Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800292

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Далее решим уравнение

	T k 2a2 T 0 .
			n
Получим
T (t) A e a2kn2t				A e		a2n2 2t
T (t) A e a2kn2t				A e			l2 .
n		n			n
Тогда
		a2n2 2t			nx
un (x,t) Tn (t) Xn (x) an e			l2	sin	nx		, an An Dn , n .
un (x,t) Tn (t) Xn (x) an e				sin	l		, an An Dn , n .
					l

Общее решение получим, как и ранее, суммированием всех un по

n . Каждое из полученных решений удовлетворяет нулевым граничным условиям (5.24), поэтому и полученный ряд

		a2n2	2t		nx
u(x,t) un (x,t) an e		l2		sin		(5.30)
					l
n 1	n 1

также удовлетворяет условиям (5.26).

Подставляя начальное условие (5.25), получим

	a2n2 2 0			nx		nx
u(x, 0) f (x) an e		l2	sin		an sin		.
				l		l
n 1					n 1

Но тогда an есть коэффициенты представления функции f (x) на интервале (0,l) в виде ряда Фурье по синусам. Откуда

		l
an	2	f (x) sin n x		dx .
	l	0	l
		0

Таким образом, окончательно имеем, что решение краевой задачи (5.24) – (5.26) находится в виде ряда

	a2n2		2t		nx
u(x,t) an e		l 2		sin	nx	,
u(x,t) an e				sin	l	,
n 1					l
где

	2	l	n x
an		f(x) sin		dx .
	l
		0	l

5.3. Примеры решения типовых задач

Пример 5.1. Найдите решение следующей задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности:

			2		(x, t) ( x , t 0),
u		(x, t) a u			(x, t) ( x , t 0),
	t			xx
u(x, 0) f(x),

где
							const,	x [l ,l	],
		f	U				const,	x [l ,l	],
		f	(x)			0	0,	1 2
							0,	x [l1,l2].

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (5.19). Тогда

( x)2

(x )2

u(x,t)

4a2t

e 2 a

d .

2a t

Перепишем решение, используя (5.20) и (5.21). Для этого сделаем

. Тогда

замену

x a

2t , d a

2t d , откуда

(x )2

x l2

x l1

2 a 2t

U0a

a 2t

U0a

e 2

2a t

x l

a 2t

x l1

x l2

a 2t

e 2 d U0

e 2 d

e 2

x l

a 2t

x l2

a 2t

Таким образом, окончательно имеем:

u(x,t) U

x l1

x l2

a 2t

График данной функции изображен на рис. 5.2.

Рис. 5.2. График решения задачи 5.1 при l1 0, U0 a l2 1

Пример 5.2. Найдите решение следующей задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности:

	(x, t) 4uxx(x,		t) ( x , t 0),
ut	(x, t) 4uxx(x,		t) ( x , t 0),

u(x, 0) f(x),

где
		1	x2,	x [ 1, 1],
	f(x)
	f(x)		0,	x [ 1, 1].
			0,	x [ 1, 1].

Решение. Для решения задачи, как и ранее, воспользуемся формулой (5.19), где a 2. Тогда

( x)2

(x )2

2 2 2t

u(x,t)

f( )e

4a t

) e

d .

2a t

. Тогда

Сделаем замену

2t , d 2

2t d ,

откуда

(x )2

x 1

1 1

2 2

2 2t

1 (1 ) e

x 1

1 (x 2 2t)

e 2 d

x 1

1 x

2 2

1 x

e 2

4 x 2t

8 t

2 x

x 1

2 2t

1 x

e 2

2 e 2

e 2

x 1

2 x 1

x 1

2 2t

x 1

2 2t

2 2 2t

1 x

e 2

e 2 d

x 1

2 2t

x 1

2 2t

2 2 2t

1 x

de 2

e 2 d

x 1

2 2t

x 1

2 2t

4x 2t

e 2

e 2 d

x 1

2 2t

x 1

2 2t

2 2 2t

4 t(

t x)

1 8t x

x 1

2 2t

x 1 2

t 1 x

x 1

e 4 t

4 t

1 8t

x 1

2 2t

1 8t

x 1

2 2t

(x 1)2

(x 1) e

16t

(x 1) e 16t

1 8t

x 1

2 2t

(x 1) e 16t

16t (x 1) e 16t 8t

16t

1 8t

x 1

2 2t

x2 1

e 16t

(x 1) e8t

(x 1) e 8t

8t e

e8t e 8t

16t

8t 1

x 1

2 2t

Используя тот факт, что

e e

sh ,

ch ,

окончательно получим решение:

x2 1

u(x,t) 4

e 16t

xsh

8t 1

x 1

2 2t

График данной функции имеет следующий вид (рис. 5.3):

Рис. 5.3. График решения задачи 5.2

Пример 5.3. Решите следующую краевую задачу для одномерного уравнения теплопроводности:

u	t	4u	xx	, (0 x 1,		t 0),
	t		xx
u(x,0) sin x,
u(0,t) u(1,t) 0.

