Учебное пособие 1864
.pdfПример 4.4. Найти дробно-линейную функцию, отображающую единичный круг z <1 на единичный круг
ω <1.
|
|
|
Решение. Пусть |
z0 — точка круга |
|
z |
|
<1, переходящая в |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
точку |
ω = 0 . |
Тогда |
точка z0′ , |
симметричная |
точке |
z0 |
||||||||||||||
относительно |
окружности |
|
|
z |
|
=1, должна перейти в |
точку |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
ω = ∞ , симметричную точке ω = 0 |
относительно окружности |
|||||||||||||||||||
|
ω |
|
=1 . Выразим z0′ |
через z0 . Так как z0 |
|
и z0′ лежат на одном |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
луче, |
исходящем |
из |
точки |
|
|
z = 0 , |
то |
|
z0′ = kz0 , |
где |
k |
— |
положительное число. В силу (1.9) |
|
|
z0 |
|
z0′ |
|
=1, т.е. |
k |
|
z0 |
|
2 =1, |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
откуда k =1 z0 |
2 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0′ = kz0 = z0 |
z0 2 = z0 (z0 z0 ) =1 z0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Дробно-линейная |
функция, |
|
удовлетворяющая |
условиям |
||||||||||||||||||
ω(z0 ) = 0 , ω(1 |
z0 ) = ∞, имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ω = A |
z − z |
0 |
|
|
|
|
|
z − |
z |
0 |
, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= −Az0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
z −1 z0 |
1− z0 z |
|
|
|
|
|
где А — комплексная постоянная. Константа А не
произвольна, так как точки окружности |
|
|
z |
|
=1 отображаются в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки окружности |
|
ω |
|
|
=1 . В |
частности, |
|
ω |
|
=1 |
при z =1. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 = |
ω |
= |
−Az0 |
|
|
= |
−Az0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1− z0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1− z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= eiϕ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
так как |
= |
1− |
z0 |
|
. Следовательно, |
|
−Az0 |
и искомое |
|||||||||||||||||||||||||||||||
отображение имеет вид |
|
|
z − |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = eiϕ |
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.10) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− z0 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
Здесь также отображение определено не однозначно. На рис. 4.5 изображен прообраз сетки полярных координат плоскости ω . Прообразами диаметров (рис. 4.5, б) служат дуги
окружностей, перпендикулярных окружности z =1 (рис. 4.5, а); прообразами окружностей ω = r , r <1, являются также
Рис. 4.5
окружности (но не концентрические) плоскости переменного z.
4.2. Степенная функция. Понятие римановой поверхности
Рассмотрим степенную функцию |
|
ω = zn , |
(2.1) |
где n — натуральное число. Производная |
ω′ = nzn−1 |
существует и отлична от нуля во всех точках z ≠ 0 , z ≠ ∞. |
Поэтому отображение, осуществляемое функцией (2.1),
является конформным во всех точках, |
кроме z = 0 и |
z = ∞. |
|
Если записать переменные z |
и ω в |
показательной |
форме, |
z = reiϕ , ω = ρeiθ , то (10.1) приводит к равенствам |
|
||
ρ = rn , |
θ = nϕ |
|
|
62
(мы уже рассматривали отображение (2.1) для случая n = 2 в
примере 4.1). Отсюда видно, что окружности |
|
z |
|
= r переходят |
||||
|
|
|||||||
в окружности |
|
ω |
|
= rn , угол 0 <ϕ <α , где |
|
α < 2π n , с |
||
|
|
|
вершиной в начале координат, лежащий в плоскости переменного z, отображается на угол 0 <θ < nα па плоскости ω . Следовательно, конформность отображения нарушается в точке z = 0: углы в этой точке увеличиваются при отображении в n раз. Нетрудно показать, что отображение (2.1) не является конформным и в точке z = ∞.
Пусть точки z |
и |
z |
2 |
|
таковы, |
что z |
2 |
= z ei2π n , n ≥ 2 . |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Легко видеть, что |
z |
≠ z |
2 |
, и z |
n = z nei2π = z n |
. Поэтому |
|||
|
1 |
|
|
2 |
1 |
|
1 |
|
отображение (2.1) не является однолистным во всей комплексной плоскости , но является таковым внутри любого угла величиной α < 2πn с вершиной в начале
координат.
Чтобы ввести функцию, обратную степенной, нам нужны следующие определения.
