Учебное пособие 1758

точка p (m,n), что точка P(p, y(p)) лежит строго выше отрезка

MN. Тогда те же рассуждения, которые привели нас к неравенству (11.3), приведут в этом случае к противоположному неравенству kMP kMN kPN . Тогда по формуле Лагранжа существуют такие

p1 (m, p) и p2 (p,n), что y'(p1) kMP kPN y (p2), p1 p2. Так как это противоречит условию 2), то наше предположение невозможно.

Теорема доказана.

Теорема 11.6. Пусть у функции y y(x), c x d, существует вторая производная y'' y''(x), c x d . Тогда следующие условия эквивалентны:

3)график функции y y(x), c x d, выпуклый вниз (вверх);

4)производная y'' y''(x), c x d , неотрицательна (неположи-

тельна).

Строгая выпуклость графика вниз (вверх) эквивалентна строгой положительности (отрицательности) второй производной.

Доказательство. Так как 4) эквивалентно 2), то утверждение теоремы непосредственно следует из теоремы 11.5.

Будем говорить, что функция y y(x), c x d , имеет определенное направление выпуклости левее (правее) точки x0 (c,d), если на некотором интервале (x0 ,x0) (соответственно на некотором интервале (x0,x0 )) график строго выпуклый вниз или вверх. В частности, прямолинейные участки графика не имеют определенного направления выпуклости.

Определение 11.4. Точкой перегиба функции

y y(x), c x d, называется точка из области определения, в ко-

торой функция меняет направление выпуклости. В частности левее и правее точки перегиба направление выпуклости (графика) функции должно быть определено.

71

Следствие 11.1. В условиях теоремы 11.5 точка x0 (c,d)яв-

ляется точкой перегиба тогда и только тогда, когда x0 является точкой экстремума производной функции y' y'(x), c x d .

Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 11.5, в которой доказано, что строгой выпуклости графика функции вниз (вверх) соответствует строгое возрастание (убывание) производной функции.

Рассмотрим теперь случай существования у функции

y y(x), c x d , второй производной, которую будем считать существующей всюду на промежутке c x d за исключением, быть может, множества, состоящего из отдельных изолированных точек интервала (c,d) и не имеющего конечных точек сгущения.

Ранее нами была установлена связь между точками экстремума функции и ее критическими точками (точками из области определения, в которых производная равна нулю или не существует). В силу следствия 11.1 точками перегиба являются точки экстремума

ее производной, откуда возникает их связь с критическими точка-

ми первой производной, которые сами определяются через вторую производную. Окончательный результат сформулирован в теореме 11.7 и последующем правиле отыскания интервалов выпуклости и вогнутости графика функции и точек перегиба.

Теорема 11.7. (Необходимое условие перегиба) Если у непрерывной функции y y(x), c x d , вторая производная существу-

ет всюду на промежутке c x d за исключением отдельных изолированных его точек, то точки перегиба функции могут быть только в тех точках области ее определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует (критические точки первой производной), которые назовем критическими точками второго рода.

72

Правило отыскания интервалов постоянства направления выпуклости графика функции и точек перегиба

Пусть функция y y(x), c x d , удовлетворяет условиям теоре-

мы 11.1. Тогда для отыскания интервалов постоянства направления выпуклости графика функции надо:

а) сначала найти область определения D функции (которую будем считать состоящей из интервалов, полуинтервалов и отрезков);

Рис 11.4.

б) найти вторую производную;

в) с ее помощью найти точки из области определения исходной функции, в которых вторая производная равна нулю или не существует (критические точки второго рода);

г) нанести их на область определения D и тем самым разбить D на множество интервалов знакопостоянства второй производной (ибо

73

по доказанному ранее в теореме 5.2 любая производная может изменить свой знак только при переходе через критическую точку);

д) там, где вторая производная больше нуля, график функции выпуклый вниз, а там, где вторая производная меньше нуля, график функции выпуклый вверх;

е) наконец, если при переходе через критическую точку знак второй производной меняется, то эта критическая точка есть точка перегиба, в противном случае в такой точке перегиба нет.

В заключение отметим принятую в настоящее время терминологию.

Функцию, график которой выпуклый вниз на промежутке [c,d]

называют выпуклой на этом промежутке.

Функцию, график которой выпуклый вверх на промежутке [c,d]

называют вогнутой на этом промежутке.

§ 12. Асимптоты графика функции и их нахождение

Понятие асимптоты позволяет успешно описать особенности поведение линии при ее уходе на бесконечность. Заметим, что если линия находится в системе координат на плоскости, то необходимым и достаточным условием ее ухода на бесконечность является стремление к бесконечности хотя бы одной из координат точки кривой в процессе ее движения вдоль линии.

Определение 12.1. Асимптотой называется прямая, к которой неограниченно приближается линия, уходя на бесконечность.

В системе прямоугольных координат на плоскости любая прямая задается своим уравнением. Будем различать вертикальные прямые, имеющие уравнение x a, и наклонные прямые, имеющие уравнение y k x b, где a, k, b любые числа. Как известно, эти

74

числа полностью определяют положение прямой в системе координат.

