4) Возвращаемся к переменному z , подставляя ω = z −3 . Искомыми разложениями функции f (z) будут
|
1 |
|
|
∞ |
|
−1 n 3 |
n |
|
|
|
|
|
f (z)= |
|
+ ∑ |
( |
) |
|
|
(z −3) |
, 0 < |
z −3 |
< 4 ; |
4(z −3) |
|
4 |
n+ |
2 |
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−∞ |
|
−1 k+1 3 |
|
k |
|
|
|
|
|
f (z)= |
+ |
∑ |
( |
|
) |
|
(z −3) |
, 4 < |
z −3 |
< ∞. |
|
z −3 |
|
|
|
k+2 |
|
|
|
|
k=−2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если требуется найти лорановское разложение лишь в проколотой окрестности особой точки (например, точки z0 = 3 ), то указанные выше действия выполняются лишь для
одного из колец (в данном случае для кольца V1 ).
Изолированные особые точки и теория вычетов.
Задача 8.29. Найти разложение функции
f(z)= (z + 2)2 e z(z+2)
вряд Лорана в окрестности точки z0 = −2 . Указать кольцо
сходимости, правильную и главную части разложения, а также тип особой точки z0 .
Решение. 1) Сделаем замену переменного ω = z + 2 . Тогда z = ω−2 ,
f (z)= (z + 2)2 e z(z+2) = ω2e(ω−2) ω = ω2e1−2 ω = e ω2e−2 ω .
2) Воспользуемся известным разложением функции e z
— формулой (33.1), в которую подставим −2ω вместо z :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2 −2 ω |
|
2 |
|
2 1 2 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) 2 |
|
|
|
|
|
e ω e |
|
= e ω |
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
2 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
+...+ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
+... = |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
2! ω |
|
|
|
3! ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 n |
2 n e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e ω2 −2e ω+ 2e− |
|
|
+...+ |
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
+... |
= |
|
|
|
|
|
3!ω |
|
|
|
|
n! ωn−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
−1 k 2k+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e ω2 −2e ω+ 2e + ∑ |
( |
|
) |
|
ω−k |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
k |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 ! |
|
|
|
(в последнем равенстве мы |
|
сделали |
|
замену |
|
k = n−2 , |
|
т.е. |
n = k + 2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как ряд (33.1) сходится при |
|
|
z |
|
< ∞, то полученный |
|
|
|
ряд сходится при −2 ω < ∞, т.е. |
|
ω |
|
> 0 , или ω ≠0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
Возвращаемся |
к |
|
|
|
переменному |
z , |
подставляя |
ω = z + 2 . Получаем искомое разложение функции |
|
f (z): |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
−1 |
k 2 k+2 e |
|
|
|
−k |
|
f (z)= e(z + 2) |
|
−2e(z + 2) |
+ 2e + ∑ |
( |
|
|
|
) |
(z + 2) |
|
|
, |
|
|
|
|
|
( |
k + 2 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z ≠−2 , |
|
|
|
|
|
|
Правильной частью является сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e(z + 2)2 −2e(z + 2)+ 2e, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
главной частью – ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
−1 |
k |
2k+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
( |
|
) |
(z |
+ 2) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
k + 2 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку главная часть имеет бесконечно много отличных от нуля коэффициентов, то z0 = −2 является существенно
особой точкой.
Задача 33.30. Определить тип особой точки z0 = 0 функции
f (z)= |
cos z −1+ z 2 |
e z 3 −1−z 3 . |
Решение. Разложим числитель и знаменатель в ряд Тейлора по степеням z . Для этого используем известное разложение функции cos z (формула (6.13)):
cos z =1− |
z 2 |
|
|
+ |
z 4 |
|
−...+ −1 n |
|
z 2n |
|
+ |
... = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
2! |
|
4! |
|
|
|
|
( ) |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∞ −1 |
n |
|
z 2n |
|
|
, |
z ^. (8.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑( |
|
) |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
! |
|
|
|
|
Из (33.4) вытекает равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
z |
2 |
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos z −1+ z |
|
|
= z |
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
−... = z |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
−... |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем ряды сходятся во всей комплексной плоскости.
