Учебное пособие 800180
.pdfЗадача №8. Вычислить определенные интегралы.
1(x2 2)dx
8.1.0 (x3 6x 5)2 .
13x arctg 2 x
8.3.dx.2
0 |
1 x |
|
2x3 dx
8.2.0 x 2 4.
4
8.4. cos 6 x dx.
0
1
e |
|
2 |
|
ln |
2 |
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||||
8.5. |
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x |
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x |
dx. |
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|||
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x |
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1 |
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ln 3 |
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e x |
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8.7. |
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dx. |
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||||
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2 x |
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|||||||
ln 2 |
e |
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1 |
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|||||
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|||
e |
|
ln x |
|
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|||||
8.9. |
1 |
|
dx. |
|
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||||||||
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||||||||
1 |
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|
x |
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8.11. / 4 |
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sin x cos x |
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dx. |
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(cos x sin x) |
2 |
|||||||||||
0 |
|
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||||||||||
|
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|
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3 |
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|||
x e x |
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8.6. |
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|
dx. |
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||||
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x |
2 |
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|||||||
2 |
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3 x arctg 2 x |
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8.8. |
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dx. |
||
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1 x |
2 |
|||||||||||
0 |
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||||||||
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1 |
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1 |
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2 |
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1 e x |
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8.10. |
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dx. |
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|||||||
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|
x |
2 |
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||||||||||
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1 |
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|||
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4 |
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3x3 dx
8.12.0 x 4 1.
4x 2 cos x
8.13.x 2 4sin x dx.
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8.15. |
1/ 2 |
(arccos x)3 |
1 |
dx. |
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|||||
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|||||
|
0 |
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1 x2 |
31 x
8.17. dx.
1 x (x 1)
|
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8.19. |
1/ 2 |
arcsin 2 x |
1 |
dx. |
|||
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|||||
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|
|||||
|
0 |
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1 x2 |
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ln 4 |
|
e x |
|
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||||
8.14. |
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|
dx. |
|
e |
2 x |
|
2 |
||||||
|
ln 3 |
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||||||
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|||
4 |
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|
3 |
|
xdx |
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|||
8.16. |
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|
. |
|
|
||
x |
4 |
|
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||||
|
0 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 3cos x
8.18.x 2 6 sin x dx.
4tg 2 x 5
8.20.0 cos 2 x dx.
9
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3 |
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3 arctgx x |
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2 |
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|
x |
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|||||||||||||||||||||||||||
8.21. |
|
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dx. |
8.22. |
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|
dx. |
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||||
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1 x |
2 |
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|||||||||||||||||
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x (x 1) |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
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|
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|
1 |
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|
|
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|
||||||||||||||||||
|
1 |
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|
|
xdx |
|
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|
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|
|
|
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|
|
1 |
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(x2 2x)dx |
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||||||||||||||||
8.23. |
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|
. |
|
|
|
|
|
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|
8.24. |
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. |
||||||||||||||||
x4 |
4 |
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(x3 |
|
3x2 |
5)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
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|
0 |
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ln 3 |
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e x |
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4 |
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tgx |
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|||||||||||||
8.25. |
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dx. |
8.26. |
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|
dx. |
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|||||||||||
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cos |
2 |
x |
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ln 2 |
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e2 x 1 |
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6 |
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ln |
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e x |
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1 |
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|||||||
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3 |
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xdx |
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||||||||||
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8.28. |
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|||||||||||||
8.27. |
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|
dx. |
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|
. |
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|||||||||||||
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|
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|
2 x |
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|||||||||||||||||||||
|
ln |
|
|
e |
|
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|
1 |
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|
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|
|
0 |
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|
x4 |
1 |
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|||||||||||||||||
|
6 |
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1 |
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||
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3 |
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|
|
xdx |
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|
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(x 3)dx |
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||||||||||||||||
8.29. |
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|
. |
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8.30. |
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. |
|||||||||||||||||||||
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(x |
2 |
6x 5) |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||
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x 4 1 |
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|
0 |
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|
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||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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Задача №9. Вычислить определѐнные интегралы: |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
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2 |
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9.1. (x 2)e2 x dx. |
9.2. |
x 1 ln(x 1)dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
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1 |
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|
2 |
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|
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|
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|
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9.3. (x 1)2 ln(x 1)dx. |
9.4. (x x2 ) sin 2xdx. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.5. x 2 e x dx. |
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|
9.6. x ln 2 x dx. |
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|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.7. (x2 |
|
6x) sin 3xdx. |
9.8. x 2 e4 x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8 |
|
ln 2 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.10. x 2 cos x dx. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.11. (x2 x) cos 4xdx.
0
2
9.13. (x2 x 2) sin xdx.
0
0
9.15. (x2 x) cos 2xdx.
2
1
9.17. (x 2 x)e x dx.
0
9.19. (x2 2x 1) cos 3xdx.
