Учебное пособие 800163
.pdf
|
|
|
|
|
du |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx x u(ln u 1) , разделяя переменные, |
|||
u x u u ln u |
или |
|
|
|||||
получим |
du |
|
x |
dx |
. |
|||
|
|
|
||||||
|
u(ln u 1) |
|
|
x |
||||
Интегрируя полученное уравнение, находим |
||||||||
ln(ln u 1) |
ln x ln C |
или ln u 1 xC , откуда u e1 C1x , воз- |
||||||
|
|
1 |
1 |
вращаясь к переменной у, приходим к уравнению y xe1 C1x .
Следовательно, |
y |
xe1 C1x dx . Применяя интегрирование по |
|||||||||||||
частям, |
получим y |
|
xe1 C1x dx |
1 |
xe1 C1x |
|
1 |
e1 C1x C |
|
. |
|||||
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
C 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2) |
Найти общее решение уравнения 3y y 5 / 3 . |
|
|
||||||||||
|
|
Решение. |
Перед |
нами |
теперь |
уравнение вида |
|||||||||
|
d 2 y |
f ( y, |
dy |
) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое не содержит явным образом независимую переменную х.
Положим dydx p , но будем считать р функцией от у. То-
гда d 2 y dp dp dy dp p. Подставляя эти выражения произ- dx2 dx dy dx dy
водных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции р
p dp f ( y, p) . dy
Интегрируя его, найдем р как функцию от у и произвольной постоянной С1: р=р (у, С1). Тогда, делая обратную замену,
19
имеем |
|
dy |
|
р (у, С1). Разделяя переменные, находим |
|
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
dx. . |
|
||
|
|
|
|||
|
p( y, C1 ) |
|
Интегрируя это уравнение, получим искомое общее решение дифференциального уравнения.
Переходя к нашему уравнению положим dydx p , считая р функцией от у. Тогда y dpdy p. Подставляя эти выражения
производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции р
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3p |
|
dp |
y 5 / 3 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разделим переменные pdp |
1 |
y 5 / 3dy . Интегрируя это уравне- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ние, находим p 2 |
C |
|
или p |
C y 2 / 3 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
Но |
p |
|
dy |
, |
следовательно, для определения у получаем |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dy |
|
|
|
|
dx или |
|
|
y1/ 3dy |
dx , откуда |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
C y 2 / 3 |
|
C y 2 / 3 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x C2 |
|
|
|
|
y1/ 3dy |
|
|
|
. Для вычисления последнего интеграла |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C y |
2 / 3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
сделаем |
|
|
|
|
|
подстановку |
|
|
|
|
|
C y 2 / 3 1 t 2 . |
Тогда |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y1/ 3 (t 2 |
1)1/ 2 |
|
|
1 |
|
. Продифференцируем это равенство |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
C1/ 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
y 2 / 3dy |
1 |
(t 2 |
1) 1/ 2 2t |
1 |
dt ; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C11/ 2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
3t(t 2 1)1/ 2 2t |
|
|
1 |
|
dt . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
C 3 / 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
y1/ 3dy |
|
|
|
|
1 |
|
3t(t 2 |
1)dt |
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t |
|||||||||||||
|
|
|
|
C y 2 / 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
t 3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
C y 2 / 3 1(C y 2 / 3 2) . |
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
C1 |
3 |
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x C |
2 |
|
|
|
C y 2 / 3 |
1(C y 2 / 3 2). |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 7. 1) Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям
y 7 y 6y (x 2)ex , у(0) =0, y 0 0 .
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Общее решение будет иметь вид |
y y y , |
|||
|
|
|
|
y - частное |
||
где y - общее |
решение однородного уравнения, |
решение неоднородного уравнения.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y 7 y 6y 0. Для этого составим характеристи-
ческое уравнение и найдем его корни
k 2 7k 6 0, |
k |
1 |
6, |
k |
2 |
1. |
|
|
|
|
|
Поскольку корни действительные и разные, то общее реше-
ние |
соответствующего |
однородного |
уравнения |
||||
|
|
C e6x C |
|
e x . |
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
Правая часть данного неоднородного уравнения (x 2)e x имеет вид P1 (x)e1x . Так как коэффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме y x( Ax B)e x .