Для разложения знаменателя e z 3 |
−1−z 3 воспользуемся |
формулой (8.1), в которую подставим |
z 3 вместо z и вычтем |
1+ z 3 . |
|
e z 3 −1−z 3 =1+ z 3 −1−z 3 + (z 3 )2 + (z 3 )3 +... = 2! 3!
= z 6 1 + z 3 +... .
2 3!
Полученный ряд (как и ряд (8.1)) сходится при всех z ^. Отсюда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
−... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos z −1+ z |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4! |
|
|
|
|
1 |
|
f (z)= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
h(z), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
z |
3 |
−1−z |
3 |
|
|
6 |
|
1 |
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
z 2 |
−... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(z)= |
2 |
|
4! |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
z 3 |
+... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция h(z) |
имеет вид |
h(z)= f1 (z) |
f2 (z), |
где функции |
f1 (z) и |
f2 (z) |
аналитичны |
в комплексной плоскости ^ и |
f2 (0)=1 2 ≠0 . |
|
Поэтому функция |
|
h(z) |
также аналитична в |
некоторой окрестности |
точки |
|
|
z0 = 0 , |
|
причем |
|
h(0)=1≠0 . |
Так как |
f (z)= h(z) z 4 |
|
то, |
согласно следствию 26.4, точка |
z0 = 0 является полюсом порядка N = 4 .
Задача 8.31. Найти все изолированные особые точки функции
f (z)= sin1z
(z 2 +9)2
и определить их тип.
Решение. Конечными особыми точками являются z1 = 0 ,
а также точки, в которых z 2 +9 = 0 , т.е. z2 = 3i и z3 = −3i . Поэтому особая точка z4 = ∞ тоже является изолированной,
так как найдется окрестность z > R , не содержащая других особых точек.
|
|
Рассмотрим точку |
z1 = 0 . Пусть точки z′n таковы, |
что |
|
1 |
= πn , т.е. z′n = |
1 |
, |
n =1, 2,... Тогда f (z′n )= 0 . Через |
z′′n |
|
z′n |
πn |
|
|
|
|
|
|
обозначим |
точки, |
для которых |
1 |
= π + 2πn , |
|
|
z′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
z′′= |
2 |
. В этих |
точках |
sin |
1 |
|
=1, |
n =1, 2,... |
|
π+ 4πn |
zn′′ |
|
n |
z′n → 0 |
|
z′′n →0 |
|
|
|
|
|
видеть, что |
и |
при |
n →∞. В то же |
пределы
lim f (z′n )= 0 и |
lim f (z′′n )= lim |
|
|
|
|
1 |
|
= |
1 |
( |
|
|
|
|
2 |
2 |
n→∞ |
n→∞ |
n→∞ |
|
|
2 |
|
) |
9 |
|
|
|
( |
z′′ |
) |
|
+9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
различны. Следовательно, функция f (z) не имеет предела при z → 0 . Поэтому точка z1 = 0 является существенно особой.
Для рассмотрения точек z2 и z3 разложим знаменатель на множители. Так как
z 2 +9 = (z −3i)(z +3i),
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z)= |
sin1 z |
|
= |
|
h(z) |
|
, где |
h(z)= |
sin1 z |
|
. |
2 |
(z +3i) |
2 |
(z −3i) |
2 |
(z +3i) |
2 |
|
(z −3i) |
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку функция h(z) аналитична в окрестности точки z2 = 3i и
h(z)= sin1 32 i |
≠0 , |
(6i) |
|
то в силу следствия 26.4 точка z2 = 3i является полюсом второго порядка. Аналогично доказывается, что z3 = −3i —
тоже полюс второго порядка.
Осталось рассмотреть точку z4 = ∞. Это можно сделать двумя способами: либо перейти к переменному ω =1 z и исследовать особую точку ω0 = 0 функции G(ω)= f (1ω) (см. пример 4.11), либо непосредственно вычислить предел
lim f (z) (или доказать, что этот предел не существует). В
z→∞
данном случае указанный предел легко вычисляется, поэтому второй способ проще. Действительно, 1 z →0 при z →∞.