0
0 |
|
9.21. (x 2 |
2)e x / 2 dx. |
2 |
|
|
|
2 |
|
9.23. (x2 |
2) cos 2xdx. |
0 |
|
1 |
|
9.25. (x2 |
x)e3x dx. |
0 |
|
/ 2
9.27.(x2 4x) sin 3xdx.
0
9.29. (x2 x 7) cos 2xdx.
0
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
9.12. (x 2 |
1) cos 3xdx. |
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.14. (x2 |
3x) sin xdx. |
||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
9.16. (x2 |
4x) cos 2xdx. |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
9.18. (x2 |
2x)e2 x dx. |
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.20. (x2 |
1) cos 4xdx. |
||||
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
9.22. x 2 e x dx. |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
9.24. (x |
2 |
|
|||
|
1) cos |
|
dx. |
||
|
|
||||
0 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
9.26. (x2 |
x)e 3x dx. |
||||
0 |
|
|
|
|
|
/ 4
9.28.(x2 3x) sin 2xdx.
0
9.30. (x2 4x) cos 2xdx.
0
11
Задача №10. Вычислить определенные интегралы:
2
10.1. 4 x 2 dx.
0
4
10.3. 16 x2 dx.
0
6 |
|
x 2 9 |
|
|
|
10.5. |
|
|
|
|
dx. |
|
x |
2 |
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5dx
10.7.0 x 25 x 2 .
3
10.9. 9 x2 dx.
0
4dx
10.1.0 (16 x2 )3 / 2 .
3
10.13. x2 9 x2 dx.
3
|
2 |
|
x 2 dx |
|
|
|
10.15. |
|
|
|
|
. |
|
(x |
2 |
4) |
1/ 2 |
|||
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4dx
10.17.0 x16 x 2 .
39 x2
10.19.dx.
0x
10.21.2 2 8 x2 dx.
0
|
3 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
10.2. |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
(1 x 2 )3 |
|||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x2 4 |
|
|
|
|
|||
10.4. |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||
|
|
|
x |
2 |
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.6. 66 x 2 dx.
0
1
10.8. x x2 dx.
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 x 2 |
|||||
10.10. |
|
|
|
|
dx. |
|
x |
2 |
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
4
10.12. x 2 1 4x2 dx.
0
2dx
10.14.x 4 x 2 .0
1
10.16. 2 x2 dx.
0
|
3 |
|
|
dx |
|
|
|
|
||
10.18. |
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
(4 x2 )3 |
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|||
10.20. |
|
|
|
dx. |
||||||
|
|
|
x |
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3dx
10.22.0 (9 x2 )3 / 2 .
12
10.23. 55 x 2 dx.
0
3 |
|
dx |
|
|
|
10.25. |
|
|
. |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
x |
9 x 2 |
||||
0 |
|
|
2dx
10.27. .
0(16 x 2 )3
5
10.29. x2 25 x2 dx.
0
2
10.24. 4 x2 dx.
0
4
10.26. x2 16 x2 dx.
0
|
|
|
|
|
|
|
|
10.28. 2 |
|
|
x 2 dx |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
4 x 2 |
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
10.30. |
|
9 x2 dx. |
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
Задача №11. Вычислить площадь фигур, ограниченных графиками функций:
11.1.y 2x2 3, y x2 x 1.
11.2.y x2 3 , y x 1.
11.3.y x arctg x, x 1, x 3, y 0.
11.4.y 2, y x x2 .
11.5. y |
x |
, |
y 0, |
x 1. |
1 x2 |
11.6.y (x 2)2 , y 3x 6.
11.7.x 2y 2 3, x y2 y 1.
11.8.x y 2 3, x y 1.
11.8.y x9 x2 , y 0, 0 x 3 .
11.9.x 2, x y y 2 .
11.10. |
y sin |
2 |
x, |
y 0 |
|
x |
|
|||
|
0 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.11. |
y |
e x |
, y 0, x 1, x 4. |
|
||||||
x 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
11.12.y cos2 x, y 0 0 x .
4
11.13.y (x 1)2 , y 3x 3.
11.14.y x4 x2 , y 0, 0 x 2 .
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||
11.15. y |
|
|
|
|
|
, y 0, x 1. |
|
|
|
|
||||
1 x3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, y 0, 0 x 2 . |
|
|
|||||
11.16. y x |
|
4 x2 |
|
|
||||||||||
11.17. y |
|
|
|
|
x |
, y 0, x 1. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x2 1 2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
11.18. |
|
y cos x esin x , y 0, |
x 0, x |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11.19. y |
x 1, y (x 1)3 . |
|
|
|
|
|||||||||
11.20. y |
|
1 |
|
|
|
, y 0, x |
, |
x 0 . |
|
|
||||
|
cos x |
|
|
|||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
11.21. y x |
ex2 , y 0, x 1. |
|
|
|
|
11.22.y (x 3)2 , y 7x 11.
11.23.y e2 x , y e 2 x , x 1.
11.24.y x2 , y 2 x. .
11.25.y (x 2)2 , y 4 x.
