Учебное пособие 1966
.pdff (P0 ) |
0 , |
k 1, 2,...n. |
(1.2.1) |
|
xk |
||||
|
|
|
Решения этой системы уравнений являются стационарными точками функции f(P).
Пример 1. В прямоугольной системе координат заданы n точек A1 (x1 , y1 , z1 ) , A2 (x2 , y2 , z2 ) , …, An (xn , yn , zn ) . Найти точку, сумма квадратов расстояний которой от всех данных точек была бы наименьшей.
Решение. Пусть М(x,y,z) – искомая точка. Найдем стационарные точки функции
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y) |
|
[(x x )2 |
( y y ) |
2 |
|
(z z |
)2 ]. |
|
|||||
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||
f |
' |
2(x |
x ) |
0, откуда следует, что |
nx= |
|
x |
; |
|||||||
|
x |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|||
аналогично из выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
' |
2( y |
y ) |
0 |
получаем ny= |
|
y ; |
|
|
|
|
||||
|
y |
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
' |
2(z |
z ) |
0 |
получаем nz= |
z . |
|
|
|
|
|
||||
|
z |
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
1 |
|
n |
1 |
|
n |
||
Таким |
образом, |
точка M ( |
x ; |
|
y ; |
|
z ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
i |
|
n |
i |
|
n |
i |
||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
i 1 |
является единственной стационарной точкой функции f (x, y) . По смыслу задачи эта точка является точкой минимума.
Ответ: x |
1 |
|
|
||
n |
||
|
n |
|
1 |
|
xi ; |
y |
||
|
|||
n |
|||
i 1 |
|
n |
|
1 |
|
yi ; |
z |
||
|
|||
n |
|||
i 1 |
|
n
zi .
i 1
В общем случае найденные стационарные точки нужно ещѐ исследовать с помощью достаточных условий.
13
Достаточные условия безусловного локального экстремума
связаны с изучением знака второго дифференциала искомой функции. Сформулируем их для функции двух переменных.
Пусть P(x10 , x20 ) - стационарная точка функции u = f(x1,x2), и эта функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки P0 (x10 , x20 ) . Введем следующие обозначения
2 |
f (x0 |
, x0 ) |
|
|
2 f (x0 |
, x0 ) |
|
|
2 f (x0 |
, x0 ) |
|
|
A |
|
1 |
2 |
; |
B |
1 |
2 |
; |
С |
1 |
2 |
; |
|
x2 |
|
x x |
x2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
AB
BC .
Тогда:
1) если Δ>0, то функция u = f(x1,x2) имеет экстремум в точке P0 (x10 , x20 ) , а именно: максимум, если A<0, и минимум, если
A>0;
2)если Δ<0, то экстремума в точке P0 (x10 , x20 ) нет;
3)если Δ=0, то требуется дальнейшее исследование. Пример 2. Найти экстремумы функции
|
x2 |
|
x2 |
|
u |
1 |
|
2 |
, a 0, b 0 |
a |
|
b |
||
|
|
|
Решение. Найдем частные производные и составим систему уравнений (1.2.1):
|
|
|
u |
|
|
2x1 |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x1 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
u |
|
|
|
2x2 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
решение которой дает нам x1 0, |
x2 |
0. |
|
|
|
|
|||||||||||||
Итак, получили одну стационарную точку Р0(0,0). |
|
||||||||||||||||||
Вычислим частные производные второго порядка: |
|
||||||||||||||||||
A |
2u |
|
|
2 |
; B |
|
2u |
|
0 |
; Ñ |
2u |
|
2 |
||||||
x 2 |
|
|
|
a |
|
x |
x |
x 2 |
b |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
14
и составим дискриминант = 4 / ab. Тогда, согласно достаточным условиям экстремума, имеем:
1)если a > 0, b > 0, то > 0, и функция u(x1,x2) имеет в точке Р0(0,0) минимум;
2)если a < 0, b < 0, то > 0 и функция u(x1,x2) имеет в точке Р0(0,0) максимум;
3)если a > 0, b < 0 или a < 0, b > 0, то и экстремума нет. Отметим, что поверхность
|
x2 |
|
x2 |
u |
1 |
2 |
|
a |
|
b |
|
|
|
в первом и втором случае является эллиптическим параболоидом, а в третьем случае – гиперболическим параболоидом. В третьем случае точка Р0(0,0) является стационарной точкой типа «седло».
