Учебное пособие 800316
.pdfгде Ix – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси.
|
E |
|
|
M x |
. |
|
|
Отсюда находим |
|
I x |
Подставив это выражение в |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.4), находим напряжение |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
M x y |
. |
(5.6) |
|
|
|
|
|
I x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Как видим, возникающие при чистом изгибе балки нор-
мальные напряжения изменяются по высоте сечения по линей-
ному закону, достигая наибольшего значения в наиболее уда-
лѐнных от нейтрального слоя точках.
5.1.5. Напряжения при поперечном изгибе.
При таком изгибе наряду с изгибающим моментом в попе-
речных сечениях действуют поперечные силы, а, следователь-
но, и касательные напряжения. Это приводит к искажению по-
перечных сечений. Однако, как показывают расчѐты и под-
тверждают эксперименты, эти искажения не оказывают замет-
ного влияния на распределение нормальных напряжений и по-
этому расчѐт последних и при поперечном изгибе выполняют по формуле (5.6), точной, когда поперечные сечения при изги-
бе балки остаются плоскими. Впрочем, эта формула остаѐтся точной и в случае постоянной поперечной силы, поскольку при этом искривление всех сечений происходит одинаково.
Перейдѐм к определению касательных напряжений.
Выделим из балки бесконечно малый элемент двумя близ-
кими поперечными и одним продольным сечением как это по-
казано на рис.5.7. В левом сечении действует нормальная сила
N, являющаяся равнодействующей нормальных напряжений на этой части сечения и касательных напряжений. В правом сечении действует нормальная сила N + dN (здесь мы учиты-
ваем, что изгибающий момент, а, следовательно, и нормальные напряжения могут изменяться по длине балки) и касательные напряжения.
Рис. 5.7
Если, как и при рассмотрении чистого изгиба, пренебречь давлением между продольными слоями, то в продольных се-
чениях мы получим только касательные напряжения. По зако-
ну парности касательных напряжений эти напряжения равны касательным напряжениям в поперечном сечении на уровне рассматриваемого продольного сечения.
Примем, что касательные напряжения равномерно распре-
делены по ширине сечения b. Тогда, проектируя все дейст-
вующие на элемент силы на продольную ось z, получаем урав-
нение равновесия
N dN N b dz 0 ,
откуда находим
1 dN b dz .
Нормальная сила
N dF
F * |
, |
|
где F*- площадь ―отсечѐнной‖ части сечения (она выделена на рис. 5.7,б штриховкой). Подставив в это равенство формулу
(5.6), получаем
|
N |
M x S x* |
|
|
, |
||
|
|
||
|
|
I x |
|
где S x* |
ydF - статический момент отсечѐнной части |
||
|
F |
|
|
сечения относительно нейтральной оси x. Дифференцируя и используя теорему Журавского, находим
dN |
|
Sx* dM x |
|
Sx* |
Q |
||
|
|
|
|
|
|
||
dz |
|
I x dz |
|
I x |
Таким образом,
QSx* |
|
||
I |
b |
. |
(5.7) |
x |
|
|
|
Нами выведена так называемая формула Журавского, с
помощью которой можно получить распределение касатель-
ных напряжений по высоте поперечного сечения.
В верхней точке сечения Sx* 0, в нижней точке сечения
также Sx* 0, т.к. ось x центральная. Поэтому в этих точках всегда 0.
5.1.6. Пример Определим касательные напряжения при изгибе балки
прямоугольного сечения (рис. 5.8). В этом случае b = const,
I x bh312. Для определения касательных напряжений в точ-
ках, отстающих от нейтральной оси на расстояние y1 необхо-
димо определить статический момент Sx* отсечѐнной части,
т.е. части сечения, в которой |
h |
|
y |
y1 : |
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S * |
F * y* |
b |
h |
y |
1 |
|
h |
y |
b |
|
h2 |
y 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
c |
2 |
1 |
2 |
2 |
|
1 |
2 |
4 |
1 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
Здесь F *, yc* - площадь и координата центра тяжести отсечѐн-
ной части.
Рис. 5.8
Следовательно,
6Q |
|
h2 |
y 2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
bh3 |
4 |
1 |
||
|
Наибольшего значения касательное напряжение достигает на нейтральной оси при y1= 0
3 Q
max 2 bh .
На рис. 5.8 показана эпюра касательных напряжений в прямоугольном поперечном сечении.
5.1.7. Расчѐты на прочность при изгибе
Как мы видели, при указанных выше допущениях при из-
гибе в поперечных сечениях действуют нормальные и каса-
тельные напряжения, а в продольных сечениях, перпендику-
лярных к оси y, - касательные напряжения.
Однако, в связи с малостью касательных напряжений по сравнению с нормальными, расчет на прочность при изгибе выполняют по нормальным напряжениям. Это оправдывается и тем, что нормальные напряжения достигают максимума там,
где отсутствуют касательные напряжения, а наибольшие каса-
тельные напряжения возникают в средней части сечения, где малы нормальные напряжения.
Наибольшее нормальное напряжение в соответствии с
формулой (5.6) равно
max |
M x ymax |
. |
|
I x |
|||
|
|
Величину
Wx yI x
max
называют осевым моментом сопротивления. У прямоугольного поперечного сечения шириной b и высотой h
ymax h2, I x bh312
и поэтому
bh2 Wx 6
У кольцевого поперечного сечения с наружным диаметром
D и внутренним диаметром d величина
ymax |
D / 2, I x |
D4 1 |
4 |
, где |
d D , |
64 |
|
||||
|
|
|
|
|
поэтому
Wx |
D3 1 |
4 |
. |
32 |
|
||
|
|
|
У сплошного круглого сечения
D3
Wx 32 .
В таблицах сортамента прокатной стали приведены значе-
ния моментов сопротивления относительно главных централь-
ных осей поперечных сечений уголков, швеллеров и двутав-
ров.
Таким образом, условие прочности при изгибе можно за-
писать в виде
max |
|
|
|
M x |
. |
|
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
Wx |
||
|
|
|
|
|
В некоторых случаях касательные напряжения могут ока-
зывать заметное влияние на прочность. Примером тому могут служить короткие балки, балки высокого и узкого профиля и деревянные балки. Как мы видели, в продольных сечениях балки, перпендикулярных оси y, возникают касательные на-
пряжения. Дерево же плохо сопротивляется этим напряжениям
– сдвиг продольных слоѐв дерева относительно друг друга осуществляется при сравнительно низких напряжениях. По-
этому при расчѐте таких балок производится также проверка прочности по касательным напряжениям
max .
Допускаемое касательное напряжение определяет по величине предельного касательного напряжения, устанавли-
ваемого испытанием дерева на скалывание.
5.2. Сложное сопротивление
5.2.1. Косой изгиб