11.26. |
y cos |
3 |
x sin x, |
y 0 |
|
x |
|
|
||||||
|
0 |
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
y 0, 0 x 5 . |
|
||||||||||
11.27. y x 25 x2 |
, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.28. |
y x cos(x2 ), |
y 0 |
0 |
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.29. xy 3, 2x y 7 0.
11.30. y |
e |
|
x |
|
, y 0, x 1, x 4. |
|
|
|
|
|
|||
x |
||||||
|
|
|
|
14
Задача №12. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями, уравнения которых заданы в полярной системе координат:
12.1. 2sin 2 . 12.3. 2(1 cos ) .
12.5. |
|
2 |
|
sin . |
|||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
12.7. |
1 |
sin . |
|||||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
12.9. 1 |
|
|
2 cos . |
12.1. |
|
2 |
|
sin . |
2 |
|
|||
|
|
|
12.13. sin 6 .
12.15. 2(sin cos ) .
12.17. 2(1 sin ) .
12.19. sin 4
12.21. 2 sin . 12.23. 2 cos .
12.25. 3(1 sin ) .
12.27. 3 sin .
12.29. cos 6 .
12.2.3cos 2 .
12.4.2(cos sin ) .
12.6.acos 2 .
12.8.2sin 3 .
12.10.23 cos .
12.12.2(1 cos ) .
12.14.12 cos .
12.16.2cos 3 .
12.18.22 sin .
12.20.23 cos .
12.22.1 2 cos .
12.24.cos 4 .
12.26.22 cos .
12.28.22 cos .
12.30.3 sin .
15
Задача №13. Вычислить длины дуг, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат
13.1. y ln(x 1), 1 x 5 .
3
13.2. y x 2 0 x 4 .
13.3.y 1 ln cos x, 0 x .
6
13.4.y e x 13, ln 15 x ln 24 .
13.5. y 1 ln(x2 1) , |
3 x 4 . |
|||||
13.6. |
|
|
x |
|
|
|
y ln sin x , |
|
|
. |
|||
|
|
3 |
|
|
2 |
|
xx
13.7.y e2 e 2 , 0 x 2 .
13.8.y ln cos x 2 , 0 x .
6
13.9.y 2 ex , ln 3 x ln 8 .
13.10.y 6 ex , ln 8 x ln 15 .
|
|
|
|
x |
8 |
|
13.11. y arccos x |
1 x |
2 |
||||
|
, 0 |
|
. |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
9 |
|
13.12. y 1 ln sin x, |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13.13. y arcsin |
x |
|
x x |
|
2, |
|
|
|
x 1 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
ln 2x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13.14. y x |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
x 1 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13.15. y e |
2 x |
13 , |
ln15 |
x |
ln 24 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
, 2 |
|
|
|
|
6 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
13.16. y x |
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13.17. y arccos |
|
x |
|
x x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
0 |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
13.18. y |
1 ex e x |
, 0 x 3 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
13.19. y arcsin x |
|
|
1 x |
|
, |
0 x |
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13.20. y ln |
|
|
, |
|
3 x |
8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13.21. y ln cos x 0 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 4
13.22.y 1 ln(x 9) , 1 x .
3
13.23.y 2 x 1 3 , 1 x 5 .
13.24. y |
x2 |
|
ln x |
, 1 x 2 . |
|
|
|||
4 |
2 |
|
13.25. y arccos x 1 x2 1, 0 x 16 .
13.26. y |
3 e2 x e 2 x |
, 0 x 3 . |
|||||
|
|
|
|||||
4 |
|
|
|
|
|||
13.27. y ln(x2 1) , |
2 x 3 . |
||||||
13.28. y 2 x 2 3 , |
2 x 2 . |
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
13.29. y 2 e |
|
, ln 3 x ln 8 . |
|||||
2 |
|||||||
13.30. y arcsin x 1 |
|
, 0 x 3 . |
|||||
1 x2 |
Задача №14. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси координат Ox (варианты №№ 1- 15), и оси Oy (варианты №№ 16-30)
17
14.1.y x x2 , y 0.
14.2.y sin 2 2x, y 0, x 4 .
14.3.x2 y2 1.
14
14.4.y 2 x2 , y 1.
14.5.y e x , x 0, y 0, x 1.
14.6.x3 y 1 2 , x 0, y 0.
14.7.y cos 2 x, y 0, x 6 .
14.8.y (x 1)3 , y x 1 .
14.9.y 3 x2 , y 2.
14.10.y 2x x2 , y 0.
14.11.y sin 2 3x, y 0, x 12 .
14.12.y ex , x 0, y 0, x 1.
14.13.y x3 , y x.
14.14.x2 y2 1.
14
14.15.y 4x x2 , y 0.
14.16.y (x 2)2 , x 0, y 0.
14.17.y2 4 x, x 0.
14.18.y x3 , x 0, y 8.
14.19. y (x 3)2 , x 1, |
y 0. |
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
14.20. |
y arcsin |
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, y arcsin x, y |
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. |
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2 |
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2 |
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14.21.y x2 2x 1, x 2, y 0.
14.22.y x3 , x 0, y 1.
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