Решение. a 2, l 1, f(x) sin x . Тогда
1					1
an 2 sin x sinn x					dx (cos (n 1)x cos (n 1)x) dx
0					0
		1				1
	cos (n				1)x dx cos (n 1)x dx
		0				0

cos (n 1)x dx sin (n 1)x

(n 1)

1		n 1,
cos (n 1)x dx	1,	n 1,
cos (n 1)x dx		n 1
0	0,	n 1

В результате по формуле (5.30) имеем u(x,t) e 4 2t sin x . График данной функции имеет следующий вид (рис. 5.4):

Рис. 5.4. График решения краевой задачи 5.3

ГЛАВА 6. РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Найдите решение задачи Коши для однородного одномерного волнового уравнения (во всех задачах

x , t 0).

u (x,t) 8u (x,t),

tt xx

1.u(x,0) sin2x,ut(x,0) cos3x.

	u	tt	(x,t) 3u		xx	(x,t),
		tt			xx
				5x
3.	u(x,0)						,
3.	u(x,0)						,
				1 x2
	ut(x,0) 3.

utt(x,t) 7uxx(x,t), 5. u(x,0) 2x2,

ut(x,0) cos7x.

utt(x,t) 2uxx(x,t),

7. u(x,0) 9x ,ut(x,0) 11x.

u (x,t) 3u (x,t),

tt xx

9.u(x,0) sin2x,ut(x,0) sin 4x.


	utt(x,t) 14uxx(x,t),
2.	u(x,0) e x2				,

			2
	u	(x,0)	2				.
	u	(x,0)					.
	t		1 x2

	utt(x,t) 5uxx(x,t),
4.	u(x,0) e 3x2					,

				2x 1
	u	(x,0)		2x 1				.
	u	(x,0)						.
	t			3 x2

u (x,t) 6u (x,t),

tt xx

6.u(x,0) cos7x,ut(x,0) sin5x.

	u (x,t) 6u (x,		t),
8.	tt	xx
	u(x,0) cos3x,

	ut(x,0) cos7x.

u (x,t) 13u				(x,t),
tt			xx
10. u(x,0) e3x			,

	x	2	.
ut(x,0)	x		.

u (x,t) 11u (x,t),

tt xx

11.u(x,0) 3x2,ut (x,0) e 2x.

u (x,t) 0,5u (x,t),

tt xx

13.u(x,0) sin x,ut (x,0) cos x.

u (x,t) 0,2u (x,t),

tt 3 xx

15. u(x,0) x ,ut(x,0) 3x.

u (x,t) u (x,t),

tt xx

17.u(x,0) cos3x,ut(x,0) 1.

u (x,t) 13u (x,t),

tt 2x xx

19.u(x,0) 3e ,ut(x,0) 4.

u (x,t) 3u (x,t),

tt xx

21.u(x,0) 1 cos4x,ut(x,0) 1 sin3x.

u	(x,t) 2 u		(x,t),
tt		xx

23.u(x,0) 2 sinx,ut(x,0) 3cos2x.

	u	(x,t) 10u		(x,t),
12.	tt		xx
12.	u(x,0) cos9x,

ut(x,0) 2x.

u (x,t) 0,3u (x,t),

tt xx

14.u(x,0) cos2 x,ut(x,0) sin 3 x.

u (x,t) 0,1u (x,t),

tt 2x xx

16.u(x,0) e ,ut(x,0) cos3x.

u (x,t) 3u (x,t),

tt xx

18.u(x,0) sin2x,ut(x,0) 2.

u (x,t) 2u (x,t),

tt xx

20.u(x,0) 1 sin2x,ut (x,0) 1 cos3x.

u	tt	(x,t) 7u	xx	(x,t),
	tt		xx
22. u(x,0) 1 e2x,

					3x		.
ut(x,0) 1 e							.
u
u		(x,t) 3 u					(x,t),
	tt					xx

24.u(x,0) 4 cos3x,ut (x,0) 3.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20221.33 Mб4Учебное пособие 800288.pdf
#
01.05.20221.34 Mб3Учебное пособие 800289.pdf
#
01.05.2022316.82 Кб2Учебное пособие 80029.pdf
#
01.05.20221.34 Mб9Учебное пособие 800290.pdf
#
01.05.20221.35 Mб5Учебное пособие 800291.pdf
#
01.05.20221.35 Mб7Учебное пособие 800292.pdf
#
01.05.20221.35 Mб53Учебное пособие 800293.pdf
#
01.05.20221.35 Mб8Учебное пособие 800294.pdf
#
01.05.20221.35 Mб1Учебное пособие 800295.pdf
#
01.05.20221.36 Mб1Учебное пособие 800296.pdf
#
01.05.20221.37 Mб8Учебное пособие 800297.pdf