Учебное пособие 800327
.pdfdI dq dS R2 sin d .
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||
Магнитная индукция поля тока dI в центре сферы |
|
|||||||||
dB |
|
dI |
|
2 r2 |
|
|
R2 sin |
2 d |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|||||
4 |
(r2 z2)3/2 |
2(R2 sin2 R2 cos2 )3/2 |
||||||||
|
|
|
|
1 0 Rsin3 d . 2
Магнитную индукцию в центре сферы, обусловленную ее вращением, найдем интегрированием
|
1 |
|
1 |
|
4 |
|
2 |
|
|
B |
0 R sin3 d |
0 R |
|
0 R. |
|||||
|
2 |
|
|
||||||
2 |
0 |
3 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Проведенные вычисления, дают следующий результат
B29пТл.
2.1.3.Задачи для самостоятельного решения Первый уровень сложности
1.Электрон движется прямолинейно и равномерно со скоростью =3,0·105 м/с. Найти индукцию поля, создаваемого электроном в точке, находящейся на расстоянии r =1,0 ·10-9 м от него и лежащей на перпендикуляре к , проходящем через мгновенное положение электрона.
Ответ: В = 4,6 мТл.
2.Точечный заряд движется со скоростью 900м/с.
В некоторый момент времени в точке наблюдения Р напряженность электрического поля этого заряда E 600В/м,
а между векторами E и в точке Р угол 300 . Найти индукцию магнитного поля данного заряда в этот момент.
Ответ: B 0 0 Esin 3,0 пТл.
3. Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по окружности радиуса r 5,3нм. Вычислить силу эквивалентного кругового тока и индукцию B поля в центре окружности.
81
Ответ: 1,1 мА; 12,57 Тл. |
r 10нм от |
|
||
4. |
На |
расстоянии |
траектории |
|
прямолинейно |
движущегося |
электрона |
максимальное |
|
значение |
магнитной индукции |
Bmax 160мкТл. Определить |
||
скорость электрона. |
|
|
||
Ответ: 1 Мм/с. |
|
|
5. Два прямолинейных длинных проводника расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга, По проводникам текут токи I1 I2 5А в противоположных направлениях. Найти величину и направление магнитной индукции поля в точке, находящейся на расстоянии 10 см от
каждого проводника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: В = 10 5 Тл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. Два бесконечно длинных прямых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
проводника скрещены под прямым углом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
рис.53. |
По |
проводникам |
|
текут |
токи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
I1 80 А и |
I2 =60А. |
|
Расстояние |
между |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
проводниками |
|
d 10см. |
Чему |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
магнитная индукция в точках А |
и |
С, |
|
|
|
|
|
Рис.53 |
|||||||||||||||||||||||
одинаково |
удаленных |
|
от |
|
|
обоих |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
проводников? |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ:B |
A |
|
|
|
I2 |
I2 |
|
B |
C |
|
|
I |
2 |
I2 . |
|||||||||||||||||
d |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 d |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
Бесконечно |
|
длинный |
|
прямой |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|||||||||||||
проводник согнут под прямым углом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
||||||||||||||||||||||
рис.54. |
По |
проводнику |
течет |
ток |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
I 100 |
А. |
Вычислить |
|
магнитную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
индукции в точках, лежащих на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Рис.54 |
||||||||||||||||||||||||||
биссектрисе угла |
и |
|
|
удаленных |
от |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
вершины угла на |
a= 20 см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ:B |
|
0.4 10 4Тл ,B |
A |
2.4 10 4Тл . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не |
||||||||||||||||||||||||||||||
изменяя |
силы |
|
тока |
в |
|
проводнике, ему |
|
|
придали форму |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квадрата. Во сколько раз изменилась магнитная индукция в центре контура? Ответ: увеличилась в 1,14.
Второй уровень сложности
|
1. Определить напряженность электрического поля и |
|||||||||||
индукцию магнитного поля, |
которые создаются |
электроном в |
||||||||||
точке P , |
в тот момент, когда |
он |
пролетает |
через начало |
||||||||
системы координат со скоростью . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
а) Координаты точки |
P и проекции вектора скорости |
||||||||||
электрона |
равны: |
x 10нм, |
y 10нм, |
x |
y 0, |
|||||||
z |
100Мм/с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Координаты точки P и проекции вектора скорости |
|||||||||||
электрона равны: |
x 0нм, |
y 10нм, z 10нм, z |
y 0, |
|||||||||
x |
100Мм/с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
По |
тонкому |
проводящему кольцу |
радиусом |
|||||||
R |
= 10 см течет ток I |
= 80 А. Найти магнитную индукцию в |
||||||||||
точке, равноудаленной от всех точек кольца на |
r = 20 см. |
|||||||||||
|
Ответ: B = ( 0IR2 )/2r3 |
6,28 10 5Тл. |
|
|
|
|
||||||
|
3. |
Длинный |
провод |
с |
током |
|
|
|
|
|||
I = 50 А изогнут в точке О под углом 120° |
|
|
|
|
||||||||
рис.55. Определить магнитную индукцию |
|
|
|
|
||||||||
в точке А, расположенной на биссектрисе |
|
|
|
|
||||||||
этого угла на расстоянии |
|
d = 5 см от |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
точки О. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 3,46·10-4 Тл. |
|
|
|
|
Рис.55 |
4.По однородному прямому проводу, радиус сечения которого R течет постоянный ток I . Найти индукцию магнитного поля этого тока в точке, положение которой относительно оси провода определяется радиус-вектором r . Рассмотреть случаи, когда точка лежит внутри и вне провода.
