Учебное пособие 800179
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4x2 |
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56sin 56x |
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10 |
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x 3 1) , |
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. |
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ecos x 1 |
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x |
1 |
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в) |
y |
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4x |
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б) y sin ln 2 sin 2 17x , 17 cos 34x
|
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9x2 1) , г) y |
. |
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e |
x 2 |
1 |
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, |
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г) y x (1 x)arctg x.
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(2x2 3) |
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б) y ctg 3 |
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x |
. |
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в) y 4x(arcsin 4x)2 2 |
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1 16x |
2 arcsin 4 8x , г) |
y x |
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4 x2 |
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4arcsin |
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2 |
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x 1 |
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||||||||||||||||||
4.20. а) |
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14sin14x |
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4x2 2 |
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в) y 8x3 |
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x 1. |
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3 |
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x2 x |
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4.21. а) |
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, |
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б) |
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, |
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x2 |
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18cos18x |
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x 2 2 |
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x 1 |
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||||||||||
в) y x3 |
arccos x |
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1 x 2 |
, |
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г) |
y arctg |
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. |
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3 |
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x |
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4.22. а) |
y |
3x5 8x2 |
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б) y tg ln 7 |
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sin 2 |
5x |
, |
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||||||||||||||||||||||||
9(x2 |
3) |
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5cos10x |
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x |
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32sin 32x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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12
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1 4x 2 |
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в) y 4 ln |
|
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x |
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, |
|
г) y 3 |
|
|
x 2 |
. |
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|||||||||||||
|
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|
x 2 |
|
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|||||||||||||
1 1 4x 2 |
|
|
|
x 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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||||||||||||
4.30. а) y |
x2 |
4 x 2 |
|
, |
|
|
|
|
б) y sin |
|
|
sin 2 7x |
, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
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|
|
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|||||||||||||||||
4 |
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|||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||
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5 1 2 x |
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10 |
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7 cos14x |
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||||||||||||
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||||||||
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x |
arcsin x |
|
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|||||||||||||||||||||
в) y |
ln |
1 x 2 |
, г) y ln(cos 2 |
x 1 cos 4 x ) . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||
Задача № 5. Найти производную |
y |
с помощью лога- |
|||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
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|
|
рифмического дифференцирования.
5.1 |
y xarcsin x . |
5.3. |
y (sin x)ln x . |
5.5. |
y (ln x)3x . |
5.7. |
y (ctg3x)2x 1. |
5.9. |
y (tgx)ln 4 x . |
5.11. |
y (xsin x)sin x . |
|
5.13. |
y (x3 |
4)tgx . |
5.15. |
y (x2 |
1)cos2 x . |
5.17. |
y (sin x) x ln x . |
|
5.19. |
y (x3 2)tgx. |
|
5.21. |
y (tgx)x ln x . |
|
5.23. |
y (x2 |
1) x cos x . |
5.25. |
y (x sin x)x sin x . |
|
5.27. |
y (tgx)x ln 4 x . |
|
5.29. |
y (ctgx)x ln 2 x . |
5.2.y xarcctgx .
5.4.y (arcsin x)ex .
5.6.y xarctgx .
5.8.y (ln x)x 5 .
5.10.y (cos 5x)tgx .
5.12.y (x 5)ln x .
5.14.y xsin2 x .
5.16.y (x4 5)ctgx .
5.18.y (2x2 1)cos x .
5.20.y (ln x)x2 5x .
5.22.y xarccos x .
5.24.y x2x 5x.
5.26.y (x cos x)x sin x .
5.28.y (x8 1) x tgx .
5.30.y (cos 2x)ln cos2 x .