Условный экстремум. Рассмотрим частный случай задач на отыскание экстремальных значений функции
u = f(x1,x2, … ,xn)
на заданном множестве G точек n – мерного пространства.
Пусть необходимо найти точки условного локального экстремума функции
u= f(x1,x2, x3) |
(1.2.2) |
при условии, что |
|
φ(x1,x2, x3)=0. |
(1.2.3) |
Уравнение связи (1.2.3) в данном случае есть уравнение поверхности в пространстве R3 (т.е. множество G – поверхность).
Точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) G называют точкой условного
локального максимума (минимума) функции (1.2.2), если существует такая окрестность точки М0, что для всех точек Мi этой окрестности (Мi М0), удовлетворяющих уравнению связи (1.2.3), выполняется неравенство
f (Mi ) f (M0 ), (f (Mi ) f (M0 )). |
(1.2.4) |
15
Чтобы найти условный локальный экстремум функции (1.2.2) при условии (1.2.3), составляют функцию Лагранжа
|
L(x1, x2 , x3 , ) |
f (x1, x2 , x3 ) |
(x1, x2 , x3 ), |
(1.2.5) |
где |
- неопределенный |
постоянный |
множитель, |
называемый |
множителем Лагранжа, и исследуют L(x1 , x2 , x3 , ) |
на обычный |
экстремум. Необходимые условия условного локального экстремума сводятся к системе четырех уравнений
L |
|
|
|
f |
|
|
|
|
0, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
x1 |
|
x1 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
L |
|
|
|
f |
|
|
|
|
0, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x2 |
|
x2 |
|||||
|
|
|
|
(1.2.6) |
|||||||
L |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x3 |
|
x3 |
|||||
|
|
|
|
|
L
(x1 , x2 , x3 ) 0.
Из этой системы находят неизвестные x1, x2 , x3 , , где x1 , x2 , x3 -
координаты точки, в которой возможен условный экстремум. Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением
знака второго дифференциала d 2 L для каждой «подозрительной» точки, если
|
dx1 |
|
|
dx2 |
|
|
dx3 |
0, |
|
|
|
|
|
||||||
x1 |
|
|
x2 |
|
x3 |
(1.2.7) |
|||
(dx2 |
+dx2 |
+dx2 |
0) |
|
|
||||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
Пример 3. Найти условные экстремумы функции
u x12 x22 x32
при условии, что
x1 x2 x3 1 .
Решение. Первый способ. Из уравнения связи найдем x3 1 x1 x2
16
и результат подставим в функцию u. Получим
u x2 |
x2 |
(1 x x )2. |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
Ищем обычные экстремумы этой функции двух переменных:
|
|
|
|
|
u |
0 |
|
|
2x1 |
x2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x1 |
|
î ò êóäà x |
1 |
|
, x |
|
= |
1 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x1 |
2x2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдем вторые производные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
|
|
4 |
|
A; |
2u |
|
= 2 = B; |
2u |
= 4 = C. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x x |
x2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= АС - B2 = 12 > 0, А > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
то в точке |
M |
|
( |
|
1 |
, |
|
|
|
1 |
|
) |
функция u |
x2 |
x2 |
(1 |
x |
x )2 |
|
имеет |
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
локальный минимум. Из этого следует, что функция u |
x2 |
|
|
x2 |
x2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
имеет в |
точке |
|
|
Р ( |
1 |
, |
1 |
, |
1 |
) условный локальный |
минимум |
при |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условии, что
x1 x2 x3 1 .
Второй способ. Составим функцию Лагранжа.
L(x , x , x , ) |
x2 |
x2 |
x2 |
(x x x 1). |
||||
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
Система (1.2.6) примет вид
L |
|
2x1 |
0, |
|
L |
2x2 |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x1 |
|
x2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
L |
|
2x3 |
0, |
|
L |
x1 |
x2 |
x3 1 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||
x3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая эту систему, найдем
17
2 |
, x =x |
|
=x |
|
= |
1 |
. |
|
2 |
3 |
|
||||
3 |
1 |
|
3 |
||||
|
|
|
|
Ответ: из геометрического смысла задачи ясно, что в точке
Р0 (13 , 13 , 13) данная функция имеет условный минимум.