5.По плоскому контуру из тонкого провода течет ток
I 1 А. Определить индукцию магнитного поля,
83
создаваемого этим током в точке О (рис. 56,а,б,в). Радиус изогнутой части проводника R 20 см.
|
|
1,5R |
R |
1200 |
R |
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
а) |
б) |
в) |
|
Рис.56 |
|
Ответ:а) 3,1 мкТл, б) 1,73 мкТл, в) 0,82 мкТл.
6.Однослойная катушка (соленоид) имеет длину и радиус сечения R . Число витков на единицу длины n. Найти индукцию магнитного поля в центре катушки, если ток через нее равен I .
7.Катушка длиной 30 см имеет 1000 витков. Найти индукцию магнитного поля внутри катушки, если по катушке проходит ток 2 А. Диаметр катушки считать малым по сравнению с ее длиной.
Ответ: 8,37мТл.
2.2.СИЛА И МОМЕНТ СИЛ, ДЕЙСТВУЩИХ НА ПРОВОДНИК С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. РАБОТА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ КОНТУРА С ТОКОМ
ВМАГНИТНОМ ПОЛЕ
2.2.1.Основные законы и формулы
Закон Ампера
dF I d ,B , dF IBd sin
где dF – сила, действующая на элемент длиной d проводника с током I , помещенный в магнитное поле с
84
индукцией В, d - вектор, совпадающий с направлением тока,
- угол между d и B .
Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор B , а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы Ампера.
Магнитный момент контура с током
Pm nIS ,
где S – площадь контура, n – единичный вектор нормали к поверхности контура, направление которого связано с направлением тока в контуре правилом винта.
Момент сил Ампера, действующий на контур
стоком в магнитном поле с индукцией В
M r,dF Рm ,B ,
где Pm nIS магнитный момент контура с током, |
n |
– |
||||||
единичный вектор нормали к поверхности контура. |
|
|
|
|||||
Вектор |
M перпендикулярен как вектору |
P , |
так |
и |
||||
вектору B , а его модуль равен |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
M Pm Bsin , |
|
|
|
||
где - угол между векторами Pm |
и B . |
|
|
|
||||
|
Магнитный поток (поток вектора B ) |
сквозь |
||||||
произвольную |
поверхность |
S |
– число линий |
магнитной |
||||
индукции, пронизывающих данную поверхность |
|
|
|
|||||
|
|
|
m (B,dS) BndS , |
|
|
|
||
где dS n dS , |
|
S |
|
S |
|
|
|
|
n |
– единичный вектор внешней нормали к |
|||||||
площадке |
dS , |
Bn |
B cos |
– |
проекция вектора |
B |
на |
направление нормали.
Для однородного поля и плоской поверхности
85
m BScos , (B,n).
Единица измерения магнитного потока
m 1Тл 1м2 1Вб (Вебер).
Потенциальная энергия контура с током в
магнитном поле
W (Pm ,B), W Pm B cos ,
где – угол между векторами Pm |
и B . |
Минимум потенциальной |
энергии достигается при |
Pm || B. |
|
Работа сил Ампера при перемещении контура
с током в магнитном поле
а) элементарная работа A IdФ
где dФ BndS – поток вектора магнитной индукции сквозь
поверхность dS ;
б) полная работа
2
A12 Id I( 2 1),
1
где 1 и 2 – значения магнитных потоков через контур в начальном и конечном положениях.
2.2.2. Основные типы задач и методы их решения
1. Определение сил и механического момента сил, действующих на проводник и контур с током
в магнитном поле
Метод решения. Результирующая сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, определяется интегрированием силы Ампера по всей его длине. Проводник разбивается на бесконечно малые элементы длины d ,
находятся проекции вектора элементарной силы dF I d ,B
86
на соответствующие координатные оси, а затем уже проводится их интегрирование. Величина и направление результирующей силы определяются на основе принципа суперпозиции.
Результирующий механический момент сил Ампера, действующий на контур с током в магнитном поле, может
быть определен по формуле
dM r,dF .
Однако, расчет по этой формуле слишком сложен и обычно вращательный момент сил Ампера определяют с
использованием магнитного момента:
M pm,B .
Для достаточно малого плоского контура с током, называемого элементарным, магнитный момент определяется формулой
pm ISn ,
где I – сила тока, S – площадь, ограниченная контуром, n – нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока правилом правого винта.
Нахождение механического момента, действующего на произвольный контур в неоднородном магнитном поле, требует его мысленного разбиения на бесконечно малые элементы длины с последующим интегрированием по всему контуру.
Механический момент определяет поведение контура с током в магнитном поле. Вектор M перпендикулярен как
вектору pm , так и вектору B , а его модуль равен
M pmBsin , где – угол между векторами pm и B .
