Учебное пособие 1733
.pdfЕсли t Î[-2, 0] , то y £ 0 ; если t Î[0, 2] , то y ³ 0 . Точка
(6,0) является точкой самосопряжения кривой. Следовательно, кривая имеет форму петли (рис. 3.14).
Рис.3.14
Вследствие симметрии фигуры относительно осиx, достаточно найти половину площади; тогда вся площадь по формуле (6) будет равна
2 |
2 |
|
|
æ |
|
t |
3 |
|
t |
5 |
ö |
|
2 |
|
512 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
S = 2ò0 |
t (4 -t2 )4tdt = 8ò0 |
(4t 2 |
-t 4 )dt = 8 |
ç |
4 |
|
- |
|
÷ |
|
|
= |
. |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
è |
3 |
5 |
ø |
|
0 |
15 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3. Найти площадь, ограниченную |
линиями: а) одним |
||||||
витком |
спирали |
Архимедаr = aj ; |
б) кардиоидой |
||||
r = a (1+ cosj ); в) |
лемнискатой |
(x2 + y2 )2 = 2a2 (x2 - y2 ); |
г) |
||||
окружностями |
r = a cosj |
и |
r = |
3a sin j ; |
д) |
||
x3 + y3 - 3axy = 0 (декартов лист). |
|
|
|
|
Решение. а) Один виток спирали Архимеда описывается концом полярного радиуса при изменении полярного углаj от 0 до 2p . По формуле (5) находим
|
1 |
2p |
2 2 |
|
a2 |
|
3 |
|
2p |
|
4 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S = |
|
ò0 |
a j |
dj = |
|
j |
|
|
|
= |
|
p |
|
a |
|
. |
2 |
6 |
|
|
0 |
3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111
|
б) |
|
|
|
Поскольку |
|
|
кардиоида |
|
симметрична |
относительно |
|||||||||||
полярной оси, то достаточно найти половину ее площади, |
||||||||||||||||||||||
когда полярный угол j изменяется от 0 до p . Отсюда по фор- |
||||||||||||||||||||||
муле (5) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
p |
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
p æ |
|
|
1 |
|
ö |
|||
S = 2 × |
|
|
ò0 a |
|
(1+cosj) |
|
dj = a |
ò0 |
ç1 |
+2 cosj + |
|
(1 +cos 2j )÷ dj = |
||||||||||
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|||
|
2 |
æ |
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
ö |
|
p |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= a |
|
ç |
|
|
j + 2sinj + |
|
sin 2j ÷ |
|
= |
|
|
p a |
. |
|
|
|
||||||
|
2 |
4 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Лемниската симметрична относительно координатных осей и делится ими на четыре равные части. Если перейти к полярным координатам x = r cosj, y = r sinj , то уравнение лемнискаты в полярных координатах примет вид
r2 = 2a2 cos 2j .
Четвертой части площади соответствует изменение поляр-
ного угла от 0 до p . Отсюда вся площадь по формуле (5) 4
будет равна
|
|
1 |
p |
|
p |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
S = 4 × |
ò4 2a2 cos 2jdj = 2a2 sin 2j |
= 2a2 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г) |
Решая |
совместно уравнения |
|
|
окружностей, |
находим |
|||||||
|
|
|
|
|
|
æ |
3 |
|
p |
ö |
|
||
точку |
(рис. |
3.15) их пересечения |
|
|
Aç a |
|
, |
|
÷ . |
Искомая |
|||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
2 |
|
6 |
÷ |
|
||
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
площадь равна сумме площадей двух сегментов OBA и OCA .
