Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1719

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

называется правильной, если стeпень многочлена Pn x меньше степени многочлена Qm x . В противном случае рациональная

дробь считается неправильной.

Неправильная дробно-рациональная функция интегрируется после выделения целой части N x и формирования

правильной рациональной дроби как слагаемого, в числителе которой находится остаток от деления:

R x N x Pk x k m .

Qm x

Пример 1.7. Преобразовать неправильную рациональную

	x3
дробь			к сумме многочлена и правильной рациональной
	x 2
		1

дроби.

Решение. Разделим уголком числитель на знаменатель:

x2 1

x3 x

В результате получим

x 2 1

x 2

Интегрирование многочлена как целой части от деления не представляет труда, поэтому рассмотрим интегрирование правильныx рациональных дробeй.

Среди правильных рациональных дробей можно выделить четыре типа дробей, называемых простейшими:

1)	A	; 2)	A	; 3)	Ax B	; 4)	Ax B	,

	x a		x a k		x2 px q		x2 px q k

где A, B, p, q — действительные числа, а трёхчлен x 2 px q

имеет отрицательный дискриминант, т. е. p 2 q 0 .

Простейшие дроби интегрируются несложным образом:

d x a

dx A

A ln

x a

C .

x a

dx A

x a k d x a

C .

x a k

(k 1)(x a) k 1

Ax B

x2 px q

p 2

Ax B d x

Произведем

замену

переменной

t x

dt dx и

обозначим положительную постоянную величину

p 2

2 .

В результате получим

Ax B

A t

tdt

dt A

t2 2

x2 px q

d t 2

ln t

arctg

2 2

	Ap	1		t		A		2
B			arctg		C		ln x		px q B
B			arctg		C		ln x		px q B
	2					2

			x	p
Ap	1
			2		C.
		arctg

2

4. Простейшие дроби четвертого типа интегрируются с помощью рекуррентных соотношений и в данном пособии не рассматриваются.

P x Q x ,

1.6. Разложение правильной дробно-рациональной функции на сумму простейших дробей

Теоремы алгебры говорят о том, что всякий многочлен может быть единственным способом разложен на множители

Q x x x1 k x x2 l ... x 2 p1x q1 S x 2 p2 x q2 P ...,

где x1 — действительный корень кратности k, x2 —

действительный корень кратности l и т. д., множители вида
x 2 p x q		не	связаны	с	действительными		корнями,
1	1
соответствующие			им	дискриминанты		отрицательны.
Дальнейшее		разложение на			множители	для	выражений
x 2 p x q		не производится.
1	1

Теорема. Всякую правильную рациональную дробь

знаменатель которой разложен на множитeли

Q x x x1 k x x2 l ... x2 p1x q1 S x 2 p2 x q2 p ...,

можно единственным образом прeдставить в виде следующей суммы простейших дробей:

P x

...

Q x

x x1

x x1 2

x x1

...

x x2

x x2 l

M1x N1

M 2 x N 2

...

M S N S

x 2 p1x q1

x 2 p1x q1 2

x 2 p1x q1

P1x Q1

P2 x Q2

...

PP QP

...,

x 2 p2 x q2

x 2

p2 x q2

x 2

p2 x q2

где A1, A2 ,...,Q p — коэффициенты, находящиеся методом

неопредeленных коэффициентов.

Согласно методу неопределенных коэффициентов предыдущее тождество приводится к общему знаменателю. Тождественность многочленов числителей левой и правой частей возможно при равенстве коэффициентов при одинаковых степенях x слева и справа, из чего и получается система уравнений относительно искомых чисел A1, A2 , B1 …

и т. д.

Число простейших дробей, соответствующих каждому множителю знаменателя, равно кратности соответствующего корня.

x 2 2x 3

Пример 1.8. Найти интеграл (x 1)(x 2 6x 10) dx .

Решение. Учитывая, что знаменатель имеет однократный действительный (простой) корень x1 1, а также множитель

(x2 6x 10) с отрицательным дискриминантом, имеем

x 2 2x 3

Bx C

A(x 2 6x 10) Bx(x 1) C(x 1)

(x 1)(x 2

x 2

(x 1)(x 2

6x 10)

6x 10

6x 10)

Приравняем числители:

A(x2 6x 10) B(x2 x) C(x 1) x2 2x 3 .

x 2		A B 1
x 2		A B 1
x1		6A B C 2					B 1 A, C 3 A, A 1 A 3 A 2 .
x	0	10A C 3
		A	6	, B	1	, C 9.
			6		1

		5			5
							13

Подставим найденные коэффициенты в разложение рациональной функции:

		6			x	9
	1
		5		5
							.
(x 1)(x 2	6x 10)		x 1	x 2 6x 10

Окончательно получим:

		x2 2x 3																		x	9										(	x	9)dx
										6 dx											9						6				(		9)dx
						dx				6 dx								5							dx		6	ln	x 1	5
																		5												5

(x 1)(x2 6x 10)										5 x			1		x2 6x 10												5			x2 6x 9 1
(x 1)(x2 6x 10)										5 x			1		x2 6x 10												5			x2 6x 9 1
								1			x			3		3
	6																	9 dx
																		9 dx
		ln	x 1					5								5
								5								5
	5											x 3 2 1
	5											x 3 2 1
										x 3																42
	6													dx													dx
														dx													dx
		ln	x 1								5															5
											5															5
	5						x 3 2 1																x 3 2 1
	5						x 3 2 1																x 3 2 1
	6			1					d		(x 3)2						1						42	arctg x 3
	6	ln	x 1	1					d		(x 3)2												42
		ln	x 1
	5			10							x 3 2 1										5
	5			10							x 3 2 1										5
	6			1	ln x 2					3x 10									42			arctg x 3 C .
	6	ln	x 1	1															42
		ln	x 1
	5			10														5
		1.7. Интегрирование тригонометрических выражений
		Рассмотрим						неопределенный																интеграл R cos x, sin x dx ,

где R sin x, cos x являeтся рациональной функцией переменных

sin x и cos x .

