Учебное пособие 1816
.pdf№14. Найти собственные |
значения |
и |
собственные векторы линейного |
||
преобразования, заданного матрицей |
1 |
6 |
12 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
. |
|
|
A = |
|
|||
|
|
0 |
− 5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
№15. Даны координаты векторов |
a = (3,−3,1) , |
|
= (1,5,−4) , |
c = (1,6,−2) |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (−4,36,−19) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) доказать, что векторы a , |
|
|
и c образуют базис; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
б) найти координаты вектора d |
в базисе a , b , c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров |
1×3 |
|
со |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
скалярным |
произведением |
(x, y)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , |
где |
|
x = |
(x1 |
|
|
x2 |
|
x3 ), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = (y1 |
y2 |
|
|
y3 ) по данному базису g1 = (2 |
3 |
0), g2 = (0 |
1 |
−1), g3 = |
(0 0 4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
построить |
|
|
ортонормированный |
базис |
e1, e2 , e3 . |
Найти |
угол |
|
между |
|
векторами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = 4e1 +5e2 + e3 , y = e1 −3e2 + e3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a |
и B x =[x, a ] |
|
евклидова |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространства свободных векторов найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i |
|
j, k , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
если a = 5 |
j |
+k |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
б) |
координаты |
векторов |
|
u = A x |
и |
|
v = B x |
в |
базисе |
|
|
|
|
|
|
|
если |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
, j, k , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x = 2i |
+ j −5k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
−4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
№18. Дана матрица A = |
линейного преобразования в базисе e1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , |
|
и |
c , указанном в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задании №15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−4 |
−3 |
||||||||||
|
|
|
№19. |
Указать |
базис |
пространства, в |
котором матрица |
|
|
|
−4 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую данным уравнением:
9x2 +8xy +9 y 2 −16 2x −10 2 y −40 = 0 .
162
|
|
|
|
№14. |
|
Найти |
собственные |
|
|
значения |
и |
|
|
собственные |
|
векторы |
линейного |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
преобразования, заданного матрицей |
|
|
|
|
|
|
−5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
A = −12 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
19 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
№15. |
Даны координаты |
|
векторов |
a = (3,5,1) , |
|
|
= (−1,1,2) , |
c = (1,2,4) |
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (−11,8,16) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) доказать, что векторы a , |
|
|
|
и c образуют базис; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в базисе a , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
б) найти координаты вектора d |
b , c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
№16. В евклидовом пространстве |
вещественных |
|
матриц |
размеров |
1×3 |
|
|
со |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
скалярным |
произведением |
(x, y) |
= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , |
где |
x = (x1 |
|
|
x2 |
x3 ), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = (y1 |
y2 |
|
|
|
y3 ) по данному базису |
g1 = (1 |
2 |
|
|
4), g2 = (0 |
5 |
2), g3 = |
(0 0 1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
построить |
ортонормированный |
|
базис |
e1, e2 , e3 . |
Найти |
угол |
между |
|
векторами |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = 3e1 + 4e2 + e3 , y = −e1 −e2 + e3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a |
и B x =[x, a ] |
|
евклидова |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространства свободных векторов найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i |
j, k , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
если a = i |
−8 j + k ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
б) |
|
координаты |
векторов |
|
|
u = A x |
и |
|
v = B x |
в |
базисе |
|
|
|
|
|
|
|
если |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
, j, k , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x =i |
−6 j +3k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 , |
||||
|
|
|
|
№18. Дана матрица A = |
|
|
|
3 линейного преобразования в базисе e1 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании №15.
9 |
2 |
2 |
||
|
2 |
3 |
|
|
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A = |
−1 |
|||
|
2 |
−1 |
3 |
|
|
|
линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую данным уравнением:
x2 +8xy +7 y 2 −4 5x −7 5y + 20 = 0 .
164
№14. Найти собственные |
значения |
и собственные векторы линейного |
|||
преобразования, заданного матрицей |
|
1 |
− 7 |
15 |
|
|
0 |
1 |
− 2 |
. |
|
|
A = |
|
|||
|
|
0 |
2 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
№15. |
Даны координаты |
векторов a = (3,5,1) , |
|
= (−1,1,2) , c = (1,2,4) и |
|||||||||||
b |
|||||||||||||||||
|
|
= (9,11,19) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ; |
|
|
|
|
|||||||||||
d |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
а) доказать, что векторы a , |
|
|
и c образуют базис; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
б) найти координаты вектора d |
в базисе a , b , c . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц |
размеров |
1×3 |
со |
||||||||||||
скалярным |
произведением |
(x, y)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , |
где |
x = (x1 |
x2 |
x3 ), |
|||||||||||
|
y = (y1 |
y2 |
y3 ) по данному базису g1 = (3 − 4 0), g2 = (0 0 |
2), g3 = (1 1 |
−1) |
||||||||||||
построить |
ортонормированный |
базис e1, e2 , e3 . Найти |
угол |
между |
векторами |
||||||||||||
x = −5e1 +6e2 + e3 , y = e1 −7e2 −9e3. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a |
и B x =[x, a ] |
евклидова |
пространства свободных векторов найти:
а) найти матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе
i , j, k , если a = 2i −7 j + k ;
б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i , j, k , если
x = i +2 j +k .