Многозначной функцией комплексного переменного
называется правило (закон), по которому комплексному числу z из множества D соответствует несколько (возможно, бесконечно много) комплексных чисел ω .
Все функции, рассмотренные ранее (кроме функции Arg z ), были однозначными. Функция Arg z является
многозначной:
Arg z = arg z +2πk ,
где arg z — главное значение аргумента и k — любое целое
число. В дальнейшем под термином функция, используемым без каких-либо пояснений, подразумевается однозначная функция; многозначность изучаемых функций всегда будет оговариваться дополнительно.
Пусть функция ω = f (z) отображает область D на область Е. Обратной к функции ω = f (z) называется функция (вообще говоря, многозначная) z = g(ω) , определенная на
63
области Е, которая каждому комплексному числу ω E ставит в соответствие все комплексные числа z D , такие что f (z) =ω .
Другими словами, функция, обратная к ω = f (z) , — это
правило, по которому каждой точке ω E соответствуют все ее прообразы z D .
Если функция ω = f (z) однолистна в D, то обратная функция однозначна (и также однолистна) в Е; если ω = f (z) не однолистна, то обратная функция будет многозначной. Например, обратной к функции ω = zn является многозначная функция z = n ω : каждому значению ω , отличному от 0 и ∞, соответствует n различных корней n-й степени, определяемых
формулой (3.12). Числа 0 |
и |
∞ имеют |
по одному |
корню: |
||||||||||||||
n 0 = 0 , n ∞ = ∞. |
Пусть |
функция |
|
ω = f (z) |
однолистна и |
|||||||||||||
Теорема 4.5. |
|
|||||||||||||||||
аналитична в области D, отображает D на область Е и |
||||||||||||||||||
′ |
Тогда |
обратная |
функция |
|
|
|
z = g(ω) |
также |
||||||||||
f (z) ≠ 0 . |
|
|
|
|||||||||||||||
аналитична в области Е и |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(2.2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
g (ω) = |
f |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(z) |
|
|
|
|
|
|
z D |
||||
Доказательство. Зафиксируем произвольную точку |
||||||||||||||||||
и возьмем приращение z ≠ 0 . |
Тогда, |
в силу однолистности |
||||||||||||||||
функции |
ω = f (z) , |
соответствующее |
приращение |
|||||||||||||||
ω = f (z + z) − f (z) также не равно нулю. Поэтому |
|
|
||||||||||||||||
|
|
g(ω − ω) − g(ω) |
= |
|
z |
|
|
= |
1 |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
ω |
ω |
|
|
|||||||||||
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как функция ω = f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
||
аналитична, то она непрерывна в |
||||||||||||||||||
точке z. |
Следовательно, |
ω → 0 |
|
при |
|
|
|
z → 0 , а |
в |
силу |
||||||||
взаимной |
однозначности |
верно и |
обратное: |
z → 0 |
при |
ω → 0 . Отсюда
64
′ |
z |
|
1 |
|
|
1 |
|
g (ω) = lim |
|
= |
|
|
= |
|
, |
ω |
lim |
ω |
′ |
||||
ω→0 |
|
|
|
|
|
|
z→0z
что и требовалось доказать.
Аргументом функции z = g(ω) , обратной ω = f (z) ,
является переменная ω . Поскольку аргумент функции часто обозначают через z, то для единообразия переобозначают переменные z и ω и пишут ω = g(z) . Например, обратная
функция к ω = zn запишется как ω = n z .
Рассмотрим подробнее функцию ω = n z . Как было отмечено выше, она является многозначной. Тем не менее можно определить эту функцию на множестве более сложного устройства, чем комплексная плоскость, на котором функция
Рис. 4.6, а
ω = n z станет взаимно-однозначной и непрерывной. Опишем соответствующее множество. Возьмем n экземпляров ("листов") D0 , D1,…, Dn−1 комплексной плоскости, разрезанной
вдоль положительной полуоси, и расположим их друг над другом (на рис. 4.6, а показан случай n = 4 ). Затем тот край разреза области D0 , к которому мы подходим снизу от луча
ОХ (т.е. полуплоскости у < 0), склеим с верхним краем разреза
65
области D1 : нижний край разреза области D1 склеим с верхним краем разреза области D2 и т.д., пока не склеим нижний край разреза Dn−2 с верхним краем разреза Dn−1 .