112
Рис.3.15
Дуга ОСА описывается концом полярного радиуса боль-
шой окружности при изменении полярного угла j от 0 до p , 6
следовательно
|
SOCA = |
1 |
|
|
|
|
p |
3a2 sin2 jdj = |
3 |
a2 |
|
|
|
p |
|
(1- cos 2j )dj = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ò06 |
ò06 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
æ p |
|
|
|
|
|
3 |
ö |
|
|
|
|
|||||||||||
|
= |
|
a |
2 æ |
j - |
sin 2j |
ö |
|
|
6 |
= |
|
a |
2 |
|
- |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
ç |
6 |
|
|
|
|
4 |
÷ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Дуга ОBА описывается концом полярного радиуса мень- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
шей |
окружности |
при |
|
|
измененииj |
|
от |
p |
до |
p |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
SOBA |
= |
|
|
|
|
a2 cos2 jdj = |
|
|
|
|
|
(1+ cos 2j )dj = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p2 |
|
|
p2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
a2 æ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
a2 æ p |
|
|
|
|
3 ö |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j + |
|
|
|
|
sin 2j |
|
|
= |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
4 |
ç |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, искомая площадь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
SOCA + SOBA |
= |
|
a2 |
æ |
|
5p |
- |
|
ö |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ÷ . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
y = r sinj |
|||||||||||
д) Переходя к полярным координатам x = r cosj , |
в уравнении декартова листа, получим
113
r = |
|
3a sinj cosj |
. |
|
Так |
как |
|
петля |
кривой соответствует |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin3 j + cos3 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
изменению |
полярного |
|
|
углаj |
от |
|
0 |
до |
|
p |
(рис. |
|
3.16), то |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
площадь будет равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
p |
|
9a2 sin2 j cos2 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
ò02 |
|
|
dj . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(sin3 j + cos3 j )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Деля числитель и знаменатель на cos6 j , получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
d 1+ tg j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||
9 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
3a |
|
|||||||||
|
ò |
|
tg jdtgj |
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
S = |
|
a |
|
|
|
|
|
|
= |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
a |
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||
2 |
|
( |
3 |
) |
2 |
2 |
|
( |
3 |
|
) |
2 |
|
2 |
|
|
1+ tg3j |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 1 |
+ tg j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1+ tg j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Рис.3.16
3.3. Объем тела
1°. Объем тела по площадям его параллельных сечений. Пусть известна площадь S(x) любого сечения тела плоскостью перпендикулярной оси x (рис. 3.17). Если x - расстояние сечения от начала координат, то при изменении x на величину dx дифференциал объема тела равен объему прямого цилиндра с высотой dx и площадью основанияS(x), т.е. dV = S (x )dx .
Объем всего тела выражается интегралом
114
V = òab S (x )dx , |
(1) |
где a, b - левая и правая границы тела
Рис.3.17
2°. Если тело образовано вращением вокруг оси Ox криво-
линейной трапеции aABb (рис. 3.18), то |
любое его |
сечение, |
перпендикулярное к оси Ox , будет круг, |
площадь |
которого |
равна p y2 . Объем тела вращения вычисляется по формуле |
||
V = p òab y2dx . |
|
(2) |
Рис.3.18
Если тело образуется вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy , то объем тела находится по формуле
d
V = p òc x2dy , (3)
где с и d - ординаты границ тела.
Если тело образовано вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции aABb , то элемент объема равен объему тела, образованного вращением вокруг оси Oy прямоугольника со сторонами y и dx отстоящего от оси Oy на расстоянии х. Объем тела вращения в этом случае равен
115
|
|
V = 2p òab xydx . |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|||||
В более общих случаях объемы тел, образованных вра- |
|
||||||||||||||
щением |
криволинейных трапеций, |
ограниченных |
кривыми |
|
|||||||||||
y1 = f1 (x) |
и y2 |
= f2 (x) , если |
f1 (x) < f2 (x) , и прямыми x = a , |
|
|||||||||||
x = b , вокруг |
координатных |
осейOx , Oy , соответственно |
|
||||||||||||
равны |
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Vx |
= p ò(y12 - y22 )dx и Vy = 2p òx ( y2 - y1 )dx . |
|
|
|
(5) |
|
|||||||||
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если кривая задана параметрические, то, в приведенных |
|
||||||||||||||
формулах вычисления объема тел вращения, следует сделать |
|
||||||||||||||
соответствующую замену переменной интегрирования. |
|
|
|
|
|||||||||||
3°. |
Если |
криволинейный |
сектор |
|
|
вращается |
вокруг |
||||||||
полярной оси и ограничен кривой r = r (j ) и лучами j = a , |
|
||||||||||||||
j = b , то объем тела вращения определяется по формуле |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = |
p òr3 sin jdj . |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1. Найти объем трехосного эллипсоида |
x2 |
+ |
|
y2 |
+ |
z |
2 |
=1 . |
|
||||||
a2 |
|
b2 |
c2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. В сечении плоскости, перпендикулярной к оси у и отстоящей от начала координат на расстоянииl, будет эллипс (рис. 3.19).