Глобальные экстремумы дифференцируемой в ограниченной замкнутой области функции u=f(x1,x2,…,xn) достигаются или в стационарной или в граничной точках.
Пример 4. Найти глобальные экстремумы функции z x2 y2 xy x y
в области x |
0, y |
0, x+y - 3 |
|
|
Решение. Найдем стационарные точки: |
||||
|
z' |
2x y 1 0, |
z' |
2 y x 1 0. |
|
x |
|
y |
|
Отсюда х0= - 1, у0= - 1, т.е. М0 ( - 1; - 1) – единственная стационарная точка, а z(M0)= - 1. Исследование на экстремум не обязательно.
Исследуем функцию на границах области. При х=0 имеем функцию одной переменной z = y2+y, и задача сводится к отысканию глобальных экстремумов этой функции z на отрезке
3 x 0 . Проводя исследование, находим |
|
|
|
||||||
(zmax )х 0 |
6 |
в точке М1 (-3, 0); |
|||||||
(zmin )x=0 = - |
|
1 |
в точке М2 (- |
|
1 |
, 0). |
|||
4 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
При у = 0 |
аналогично, исследуя функцию z = x2 + x, |
||||||||
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(zmax )y 0 |
6 |
в точке М3 (-3, 0); |
|||||||
(zmin )y=0 = 6 |
|
в точке М4 (- |
1 |
, 0). |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
При х + у = - 3 имеем
18
(zmax )х y 3 |
6 |
в точке М1; |
|
|
|
|
|
(zmin )x+y=-3 = - |
3 |
|
в точке М6 (- |
3 |
, - |
3 |
). |
4 |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
Сопоставляя все полученные значения функции z, находим наибольшее значение zmax=6 достигается в граничных точках (0;-3) и (-3;0); наименьшее значение достигается в стационарной точке М0 ( - 1; - 1) и равно Zmin = - 1.
Задачи для самостоятельного решения
1.2.1. Найти экстремумы функции:
a) u = x2 - xy + y2 - 2x +y;
б) z = ( x2 + y2 ) e-(x2 +y2 ) ; |
|
в) |
z = ( x - 1 )2 + 4 - 2y2 ; |
г) |
z = ex-y ( x2 - 2y2 ); |
д) z = 2 - xy - 4x - 2y;
е) z = x3 + 8y3 - 6xy + 1;
ж) z = 3x2 - 2x y + y - 8x + 8; з) z = x2 - xy + y2 + 9x - 6y + 20;
и) z = yx - y2 - x + 6y;
к) z = 3xy - x2 y - xy2 .
1.2.2.Найти экстремумы функций трех переменных:
а) u = x2 |
+ x2 |
+ x2 |
- x x |
2 |
+ x - 2x |
3 |
; |
|||||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
1 |
|
||||
б) u = x + |
y2 |
|
+ |
z2 |
+ |
|
2 |
, |
( x > 0, y > 0, z > 0); |
|||
4x |
y |
|
z |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) u = x - y2z3 ( 1 - x - 2y - 3z ), (x > 0, y > 0, z > 0).
1.2.3.Найти экстремум функции z x 2y
19
при условии |
x2 |
|
|
y2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.2.4. |
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
extr; 3x + 4y = 1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1.2.5. |
exy |
|
|
|
extr, x + y = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.2.6. |
5x2 |
|
4xy |
|
y2 |
|
extr; x + y = 1. |
|||||||||||||||||||
1.2.7. |
3x2 |
|
4xy |
|
y2 |
x |
|
|
|
|
extr; |
x + y = 1. |
||||||||||||||
1.2.8. |
а) |
1 |
|
+ |
1 |
|
|
extr; |
1 |
|
|
+ |
1 |
|
|
= |
1 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
y |
|
x2 |
|
y2 |
a2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
x2 |
|
|
|
extr; |
|
x4 |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.2.9. |
x |
|
|
y |
z |
|
extr; |
1 |
+ |
1 |
|
|
+ |
1 |
= 1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
z |
|||||||||
1.2.10. |
a cos2 x + b cos2 y |
|
extr; |
y - z = |
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||
1.2.11. |
y2 |
|
4z2 |
|
4 yz |
|
2xz |
|
2xy |
|
|
|
|
|
extr; |
|||||||||||
|
2x2 |
+ 3y2 |
+ 6z2 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.2.12. xyz |
|
|
|
extr; |
x + y + z = 5, xy + yz + zx = 8. |
|||||||||||||||||||||
1.2.13. |
ex1 |
|
x2 |
|
|
x |
|
x |
extr; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ x |
2 |
1, |
x |
0, x |
2 |
0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.14. |
x4 |
|
|
extr; |
x2 |
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.15.Из всех треугольников данного периметра 2р найти тот, который имеет наибольшую площадь.