Теперь склеим оставшиеся свободными нижний край разреза области Dn−1 (на рис. 4.6, а это D3 ) с верхним краем разреза
области D0 . В трехмерном пространстве такую склейку
невозможно осуществить без пересечения с уже сделанными склейками промежуточных листов. Но мы условимся считать эту склейку непересекающейся с предыдущими (т.е. точки этой склейки считаются отличными от точек остальных склеек). Полученная поверхность показана на рис. 4.6, б.
Рис. 4.6, б
Она называется римановой поверхностью функции ω = n z .
Над каждой точкой комплексной плоскости, отличной от 0 и ∞, расположено ровно n точек римановой поверхности. Точки x > 0 действительной полуоси не составляют исключения, так как все склейки, расположенные над ней, считаются непересекающимися. Лишь две точки не обладают этим свойством: z = 0 и z = ∞. Все листы римановой поверхности
66
считаются склеенными в точках, расположенных над точками z = 0 и z = ∞.
Определим |
теперь |
функцию |
ω = n z |
на построенной |
|||||||||
римановой поверхности. |
Напомним, что если z = reiϕ , то все |
||||||||||||
корни n-й степени из z определяются формулой (2.12): |
|
|
|||||||||||
ω = n z = n |
|
|
ϕ +2πk |
+i sin |
ϕ +2πk |
k = 0,1,…, n |
−1. |
|
|||||
r cos |
|
n |
|
|
n |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3) |
|||
|
ϕ в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Угол |
этой формуле можно выбирать из любого |
||||||||||||
промежутка |
длины |
2π ; |
нам удобно |
предполагать, |
что |
||||||||
0 ≤ϕ < 2π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точкам |
z = reiϕ , |
лежащим на листе |
D |
и склейке |
D |
с |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
Dn−1 , |
ставим в соответствие значение корня с k = 0 ; точкам, |
||||||||||||
лежащим на листе D1 |
и склейке D1 |
с D0 , — значение корня с |
|||||||||||
k =1. |
Вообще, |
точкам, |
лежащим на Dk , при 1 ≤ k ≤ n −1, |
и |
|||||||||
склейке Dk , |
с Dk −1 , соответствует значение корня с данным k . |
Построенное соответствие будет однозначной функцией на римановой поверхности.
Нетрудно показать, что эта функция взаимно-однозначно отображает риманову поверхность на всю комплексную
плоскость. Действительно, |
лист Dk будет отображаться в |
||||
угол |
2πk |
<ϕ < |
2π(k +1) |
, а |
склейки отобразятся в лучи, |
|
n |
|
n |
|
|
соединяющие эти углы; тем самым вся комплексная плоскость будет покрыта образами точек римановой поверхности.
Покажем, что это отображение является и непрерывным. Если точка z лежит на листе Dk с разрезом, то непрерывность
в этой точке прямо следует из формулы (2.3) с фиксированным k . Для демонстрации непрерывности в точках склеек рассмотрим контур на римановой поверхности, состоящий из
точек, расположенных над окружностью |
|
z |
|
=1 |
комплексной |
|
|
||||
плоскости. Начнем обходить этот контур |
с точки z, |
||||
67 |
|
|
|
|
|
расположенной на верхнем крае разреза листа D0 . Так как r =1, ϕ = 0 , k = 0 , то ω = n z =1 . При обходе первого витка
контура на листе D |
будет ϕ → 2π и n z → cos |
2π |
+i sin |
2π |
. |
|
|
|
|||||
|
0 |
|
n |
n |
||
|
|
|
||||
Перейдя по склейке на лист D1 , мы получим, по определению, |
||||||
n z = cos ϕ +2π |
+i sin ϕ +2π (так как k =1). В частности, при |
|||||
n |
|
n |
|
|
|
|
ϕ = 0 будет то |
же |
самое значение корня, к |
которому |
мы |
приближались, подходя к нижнему берегу разреза по листу D0 . Значит, в точках склейки D0 c D1 функция n z будет непрерывной. Аналогично показывается непрерывность корня
и при переходе с Dk −1 |
|
на Dk |
при 1 ≤ k ≤ n −1. Наконец, обходя |
||
контур по листу Dn−1 |
и приближаясь к нижнему краю разреза, |
||||
получим k = n −1 , ϕ → 2π , и |
|
|
|||
n z → cos |
2π + 2π(n −1) |
+i sin |
2π + 2π(n −1) |
= cos 2π +i sin 2π =1 , |
|
|
|
||||
|
n |
|
|
n |
т.е. то самое значение, с которого мы начинали на верхнем крае разреза листа D0 . Таким образом, функция n z будет
непрерывной во всех точках римановой поверхности. Как функция, обратная к аналитической, она является также однозначной аналитической функцией на этой поверхности (кроме точек z = 0 и z = ∞).
