Учебное пособие 1740
.pdf
|
|
|
Рис. 2.42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Находим производную |
dz |
= |
ma(1 − 2 cosα) |
|
и приравни- |
|||||||||
dα |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 α |
π |
|
|||||
ваем ее к нулю 1 − 2 cosα = 0, |
cosα = |
1 |
, |
α = |
. Исследуем |
|||||||||
|
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
2 |
|
|
|
|||
функцию на экстремум при α = |
|
|
по знаку второй производ- |
|||||||||||
ной: |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d 2 z |
|
2am(1 − cosα + cos2 α) |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |
|
|
|
, |
z′′ |
|
> 0. |
|
|
|
||
|
dα 2 |
sin 2 α |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Следовательно, функция имеет минимум и, чтобы доставка груза была наиболее дешевой, то шоссе следует прово-
дить под углом α = π3 .
11.13.Два самолета летят с одинаковой скоростью v км/ч,
водной плоскости, прямолинейно и под углом 60° друг к другу, в некоторый момент один самолет пришел в точку пересечения линий движения, а второй не дошел до нее на a км.
Через сколько времени расстояние между самолетами будет наименьшим и чему оно равно?
211
Рис. 2.43
Решение. По условию, когда один самолет был в точке А, другой был в точке В, отсюда АВ = а (рис. 2.43). За время t самолеты пройдут путь, соответственно: АА1 = vt, ВВ1 = vt. Отсюда АВ1 = АB - ВВ1 = a - vt. Пусть расстояние между самолетами A1B1=S, тогда по теореме косинусов получим
|
|
S = ((vt)2 + (a − vt)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
− 2vt(a − vt) cos120 ) |
2 |
|
|
|
|
|
или |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = (v2t 2 − 2vt + a2 ) |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
2v |
2 |
t − av |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Найдем производную S = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и прирав- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(v2t 2 |
− avt + a2 ) |
2 |
|
|
|||||||||
няем ее |
к |
|
нулю: 2v2t −av =0, |
|
t = |
|
a |
. Вторая производная |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2v |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
•• |
|
2v |
2 |
(v |
2 |
t |
2 |
− avt + a |
2 |
) − |
(2v |
2 |
t |
− av) |
2 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
при t = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
S |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
больше ну- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2v |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2(v2t 2 − avt + a2 ) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ля, следовательно, функция имеет минимум.
Наименьшее расстояние между самолетами через t = 2av
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
a2 |
|
a |
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
||
|
|
|
|
− av |
|
+ a |
|
|
= |
|
a |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
будет равно S = v |
|
4v |
2v |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
212 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.44
б) Найдем вторую производную и приравняем ее к нулю: y′ = 4x3 −1; y′′ =12x2 ; 12x2 = 0; x = 0 .
При x = 0 вторая производная y′′ = 0 . Поскольку вторая
производная при переходе через точку x = 0 знака не меняет и при любом значении х положительна, то кривая на всей числовой оси направлена выпуклостью вниз.
12.2. Исследовать направление выпуклости и найти точ-
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
ки перегиба кривой: а) y =1 + (x −3) |
3 |
; |
|
|
|
|
б) y = x |
3 |
; |
|
|||||||
в) |
y =1 − |
|
x3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. а) Находим: |
y′ = |
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
y′′ = |
10 |
|
|||||
(x −3) 3 |
, |
. Вто- |
|||||||||||||||
3 |
93 x −3 |
рая производная не существует в точке х = 3 и не обращается в нуль ни при каких значениях х. При переходе через точку х = 3 вторая производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка (3,1) является точкой перегиба. Поскольку при
x ] − ∞,3[ |
y′′ < 0 , то в этом интервале кривая выпукла вверх. |
|||||||||||||
При x ]3, ∞[ y′′ > 0 , следовательно, кривая выпукла вниз. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
− |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) Найдем вторую производную: y′ = |
|
x |
3 , |
|||||||||||
3 |
||||||||||||||
|
′′ |
|
2 |
|
− |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
93 x4 . Производная у" нигде в нуль не |
||||||||
y |
= − |
9 x |
= − |
|||||||||||
|
|
|
обращается. При х = 0 вторая производная не существует. При переходе через точку х = 0 вторая производная знака не меня-
215
|
|
|
Рис. 2.47 |
|
|
|
|
|
|||||
б) Так как |
lim |
|
x |
|
= ∞ , то прямые x=1 и x=-1 будут |
||||||||
x2 −1 |
|||||||||||||
x→±1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вертикальными асимптотами. |
|
|
|
x |
|
|
|||||||
Так как при |
x → ∞ предел |
lim |
f (x) = lim |
|
= 0 , то |
||||||||
|
−1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
x→±∞ x2 |
|
||||
прямая y = 0 будет горизонтальной асимптотой. |
|
|
|
||||||||||
Поскольку |
lim |
|
x |
|
= 0 |
и b=0, то наклонных асим- |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
x→±∞ x(x2 |
−1) |
|
|
|
|
|
|
птот нет. График функции и асимптоты показаны на рис. 2.48.
Рис. 2.48
219
в) Функция определена на всей числовой оси х, бесконечных разрывов не имеет, поэтому не имеет и вертикальных
асимптот Определяем наклонные асимптоты: |
|
|
|
|||||
k = lim |
y |
= lim |
|
sin x |
= 0, b = lim ( y − kx) = lim |
sin x |
= 0 , |
|
|
|
x2 |
x |
|||||
x→±∞ x |
x→±∞ |
|
x→±∞ |
x→±∞ |
|
|||
следовательно, |
y = 0 |
будет ее горизонтальной асимптотой. |
Данная кривая бесчисленное множество раз пересекает свою асимптоту y=0, переходя с одной ее стороны на другую в точках x = kπ (k = ±1,±2,...) и неограниченно приближаясь к
ней (рис. 2.49).
Рис. 2.49
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
13.2. Найти асимптоты кривых: а) f (x) = e |
x |
; |
||||||||
б) |
f (x) = |
x3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
x − |
1 |
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
|
Найдем |
горизонтальную асимптоту |
|||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
lim f (x) = lim e |
x |
=1, |
lim f (x) = lim e |
x |
=1, |
|
|
|||
x→∞ |
x→∞ |
|
x→−∞ |
x→−∞ |
|
|
|
следовательно, горизонтальная асимптота имеет вид у =1. Найдем теперь вертикальную асимптоту:
|
1 |
|
|
1 |
|
||
lim f (x) = lim e |
x |
= ∞, |
lim f (x) = lim e |
x |
= 0 |
||
x→+0 |
x→+0 |
x→−0 |
x→−0 |
следовательно, x = 0 - вертикальная асимптота (рис. 2.50).
220