Поэтому и |
( |
) |
→ 0 |
при z →∞. Очевидно, что |
sin 1 z |
|
( |
z 2 |
) |
2 →∞ при z →∞. Следовательно, |
|
+9 |
|
|
|
lim f (z)= lim |
|
|
sin1 z |
|
= 0 . |
|
|
|
( |
|
|
) |
2 |
|
|
|
z→∞ |
z→∞ |
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как функция f (z) имеет конечный предел при z →∞, то z4 = ∞ — устранимая особая точка (здесь несущественно, что предел равен нулю; важно, что он является конечным числом).
Если положить f (∞) = 0 , то f (z) станет аналитической в точке z4 = ∞.
Задача 8.32. Вычислить интеграл
z 4dz
z−∫i =2 (z 2 + 4)(z +1)2 .
Решение. 1) Изобразим контур интегрирования
|
{ |
} |
|
|
Γ= |
|
z −i |
= 2 |
на |
комплексной |
плоскости. |
Он |
является |
Рис. 8.9
окружностью с центром z0 = i и радиусом 2 (рис. 8.9). |
|
|
|
|
|
|
2) Найдем все особые точки функции, попавшие внутрь |
контура, и исследуем их характер. Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z)= |
|
|
|
|
z 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
z 2 + 4 |
z +1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет три особые точки: z1 = −1, |
|
|
z2 = 2i |
|
и z3 = −2i . Из них |
z1 и z2 лежат внутри контура, a |
|
|
z3 |
— вне его (см. рис. 65). |
Из следствия 3.4 легко получаем, |
|
|
что z1 является полюсом |
второго порядка, a z2 |
— полюсом первого порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
3) В каждой из особых точек внутри контура найдем |
вычет |
функции f (z). Вычет в |
|
|
точке |
|
z2 = 2i найдем |
по |
формуле (5.5): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z −2i)z 4 |
|
|
|
|
|
|
res2i f = lim (z −2i) f (z)= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
( |
z |
−2i |
)( |
z + |
2i |
)( |
z |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z→2i |
|
|
z→2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2i |
) |
4 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 −4 +3i |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
( |
2i + 2i |
)( |
2i +1 2 |
|
4i(−3+ 4i) |
−4−3i |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления вычета в точке −1 применим формулу (5.7) с
n = 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
res |
|
|
|
f = lim |
(( |
z −z |
0 ) |
2 |
f |
|
z |
′ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0 |
|
|
|
z→z 0 |
|
|
|
|
( |
|
)) |
|
|
|
|
|
2 |
|
′ |
|
|
|
|
( |
z +1 2 z 4 |
|
′ |
|
|
|
z |
4 |
′ |
|
( |
|
0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −z |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4 |
|
(z +1) |
|
|
|
= |
4z 3 |
( |
|
|
) |
|
2 |
= |
2z 3 |
( |
z 2 |
|
2 |
) |
; |
|
|
z 2 + 4 |
−z 4 2z |
|
|
+8 |
|
|
|
|
( |
z 2 |
|
) |
|
|
( |
z |
2 |
+ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
+ 4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
res |
f = lim |
2z 3 (z 2 +8) |
= −2 9 |
= −18 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
z→−1 |
z |
2 |
+ |
2 |
|
|
5 |
2 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) Используя основную теорему о вычетах, найдем |
искомый интеграл по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (z)dz = 2πi∑res z k |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
(формула (5.2)): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 4dz |
|
|
|
|
|
4(−4 +3i) 18 |
|
|
4π |
(6 +17 i). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
|
|
|
|
|
|
− |
|
= − |
|
|
z−i =2 ( |
|
|
)( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
25 |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
+ 4 z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
8.33. |
|
Вычислить |
|
вычет |
|
функции |
f (z)= (z + 2)e−1 z в бесконечно удаленной точке. |
|
Решение. 1) Проверим, является ли особая точка z0 = ∞ изолированной. Для этого установим, существует ли
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
окрестность |
|
точки |
z0 = ∞ |
|
|
|
— внешность какой-либо |
окружности |
|
z |
|
= R , — в которой нет других особых точек, |
|
|
кроме |
z0 = ∞. |
Функция |
|
|
|
f (z)= (z + 2)e−1 z |
|
|
имеет |
единственную конечную особую точку z1 = 0 . |
Поэтому во |
внешности любой окружности |
|
z |
|
= R (например, в |
|
|
z |
|
>1) нет |
|
|
|
|
особых точек, кроме z0 = ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Сделаем замену переменного ω =1 z |
и подставим |
z =1 ω в |
f (z): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (ω)= f (1ω)= (1ω+ 2)e−ω .