13
Задача № 6. Найти производную yx параметрически заданной функции.
|
t 2 1 |
|
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|||||
x |
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|
, |
|
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|
t 3 |
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6.1. |
|
|
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||
|
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|
|
|
3 |
t). |
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||||||
y sin(t |
|
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|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
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|
2t t 2 , |
|
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||||||
|
|
|
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|
|
|
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|
6.3. |
1 |
|
|
|
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|||
y |
|
|
|
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|
. |
|
|
|
|
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|
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||||
3 (t 1)2 |
|
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|||||||||||
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|||||||
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|
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|
|
|
4t |
2 |
1), |
|||
x ln(2t |
|
|
|
|
|||||||||||
6.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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y 2t 4t 2 |
1. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ctg (2et ),
y ln tg (et ).
x arctg (et ), |
|
|
|
6.9. |
|
y |
e2t 1. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 t |
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin(1 |
t 2 ) |
|
|
||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
1 t |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
), |
||||
x arcsin( |
|
|||||||||
6.13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (arccos t)2 . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
4t |
2 |
, |
|
|
||
x 1 |
|
|
|
||||
6.2. |
|
|
|
|
|
|
|
y tg |
1 2t . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x arcsin 2t ,
6.4.
y 1 2t .
x 4t 4t 2 , 6.6.
y arcsin(2t 1).
x ln ctgt , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.8. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
||||||||
x ln |
, |
|
|
||||||||||||||
1 t |
|
||||||||||||||||
6.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 t |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 t 2 , |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 t 2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 t 2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6.14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 |
|
|
|
|
1 t 2 ) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (1 cos 2 t)2 , |
||||
|
|
|
|
|
6.15. |
cos t |
|
||
y |
|
|
|
. |
sin |
2 |
t |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
x arccos |
|
|
, |
|
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|||
6.17. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y |
|
2 |
|
|
|
|
|||
t |
|
1 arcsin |
|
. |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 ,
ln t
y ln 1 1 t 2 .t
|
x (1 sin 2 t)2 , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6.21. |
sin t |
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
. |
|
|
|
cos |
2 |
|
||||
|
|
|
t |
||||
6.23. |
x ln(1 t 2 ), |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y arcsin 1 t 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
1), |
|
x ln(t |
|
||||
6.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
t 2 1. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x ln tgt, |
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
||||
6.27. |
|
|
|
|
|||||
y |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
sin |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
t |
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
||||
|
6t 9t 2 , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.29. |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 (3t 1)2 |
|||||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|||
x ln |
|
|
|
, |
||
|
|
|
||||
6.16. |
|
|
1 t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t |
2 |
. |
|||
y |
|
x ln(1 9t 2 ),
6.18.
y arcsin 1 9t 2 .
x (arcsin 2t)2 ,
6.20.
y .
|
|
|
1 2t |
|||
x ln |
|
|
|
, |
||
|
|
|
||||
6.22. |
|
|
1 2t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4t |
2 |
. |
|||
y |
|
x 1 ,
ln 2t
y ln 1 1 4t 2 .
2t
x 2t t 2 , 6.26.
y arcsin(t 1).
x arcsin 3t ,
6.28.
y 1 3t .
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
, |
|
|
||
x |
|
|
|
|||
6.30. |
|
|
|
|
|
|
y ctg |
1 t . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
Задача № 7. Вычислить приближѐнно значение функции y y(x) с помощью дифференциала в точке x.
7.1. y 3 x 1, x 6,87.
7.2. y 3 x3 7x, x 1,02.
7.3. y (x 5 x2 ) , x 0,98. 2
7.4.y 3 x 2, x 25,24.
7.5.y 3 x 3, x 23,84.
7.6.y 3 x2 2x 5, x 0,97.
7.7.y 3 x, x 63,46.
7.8.y x2 x 3, x 1,97.
7.9.y x2 2x 8, x 1,95.
7.10.y 3 x, x 1,21.
7.11.y x2 4x 13, x 1,95.
7.12.y 3 2x 25, x 49,90.
7.13.y x6 , x 2,02.
7.14.y 3 x, x 8,21.
7.15.y 3 2x3 8x, x 1,02.