тоты. Вертикальную x 0 ― ось ординат OY, и горизонтальную

бесконечность из-за неограниченного роста первой координаты, и

ее отклонение от оси абсцисс OX , равное 1 , стремится к нулю при x

x или x .

Рис 12.1.

75

Необходимым и достаточным условием существования вертикальной асимптоты x a у графика функции y y(x) является суще-

ствование и равенство плюс или минус бесконечности левого y(a 0) или правого y(a 0) предела функции в точке x a.

Для этого точка x a должна быть либо внутренней точкой области определения функции, либо ее граничной точкой. Так в предыдущем примере x 0 есть конечная граничная точка области опре-

функции кроме конечной граничной точки 0 имеет еще две бесконечные граничные точки: и .

Можно доказать, что если функция y y(x) задана формулой,

то есть элементарная, то у нее вертикальные асимптоты могут быть только в конечных граничных точках ее области определения. При этом либо справа, либо слева от такой точки функция должна иметь бесконечный односторонний предел определенного знака. Если оба односторонних предела в точке x a не существуют, либо конечные, то вертикальной асимптоты x a у графика в такой точке нет.

Наоборот, наклонные асимптоты с уравнением y k x b у

функции могут быть только при x . Поэтому, если область определения функции ограничена (не простирается до плюс или минус бесконечности), то у такой функции наклонных асимптот быть не может. Выясним, что еще должно выполняться для того, чтобы у функции y y(x) при x была асимптота y k x b.

По определению график имеет наклонную асимптоту на тогда и только тогда, когда точка графика функции (x, y(x)) и точка прямой (x,k x b) стремятся друг к другу при x . Это значит,

что y(x) почти совпадает с k x b, и значит, y(x) k x b x ,

где (x) 0 при x . Отсюда получаем существование двух важных пределов

76

Существование и конечность этих двух пределов гарантирует существование у графика функции y y(x) наклонной асимптоты с уравнением y k x b при x , где

При этом сначала составляется и ищется первый предел. Если он найден и конечен, то с помощью уже установленного kсоставляется и ищется второй предел.

Для отыскании наклонной асимптоты при x следует составить и последовательно найти следующие два предела при x

b lim(y(x) k x).

x

Если оба предела существуют и конечны, то наклонная асимптота на у графика есть, и ее уравнение имеет вид y k x b.

Наоборот, если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то наклонной асимптоты при x у графика нет.

77

Рис 12.2.

Замечание 12.1. Так как элементарная функция непрерывна, а значит, ограничена в каждой точке, где определена, то асимптоты у ее графика могут быть только на границе области ее определения. При этом вертикальные асимптоты могут быть только в конечных граничных точках области определения, а наклонные асимптоты только на плюс или минус бесконечности.

§ 13. Порядок полного исследования функции и построения ее графика

Суммируем полученные результаты по исследованию поведения функции и построению ее графика для случая функции y f (x), заданной формулой (то есть элементарной).

1) Находим область определения D функции, собирая вместе все x ( , ), для которых значение формулы f (x) существует.

78

2)Исследуем поведение функции на границе области определения. В частности проверяем наличие вертикальных асимптот в конечных граничных точках области определения и наклонных асимптот в бесконечных граничных точках области определения по описанной схеме. Если соответствующей асимптоты в граничной точке нет, то запоминаем величину предела на бесконечности или односторонних пределов функции в конечной граничной точке.

3)Находим первую производную и с ее помощью определяем критические точки ui ,i 1,2,..., функции: точки из области определения D функции, в которых производная f '(x) равна нулю или не существует.

4)Наносим критические точки на область определения, разбивая ее на интервалы знакопостоянства производной. По знакам производной определяем интервалы возрастания и убывания функции и точки максимума и минимума (точки экстремума).

5)Находим вторую производную и с ее помощью определяем критические точки функции второго рода vk , k 1,2,...: точки из области определения D функции, в которых вторая производная f ''(x) равна нулю или не существует.

6)Наносим эти критические точки на область определения, разбивая ее на интервалы знакопостоянства второй производной. По знакам второй производной определяем направление выпуклости графика функции на всех интервалах и точки перегиба графика функции.

Для построения графика функции общего вида, которая не является периодической, четной или нечетной

1)Наносим на координатную плоскость найденные асимптоты.

79

4)Если нужно, находим точки пересечения графика с осями координат.

5)Проводим линию графика через найденные точки так, чтобы он не противоречил результатам исследования поведения функции как внутри ее области определения, так и на границе области определения. То есть, там, где график должен возрастать, он возрастает, где должен убывать, он убывает, там, где он должен был быть выпуклым в определенную сторону, он выпуклый в нужную сторону. Наконец, если у графика есть асимптоты, то график должен приближаться к ним соответствующим образом, уходя на бесконечность.

Если функция четная,

то ее график достаточно построить только при положительных x из области определения D функции и дальше продолжить его на отрицательные x D симметрично относительно оси OY.

Если функция нечетная,

то ее график достаточно построить только при положительных x из области определения D функции и дальше продолжить его на отрицательные x D нечетным образом ― центрально-симметрично относительно начала системы координат O.

Если функция периодическая с периодом Т,

то ее график достаточно построить на любом удобном множестве [c,c T] D, где число с может быть любым, и затем продолжить его по периодичности на всю область определения D.

80