |
1) S |
1 |
|
x |
||
|
k |
|
||||
|
k |
x k |
e |
. |
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. |
|
|
Найти |
общее |
|
|
решение |
|
|
|
системы |
|||||||
дифференциальных |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dy |
2y z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
y |
|
2 |
1 y |
|
|
|
||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
dz |
|
|
|
dx |
z |
|
1 0 z |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Характеристическое уравнение этой системы будет |
|
|
||||||||||||||||
( ) |
|
2 |
1 |
|
|
0, |
то есть 2 |
2 1 0 |
или |
|
|
2 |
1. |
|||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Запишем фундаментальную систему решений |
|
x ex .. |
|
|||||||||||||||
Y(1) 1(1) |
ex; 2(1) |
ex ; Y(2) |
1(2) |
x ex; |
2(2) |
|
Подставляя в исходную систему уравнений и приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях x, получим однородную систему уравнений для
определения i( j) |
с рангом r 2 |
|
149 |