21
Подставляя это выражение, а также его первую и вторую производные в заданное уравнение, будем иметь
[(Ax 2 Bx) (4Ax 2B) 2A 7(Ax 2 Bx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7(2Ax B) 6(Ax 2 Bx)]ex |
(x 2)ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 10Ax 5B 2A)ex (x 2)ex. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Сокращая на e x и приравнивая коэффициенты при оди- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
наковых степенях х, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x1 |
10A 1 |
|
|
|
|
, откуда |
|
|
A 1/ 10, |
|
B 9 / 25. |
|
|
Следователь- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x0 |
5B 2A 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
но, частное решение будет |
y |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Общее решение y |
|
y будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y C1e |
6 x |
C2e |
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
9 |
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Найдем |
|
|
|
|
производную |
|
|
|
от |
|
|
|
|
|
|
общего |
|
решения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|||||||||||||
y 6C1e6 x |
C2 ex + |
|
|
|
x |
|
|
|
e x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
e x |
|
и соста- |
|||||||||||||||||||||||||||||
5 |
25 |
10 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|||||||||||||||||
вим систему уравнений, подставляя в y и |
|
|
y |
|
|
начальные усло- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C C |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
Решая систему уравнений, |
получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6C1 |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C |
9 |
|
, |
C |
|
|
|
9 |
|
. Тогда частное решение заданного диф- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
125 |
|
|
|
|
125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ференциального уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
9 |
|
|
|
6 x |
|
|
|
9 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
9 |
x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
e |
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125 |
|
|
|
|
|
|
125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
25 |
|
|
2) Найти общее решение линейного неоднородного уравнения y y 3e2x cos x.
22
Решение. Общее решение будет иметь вид y y y .
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y y 0. Составим характеристическое уравнение
и найдем его корни k 2 1 0, |
k |
1 |
1, |
k |
2 |
1. |
|
|
|
|
|
Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения y C1e x C2 e x .
Правая часть данного неоднородного уравнения имеет
вид
f(x) e x (M cos x N sin x) ,
вданном случае 2, 1, M 3, N 0 .Так как число
+ i =2 + i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме
y e2x ( Acos x B sin x),
где А и В – постоянные коэффициенты, подлежащие определению.
Найдем производные y :
y 2e2x ( Acos x B sin x) e2x ( Asin x B cos x),
y 4e 2 x ( A cos x B sin x) 4e 2 x ( Asin x B cos x)e 2 x ( A cos x B sin x).
Подставляя выражения y и производных в заданное
уравнение, получим после приведения подобных членов
(2A 4B)e2x cos x ( 4A 2B)e2x sin x 3e2x cos x.
Сокращая на e 2 x и приравнивая коэффициенты при cos x и sin x , получим два уравнения для определения А и В:
23
cos x |
|
|
2A 4B 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 / 10, |
B 3 / 5. Следовательно, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
, откуда A |
|||||||||||||||||||
sin x |
|
|
4A 2B 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 x |
|
3 |
|
cos x |
3 |
|
|
|
||||||||
частное решение y |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x . |
Общее решение |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||
y |
|
y будет иметь вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
y C e x C |
2 |
e2 x |
|
|
cos x |
|
|
|
sin x . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н.С. Пискунов. М.: Наука, 1985. Т.1. 432 с.
2.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. М.: Наука, 1975. 624 с.
3.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для втузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.: Высш. шк., 1986. Ч. 2.
4.Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. пособие / В.С. Шипачев. М.: Высш. шк., 2007. 479 с.
5.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие / В.С. Шипачев. М.: Высш. Шк., 2007. 304 с.
25
СОДЕРЖАНИЕ
Задание № 1……………………………………………….1 Задание № 2……………………………………………….2 Задание № 3……………………………………………….3 Задание № 4…………………………………………….…5 Задание № 5…………………………………………….....7 Задание № 6………………….………….………………...8 Задание № 7……………………………………………....10 Примеры решения заданий ……………………………...11 Библиографический список…………………………...…25
26
ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к типовому расчету “Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных и обыкновенные дифференциальные уравнения” по дисциплине «Математика» для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение» (профиль «Оборудование и технология сварочного производства») очной формы обучения
Составители: Горбунов Валерий Викторович
Костина Татьяна Ивановна Соколова Ольга Анатольевна
В авторской редакции
Компьютерный набор О.А. Соколовой
Подписано к изданию 20.11.2015.
Уч.- изд. л. 1,6. “C“.
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14