1.2.16.Найти прямоугольный параллелепипед данной поверхности S, имеющий наибольший объем.
1.2.17.В полушар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
1.2.18.На плоскости даны n материальных точек Р1(х1,у1), Р2(х2,у2),…, Рn(хn,уn) с массами, соответственно равными m1, m2,…,mn. При каком положении точки Р(х,у) момент инерции относительно точки Р будет наименьшим?
20
1.2.19.Представить положительное число а в виде произведения четырех положительных сомножителей так, чтобы сумма их обратных величин была наименьшей.
1.2.20.Найти оси эллипса
5x2 8xy 5 y2 9 .
1.2.21.Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма длин катетов равна заданному числу (задача Ферма).
1.2.22.Решить задачу о полиноме Лежандра второй степени:
1
(t2 x t |
x )2 dt |
inf |
1 |
2 |
|
1
1.2.23. Решить задачу о полиноме Лежандра третьей степени:
1
(t3 x t2 |
x е |
x )2 dt |
inf |
1 |
2 |
3 |
|
1
1.2.24. Среди всех дискретных случайных величин, принимающих n значений, найти случайную величину с наибольшей энтропией H. Энтропией совокупности положительных чисел р1, р2,…,рn, в сумме равных единице, называется число
n
Hpi ln pi .
i1
1.2.25.Среди цилиндров, вписанных в шар единичного радиуса, найти цилиндр с максимальным объемом (задача Кеплера).
1.2.26.Вписать в круг треугольник с максимальной суммой квадратов сторон.
2.Численные методы поиска экстремума
2.1. Одномерный поиск
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Рассмотрим для определенности задачу минимизации функции f.
Функция f называется унимодальной на [a,b], если существует единственная точка x* [a,b] , в которой f принимает
минимальное значение. Таким образом, если a<x1<x2<b, то из условия х1<x* следует неравенство f(x1)<f(x2), а из условия х1>x* - неравенство f(x1)>f(x2).
21
Унимодальная функция может иметь разрыв (т.е. не быть непрерывной), излом (т.е. быть не дифференцируемой), но не может содержать участков, где она постоянна.
Задача состоит в построении такой последовательности чисел {xk}, чтобы при некотором n минимальное значение функции
достигалось на интервале xn 1 x* |
xn . Такой интервал называется |
интервалом неопределенности. |
|
Наиболее простая стратегия |
поиска минимума – метод |
дихотомии(деления отрезка пополам). Этот метод состоит в следующем.
Выберем достаточно малое >0 и вычислим
|
c |
|
a b |
|
, |
d= |
a+b+ |
|
, |
|
|
(2.1.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
а |
также значения f(с), |
f(d). |
Если |
f (c) |
f (d), то |
положим |
||||||
a1 |
a, b1 =d; |
если f (c) |
f (d), то положим a1 |
с, |
b1 =d. Из |
|||||||
определения унимодальной функции следует, что a1 |
x* |
b1. |
||||||||||
|
Заменив в |
(2.1.1.) |
a на a1 , b |
на |
b1 , вычислим новые |
значения c и d, a следовательно, и новый интервал неопределенности [a2 , b2 ] и т.д. Приближенная формула
x* |
1 |
(a |
b ) |
(2.1.2) |
|
||||
|
2 |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
имеет погрешность , для которой справедлива оценка |
|
1
2 (bn an ).
За минимальное значение функции f на [a,b] принимают число
f |
an |
bn |
. |
|
2 |
||
|
|
|
Менее трудоемкая процедура поиска минимума унимодальной функции достигается в методе золотого сечения.
Золотым сечением отрезка [a,b] называют деление отрезка на две части [a,z], [z,b] так, что отношение длины всего отрезка к длине большей части равно отношению длины большей части к меньшей, т.е.
22