Возьмем любую окружность z = r на комплексной
плоскости, охватывающую точку z = 0. Эта окружность будет охватывать также и точку z = ∞. Обходя контур на римановой поверхности, состоящий из точек, расположенных над этой окружностью, мы будем переходить с одного листа римановой поверхности на другой. Поэтому точки z = 0 и z = ∞ называются точками ветвления. Ни одна другая точка описанным свойством не обладает: если взять окружность с центром в точке z ≠ 0 , z ≠ ∞, не содержащую внутри себя точку 0, то соответствующие точки на римановой поверхности
68
образуют n окружностей, не связанных друг с другом. Обходя каждую из них, мы не выйдем за пределы одного и того же листа.
Однозначная аналитическая в области D функция f (z) называется регулярной ветвью многозначной функции F(z) , определенной в этой же области, если значение f (z) в каждой точке z области D совпадает с одним из значений F(z) в этой
точке.
Многозначная функция F(z) является однозначной и
аналитической на своей римановой поверхности (за исключением точек ветвления). Поэтому возможность выделить в области D регулярную ветвь означает возможность расположить эту область на римановой поверхности, не разрезая D и не задевая точек ветвления. Область D должна при этом целиком укладываться на одном листе или спускаться по склейке с одного листа на другой (как ковер по
лестнице). Например, кольцо 1 < z < 2 нельзя без разрывов
расположить на римановой поверхности функции F(z) = n z ,
n ≥ 2 , поскольку точки кольца, располагаемые над положительной полуосью, должны одновременно попасть на разные листы, что невозможно. Но если разрезать кольцо по любому радиусу, то такое расположение становится возможным. При этом расположить D на римановой поверхности можно n способами (и, следовательно, выделить в
D n различных ветвей функции n z ). Для выделения конкретной ветви достаточно указать значение функции в какой-либо точке области D. Тем самым указывается лист римановой поверхности, на который попадает эта точка, а значит, фиксируется расположение и всей области D.
Пример 4.5. Выделить регулярную ветвь f (z) функции
ω = 4 z , |
|
задаваемую |
|
условием |
f (1) = i , в области |
||||
|
iϕ |
: − |
3π |
<ϕ < |
π |
. Найти |
f (−1) . |
||
D = z = e |
|
2 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
69
Решение. Область D является комплексной плоскостью с
разрезом |
по |
мнимой |
полуоси |
|
y ≥ 0 . |
Значит, |
выделение |
|||||||||||||||||
регулярной ветви в D возможно. По формуле (2.3) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
F(z) = 4 |
z = 4 |
r |
|
|
ϕ +2πk |
+i sin |
ϕ +2πk |
, |
|
||||||||||||||
|
cos |
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
k = 0,1, 2,3, |
− |
3π < |
ϕ |
< π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Чтобы выделить |
ветвь f (z) , |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
нужно |
найти |
|
|
подходящее |
||||||||||||||||||||
значение k . Так f (1) = i , то подставляя ϕ = 0 , |
r =1, получим |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i = cos |
2πk |
+i sin |
|
2πk |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда следует, что k =1. Итак, нужная ветвь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
f (z) = 4 r |
|
ϕ +2π |
+i sin |
ϕ +2π |
|
− |
3π |
|
<ϕ < |
π |
. |
|||||||||||||
cos |
|
4 |
|
|
4 |
, |
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||
В частности, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (−1) = 4 |
|
|
−π +2π |
+i sin |
−π +2π |
|
|
|
2 |
+i |
|
|
2 |
|
||||||||||
1 cos |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
4 |
|
4 |
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Мы проводили построение римановой поверхности |
||||||||||||||||||||||||
функции |
ω = n z , разрезая комплексную плоскость |
|
|
|
вдоль |
положительной полуоси. Отметим, что выбор линии разреза не является принципиальным: аналогичную конструкцию можно было проделать, разрезая , например, вдоль любого луча, исходящего из начала координат.
4.3. Показательная и логарифмическая функции
1. Показательная функция ez определяется следующими соотношениями: для любого комплексного числа z = x +iy
ez = ex+iy = ex (cos y +i sin y) . |
(3.1) |
70