3) Найдем коэффициент при ω1 в лорановском разложении функции g (ω) по степеням переменного ω . Этот
коэффициент будет коэффициентом c−1 при z −1 в разложении Лорана функции f (z) по степеням z . Чтобы найти нужное
разложение функции |
g (ω) , воспользуемся формулой (8.1). |
Подставляя в эту формулу (−ω) вместо z , получаем |
|
1 |
|
|
(−ω) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
g (ω)= |
|
|
|
+(−ω)+ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ 2 1 |
|
|
+... |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ω1 + 2−1−2 ω+ ω2 +ω2 −... = ω1 +1−32 ω+ω2 −...
(оставшиеся слагаемые содержат степени ω не ниже второй). Коэффициент при ω−1 равен c−1 = −32 .
4) Искомый вычет равен res∞ f = −c−1 = 32 .
Задача 8.34. Вычислить несобственный интеграл
|
|
|
( |
x 2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
−4 dx |
|
|
|
|
|
|
−∫∞ |
|
|
. |
|
|
|
|
(x 2 + 6x +13)(x 2 +16) |
|
|
|
Решение. Как и в теореме 4.4, рассмотрим замкнутый |
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
] |
действительной оси и |
контур, состоящий из отрезка −R, R |
|
полуокружности γ(R) радиуса R , лежащей в верхней |
полуплоскости |
(рис. |
8.10). |
|
|
|
|
Возьмем |
функцию |
|
|
|
f (z)= |
|
|
|
|
z 2 −4 |
|
|
, |
|
|
|
( |
z 2 |
+ 6 z +13 |
z 2 +16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)( |
) |
|
|
|
переменное x в подынтеграль- |
|
|
|
ном выражении заменить на z . |
|
|
|
Покажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
Rlim→∞ ∫ f (z)dz = 0 |
(8.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ(R) |
|
|
|
Рис. 8.10 (т.е. что выполнено условие (8.3) теоремы 4.4). Действительно,
239
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
6 |
|
13 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
13 |
|
16 |
|
|
z |
|
+ |
+ |
|
|
2 |
+ |
|
|
|
|
z |
|
|
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
z |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
1+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
h(z), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(z)= |
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
13 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
2 |
1+ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как h(z)→1 при z →∞, то для достаточно больших
значений |
z |
|
будет |
|
h(z) |
|
< 2 . |
|
Поэтому |
|
f (z) |
|
= |
|
|
|
|
= h(z) z 2 < 2 |
|
z 2 . Следовательно, |
|
при |
достаточно |
больших R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (z)dz |
|
≤ ∫ |
|
f (z) |
|
dz |
|
≤ ∫ |
2 |
|
|
dz |
|
2 |
|
πR = |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 2 |
|
|
|
|
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ(R) |
|
|
γ(R) |
|
|
|
|
|
γ(R) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя к пределу при R →∞, получаем (8.5). (Заметим, что мы уже проводили аналогичные рассуждения в примере 4.5).
+∞
В силу теоремы 4.4 интеграл ∫ f (x)dx равен сумме
−∞
вычетов функции f (z) в особых точках, лежащих в верхней
полуплоскости, умноженной на 2πi . В нашем случае особыми будут точки, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. z 2 +6z +13 = 0 , откуда z1,2 = −3± 2i , и z 2 +16 = 0 , откуда