Рис.3.19
Подставляя вместо y в уравнение эллипсоидаl, находим уравнение проекции эллипса на плоскость xz
116
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
æ |
|
|
|
l2 |
ö |
c |
2 |
æ |
|
|
l 2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç1 |
- |
|
|
|
÷ |
|
|
|
ç1- |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Полуоси |
|
|
эллипса |
|
|
будут, соответственно, |
|
|
a |
1- |
|
l2 |
и |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 1- |
l 2 |
, |
а его площадь |
|
|
в функции переменной l |
|
равна |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
b2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S (l )= pac ç1 |
= |
l |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
è |
|
|
b |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, по формуле (1) искомый объем равен |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b æ |
|
l2 |
ö |
|
|
pac |
b |
(b |
2 |
|
|
2 |
)dl = |
pac æ 2 |
l3 |
ö |
|
b |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
V =pac òç1- |
|
|
÷dl = |
|
|
|
|
|
ò |
|
-l |
|
|
|
|
|
|
çb l - |
|
÷ |
|
|
= |
|
|
pabc . |
|||||||||||||||
b |
2 |
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
b |
2 |
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
-b è |
|
|
ø |
|
|
|
|
-b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
-b |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.2. Два круговых цилиндра радиусаr пересекаются под |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямым |
|
углом. |
Найти |
|
объем |
|
|
тела, ограниченного |
|
этими |
|||||||||||||||||||||||||||||||
цилиндрами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. На рис. 3.20 показана восьмая часть интересующего нас объема. В сечении искомого тела плоскостью, проведенной на расстоянии y от начала координат перпендикулярно к оси Oy , получается квадрат ABCD. Из треугольника АВО
сторона |
квадрата |
равна AB = r2 - y2 . Площадь квадрата в |
|||||||||
функции |
у будет |
S (y ) = r 2 - y2 . |
Отсюда, |
по формуле (1) |
|||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
æ |
|
y |
3 |
ö |
|
r |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
V = 8ò(r 2 - y2 )dy = 8çr 2 y - |
|
÷ |
|
|
= |
r3 . |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
è |
3 |
ø |
|
0 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
117
Рис.3.20
3.3. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной кривой y = xex и прямыми у =0
и x = 1.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 3.21) и воспользуемся формулой (2), тогда
1
V = p òx2e2 xdx .
0
Интегрируя дважды по частям, получим
|
|
æ |
1 |
2 |
|
2 x |
|
|
1 |
|
|
2 x |
|
|
ö |
æ |
1 |
|
2 2 x |
|
1 |
|
2 x |
1 |
2 x |
ö |
|
|
V = p ç |
|
x |
e |
|
|
- |
ò0 xe |
|
dx |
÷ |
= p ç |
|
|
x e |
- |
|
(xe |
|
- ò0 e |
|
dx )÷ |
= |
||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|||
= |
p |
çæ x2 - x + |
1 |
÷öe2 x |
|
1 |
= |
p |
(e2 -1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
è |
|
|
|
2 |
ø |
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3.21
3.4. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривой y2 = 4x и прямыми
x = 0 и y = 4 .
118
Решение. Сделаем чертеж (рис. |
|
3.22) и воспользуемся |
|
формулой (3), тогда |
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
||
V = p ò0 4xdx = 2p x2 |
|
0 |
= 32p . |
|
|
3.5. Найти объем |
Рис.3.22 |
кольца (тора), образованного |
вращением окружности x2 + (y - 4)2 = 9 вокруг оси Ox .
Решение. Центр окружности сдвинут на четыре единицы вверх, а радиус окружности равенR = 3 (рис. 3.23). Решая уравнение окружности относительно y , находим уравнение
верхней |
и нижней дуги полуокружностиy = 4 ± |
9 - x2 . |
|||
|
|
|
|
1,2 |
|
Объем |
тора |
представим |
как |
разность |
тел , вращени |
ограниченных этими окружностями. Учитывая симметрию |
|||||
относительно оси Oy , будем иметь |
|
|
|||
V = 2p ò03 (y12 - y22 )dx = 2p ò03 (25 - x2 + 8 9 - x2 - |
|
||||
-25 +8 9 - x2 + x2 )dx =16p ò03 |
9 - x2 dx. |
|
Рис.3.23
119
Сделаем |
|
замену: |
|
|
x = 3sin t, dx = 3costdt ; |
при |
x = 0,t = 0 ; |
|||||||||||||||||||||
при x = 3, t = |
p |
. Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + cos 2t )dt = |
|
|
||||||||||||||||
V =16p ò02 |
9 cos2 tdt = 72p ò02 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
æ |
|
|
ö |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 72p |
çt + |
|
|
|
sin 2t ÷ |
|
= |
36p |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
ø |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.6. Найти объем тела, образованного вращением вокруг |
||||||||||||||||||||||||||||
оси Ox фигуры, ограниченной |
|
полуокружностью x2 + y2 = 1 |
||||||||||||||||||||||||||
(при x>0) и параболой y = -x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
Сделаем |
чертеж (рис. 3.24) |
и |
из решения |
||||||||||||||||||||||
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïìy2 = |
x; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
2 |
|
= |
1- x |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îy |
|
|
|
|
|
|
|||||||
найдем абсциссу точки |
пересечения кривых: 2x2 + 3x - 2 = 0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||
x = |
-3 ± 9 +16 |
= |
-3 ± 5 |
; x = |
1 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
1,2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3.24
Поскольку криволинейная трапеция, которая вращается вокруг оси Ox , ограничена различными кривыми, то, вычисляя объем тела вращения по формуле(2), представим его в виде суммы двух интегралов
120