Следовательно, механический момент стремится повернуть контур с током так, чтобы его магнитный момент
сориентировался в направлении вектора B . В этом случае положение контура будет устойчивым.
87
|
|
Примеры решения задач |
|
|
||||||
Задача |
1. |
В |
одной |
|
|
|
F2 |
|
||
плоскости |
|
с |
бесконечно |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dF |
||||||
длинным прямым проводом, по |
|
|
2 |
|||||||
|
|
dx |
3 |
|||||||
которому |
|
течет |
ток |
|
I0 , |
I0 |
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
F3 |
||||||
расположена |
прямоугольная |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
||||||
рамка, по которой течет ток |
I . |
|
F1 |
B |
||||||
|
I |
|||||||||
Направления |
этих |
токов, |
и |
|
a |
|
4 |
|||
размеры рамки представлены на |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
b |
||||||
рис.57. |
Определить |
силы |
|
|
|
F4 |
|
|||
взаимодействия прямого тока с |
|
|
|
Рис.57 |
||||||
каждой из сторон рамки и |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
результирующую силу, действующую на рамку со стороны |
||||||||||
магнитного поля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение Вектор индукции магнитного поля, создаваемого
бесконечно длинным проводником с током, перпендикулярен плоскости рамки и равен
B 0I0 , 2 x
где x – расстояние от проводника с током до рассматриваемой точки.
Сила, с которой это поле действует на каждую из сторон рамки, может быть найдена путем суммирования элементарных сил Ампера
dF I d ,B .
Учитывая то, что в пределах каждой из сторон векторы d и B взаимно перпендикулярны (sin 1), а элементарные силы параллельны друг другу, результирующая сила,
действующая на каждую из сторон, |
определится |
интегрированием |
|
88 |
|
FdF I Bd .
Стороны рамки 1-2 и 3-4 параллельны прямому проводу и находятся от него на расстояниях соответственно r x0 и r x0 b. Величина индукции B для каждой
стороны принимает определенное значение, поэтому, вынося ее из под интеграла и проведя интегрирование, получим
|
|
|
0 I0I |
a |
0I0Ia |
|
|
||
|
F1 |
|
0 d |
|
|
, |
|
||
|
2 x0 |
|
|
2 x0 |
|||||
|
|
0I0 I |
a |
|
0I0 Ia |
||||
F3 |
|
0 d |
|
|
. |
||||
2 (x0 b) |
2 (x0 b) |
||||||||
Силы F1 |
и F3 |
направлены в противоположные |
|||||||
стороны (рис. 56). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Силы, действующие на стороны 2-3 |
и 4-1, равны по |
||||||||
модулю и также |
противоположны по направлению. Вдоль |
каждой из сторон индукция поля непрерывно изменяется. Нахождение этих сил осуществляется интегрированием
|
|
I |
I x0 b dx |
|
I |
I |
|
|
|
x b |
||||||||||||||
F2 F4 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
ln |
|
0 |
. |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Результирующая сила, действующая на рамку в |
||||||||||||||||||||||||
магнитном поле тока I0 , равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
F F1 F3 F2 F4 F1 F3 . |
||||||||||||||||||||||||
Для модуля силы получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
I |
0 |
Ia |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
x0 |
|
b |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
Задача 2. По длинному проводнику и параллельной ему тонкой ленте, лежащими в одной плоскости, текут постоянные токи I1 и I2 . Расстояние между проводником и
89
лентой a, ее ширина b . |
Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
силу взаимодействия |
между |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ними в расчете на единицу их |
I2 |
|
|
|
|
|
|
F |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
длины. |
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|||||
Для |
определения |
силы |
|
b |
|
|
|
|
a |
|||||
магнитного |
взаимодействия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
проводника |
и ленты сначала |
|
|
|
|
Рис.58 |
|
|||||||
вычислим |
индукцию |
|
|
|
|
|
||||||||
магнитного |
поля тока |
I2 на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удалении от него на расстоянии a, где расположен ток I1 . С этой целью разделим площадь ленты на узкие полосы шириной dx, в пределах которых магнитную индукцию можно считать постоянной (рис.58). Величину индукции, создаваемую узкой и длинной полоской, на расстоянии x до проводника с током I1 , найдем по формуле
|
dB |
0dI |
|
0 |
|
|
I2dx |
. |
|
||||||||||
|
|
2 x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
b |
|
||||||||
Магнитная индукция поля, создаваемая всей полоской, |
|||||||||||||||||||
перпендикулярна току I1 (см. |
рис.58) и |
определяется |
|||||||||||||||||
интегралом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
0 |
I |
2 |
a b dx |
|
0 |
I |
2 |
|
|
a b |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|||||||||
2 b |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||||||||
|
|
x |
2 b |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, в соответствии с законом Ампера, магнитная сила, действующая на единицу длины провода с током I1 , равна
Fед 0I1I2 ln a b . 2 b a
Направление силы совпадает с осью Ox .
Задача 3. В поле длинного прямого проводника с током I0 находится контур с током I (рис.59). Плоскость
90