5 |
−1 |
7 |
|
||
|
4 |
2 |
1 |
|
e1 , |
№18. Дана матрица A = |
линейного преобразования в базисе |
||||
|
−3 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , |
|
b |
и |
c , |
указанном в |
||
задании №15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−2 |
−1 |
|
|
№19. Указать базис пространства, в котором матрица |
|
|
|
−2 |
11 |
−2 |
|
A = |
|
||||||
|
|
|
|
−1 |
−2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую данным уравнением:
3x2 +10xy +3y 2 −10 2x −6 2 y +30 = 0 .
166
14. Найти собственные |
значения |
и |
собственные векторы линейного |
||
|
|
6 |
5 |
0 |
|
преобразования, заданного матрицей |
|
4 |
3 |
0 |
|
A = |
. |
||||
|
|
|
−2 |
2 |
|
|
12 |
|
|
|
№15. |
Даны |
координаты |
|
векторов |
a = (2,2,3) , |
|
|
|
|
= (3,1,2) , |
c = (1,3,1) |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (4,0,1) в базисе e1 , e2 , e3 линейного пространства R ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
а) доказать, что векторы a , |
|
|
|
и c образуют базис; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в базисе a , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
б) найти координаты вектора d |
b , c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров |
1×3 |
|
со |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
скалярным |
произведением |
(x, y)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , |
|
|
|
|
|
|
где |
x = (x1 |
|
x2 |
|
x3 ), |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = (y1 |
y2 |
y3 ) по данному базису |
g1 = (1 |
2 |
|
|
4), g2 = (0 5 |
2), g3 = |
(0 0 1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
построить |
|
|
ортонормированный |
|
базис e1, e2 , e3 . Найти |
|
|
|
|
|
|
угол |
между |
векторами |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x = 3e1 + 4e2 + e3 , y = −e1 −e2 + e3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a и B x =[x, a ] |
евклидова |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространства свободных векторов найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i |
, j, k , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
если a = 3i |
−4 j +k ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
б) координаты векторов u = Ax и v = Bx в базисе i |
, j, k , если x = 9i −k . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
№18. Дана матрица A = |
линейного преобразования в базисе e1 , e2 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , |
|
|
и c , указанном в задании |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
−2 |
||||||||
|
|
№19. |
Указать |
базис пространства, |
в |
котором матрица |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
1 |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую данным уравнением:
2x2 + 4xy + 2 y 2 +10 2x −18 2 y +60 = 0.
168
№14. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного матрицей |
1 |
3 |
0 |
|
|
|
7 |
5 |
0 |
|
|
A = |
. |
||||
|
|
23 |
8 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
№15. |
|
Даны координаты |
|
векторов |
a = (2,2,3) , |
|
|
= (3,1,2) , |
c = (1,3,1) |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (12,16,8) в базисе e1 , |
e2 , e3 линейного пространства R ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) доказать, что векторы a , |
|
|
и c образуют базис; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в базисе a , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
б) найти координаты вектора d |
b , c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
№16. В евклидовом пространстве |
вещественных |
матриц |
|
|
размеров |
|
|
1×3 со |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
скалярным |
|
произведением |
(x, y)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , |
|
|
где |
|
|
|
x = |
(x1 |
|
|
x2 |
|
x3 ), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = (y1 |
|
|
y2 |
|
|
y3 ) |
по |
данному |
базису |
|
|
g1 = (−3 |
0 |
|
− 4), g2 = (0 |
2 |
0), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
g3 = (1 |
2 |
|
|
6) построить ортонормированный базис |
e1, e2 , e3 . |
|
Найти |
|
|
угол |
|
между |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторами x = 8e1 + e2 +8e3 , y = −2e1 + e2 +3e3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a |
и B x =[x, a ] |
|
евклидова |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространства свободных векторов найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i |
, j, k , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
если a = 3i |
−3 j +k ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
б) |
|
|
|
координаты |
векторов u = A x |
и |
|
v = B x |
|
|
в |
базисе |
|
|
|
|
|
|
|
если |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
, j, k , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x =5i |
+ j +k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
№18. Дана матрица |
|
2 |
|
|
|
−3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
A = |
|
|
|
линейного преобразования в базисе e1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , |
|
|
|
и |
c , указанном в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задании №15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
−8 |
|
|
|
|
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
№19. |
|
Указать |
базис пространства, |
в |
котором матрица |
A = |
|
−8 |
1 |
|
|
|
|
−4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
−4 |
|
|
|
9 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
построить линию, определяемую данным уравнением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 +12xy +10 y 2 +6 |
13x +10 |
13 y −20 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
170 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|