7.16.y 3 x, x 7,84.
7.17.y 4x 1, x 2,56.
7.18.y 1/ 2x2 x 1, x 1,016.
7.19. y |
1 |
, x 1,97. |
|
x2 x 3
7.20. y 1 , x 9,16. x
16
7.21.y x4 , x 2,002.
7.22.y 5x 6, x 1,88.
7.23.y x3 , x 0,98.
7.24.y x5 , x 0,97.
7.25.y 5 x2 , x 1,03.
7.26.y x5 , x 0,96.
7.27.y 8x 5, x 2,56.
7.28.y 3 x2 4x 3, x 0,96.
7.29.y 3 x2 x 6, x 0,94.
7.30.y x2 5, x 1,97.
Задача № 8. Провести полное исследование функций и построить их графики.
8.1. а) |
y 2 x3 3x 1 , |
|
|
б) |
y |
|
x3 4 |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.2. а) |
y 3x x3 , |
|
|
б) |
y |
|
|
x 2 |
x 1 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.3 а) y 2x(x 2)2 , |
|
|
б) |
y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|||||||||
8.4. а) |
y x3 5x2 8x , |
б) y |
|
4x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.5. а) |
y x3 3x2 |
2 , |
|
б) |
y |
|
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|
12x |
. |
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||||||
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|||||||||||
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|
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|
|
|
|
x2 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.6. а) |
y x(x 1)2 , |
|
|
б) |
y |
|
4 x |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
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||||||||
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x 2 |
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8.7. а) |
y 2 x3 3x2 |
5 , |
б) y |
|
x2 |
4x 1 |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
x 4 |
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|||||||||||||
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17 |
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8.8. а) y 2 3x2 x3 , |
б) y |
2x3 |
1 |
. |
|
x |
2 |
|
|||
|
|
|
|
8.9. а) |
y x(x 3)2 , |
|
|
|
б) |
y |
(x 1) |
2 |
|
. |
|
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|||||||||||||||||
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|
x |
2 |
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|||
8.10. а) |
y x3 |
3x2 |
20 , |
б) |
y |
|
|
|
|
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|
|
x |
2 |
|
|
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|
. |
|
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(x |
|
1)2 |
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||||||||||||
|
y 6x 8x |
3 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
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|
1 |
2 |
|
|
|
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|||||||||||
8.11. а) |
|
, |
|
|
б) |
1 |
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|
. |
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|||||||||||||||||||
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|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||
8.12. а) |
y x2 (x 3)2 , |
|
б) |
y |
|
12 3x |
2 |
. |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
12 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
y 2x3 3x2 |
5 , |
|
|
y |
|
|
|
9 6x 3x2 |
|||||||||||||||||||||||||
8.13. а) |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
x2 2x |
13 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
8.14. а) |
y 4 12x2 |
8x3 , |
б) |
y |
|
|
|
|
|
8x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||
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|
x2 |
|
|
4 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
||||||||||
|
y x |
2 |
(2x 1) |
2 |
|
|
|
y |
|
|
x 1 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8.15. а) |
|
|
, |
б) |
|
|
|
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|
|
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|
. |
|
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||||||||||||||
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||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8.16. а) |
y 2x3 9x2 |
12x , |
б) |
y |
|
|
|
3x |
4 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||
|
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|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
8.17. а) |
y 4 12x2 |
8x3 , |
б) |
|
y |
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||
|
|
|
(x |
|
1)2 |
|
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|||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||
8.18. а) |
y x2 (2x 1)2 , |
б) |
|
y |
|
8(x 1) |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
(x 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
8.19. а) |
y x3 |
5x2 |
8x , |
б) |
|
y |
1 2x3 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
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|||
8.20. а) |
y x(12 x2 ) , |
|
б) |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||
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|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
2x 3 |
||||||||||||||||||
8.21. а) |
y x2 (x 4)2 , |
|
б) |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
2x x2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||
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18 |
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