Для нахождения подобных неопределенных интегралов может быть использована универсальная подстановка tg 2x t ,

сводящая задачу к вычислению интегралов от дробно-

рациональной функции относительно t. Поскольку из тригонометрии известно, что

																						x								x															x
															2 sin									cos																	2tg											2t
					sin x										2 sin						2			cos						2											2tg			2								2t				,
					sin x									sin		2 x						cos								2 x							1 tg								2 x					1 t 2						,
														sin				2				cos									2						1 tg									2
														cos			2 x						sin							2 x								1 tg							2 x						1 t 2
				cos x										cos						2			sin									2						1 tg									2				1 t 2						,
				cos x																																																					,
														sin		2 x						cos								2 x								1 tg							2 x					1 t 2

																			2											2														2
то происходит рационализация исходного интеграла
	R cos x, sin x dx																	x 2arctgt																										1 t				2					2t						dt
																		x 2arctgt

																		dx										2dt										2				R							,												.
																												2dt										2				R							,												.
																																												1 t				2			1 t				2			1 t		2
																																																2							2					2
																										t		2		1
Пример 1.9. Найти интеграл																																												dx										.

																																			3 sin x cos x
														dx																x 2arctgt
																														x 2arctgt
Решение:																																						2dt
																														dx
							3 sin x cos x

																																			1 t 2
																																			1 t 2
								2dt																														2dt

			2							2t					1 t 2														3t 2 3									2t 1 t 2
			2							2t					1 t 2														3t 2 3									2t 1 t 2

	t			1 3					2							2
								t	2		1				t	2
								t			1				t			1
																																					1																1
				2dt											dt															d t																		d t
																														d t																		d t					2
																																					2																2
		2t 2 2t 4										t 2 t 2																t 2 t								1							7						1				2				7
		2t 2 2t 4										t 2 t 2																t 2 t																					1								7
																																		4								4					t
																																															t
																																																			2						4
																																																			2						4
																																	2tg							x		1
	2					2t 1															2
	2					2t 1															2																		2
				arctg									C												arctg																				C .

	7								7												7																7
	7								7												7																7
																											15

Поскольку метод универсальной замены громоздкий, рассматриваются альтернативные варианты замены

переменной, возникающие при наличии особых свойств подынтегральной функции, связанных со свойствами четности и нечетности.

Если функция R sin x, cos x нечётна относитeльно sin x , т. е. выполняется равенство R cos x, sin x R cos x,sin x , то подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию с помощью замены t cos x .

sin x ( cos x 1)

Пример 1.10. Проинтегрировать sin 2 x cos x 1 .

Решение:

sin x ( cos x 1)

t cos x,

t 1

t 2

t 2 t 2

sin 2 x cos x 1

dt sin x dx

t 1

t 2

C ln

cos x 2

C .

(t 2)(t 1)

Подстановка

sin x t

рационализирует

неопределенный

интеграл при

наличии нечётности

относительно

cos x

для

функции R sin x, cos x .

Если подынтегральная функция не изменяется при

одновременном

изменении знака

sin x

cos x ,

т. е.

R cos x, sin x R cos x, sin x ,

тогда

с помощью

замены

tgx t подынтегральная

функция

преобразуется

рацио-

нальную функцию относительно переменной t . В этом случае

sin x

tgx

, cos x

1 tg 2 x

1 t 2

1 tg 2 x

1 t 2

x arctgt,	dx	dt
			.
		t 2 1
16

Пример 1.11. Найти неопрeделенный интеграл

2 3x

4 sin 3x cos3x 5 cos2

sin

Решение:

tg3x t

sin 2 3x 4 sin 3x cos3x 5 cos2 3xdx

3dx

t 2 1

t 2

t 2 4t 5

(t 2)2 9

t 2 1

d (t 2)

t 2 3

tg3x 1

(t 2)2 9

t 2 3

tg3x 5

Интегралы

вида

sin 2n x cos2m x dx

вычисляются

с помощью тригономeтрических формул понижeния стeпени

cos2 x

1 cos 2x

, sin

2 x

1 cos 2x

Пример 1.12. Проинтегрировать (sin 4 2x 2)dx.

Решение:

1 cos4x 2

9 2 cos4x cos2 4x dx

(sin 4 2x 2)dx

2 dx

1 cos8x

cos8x

2 cos4x

19x

sin 4x

sin 8x C.

ax b cxtW

1.8. Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование иррациональных выражений сопряжено с целым рядом сложностей и в некоторых простейших случаях

возможно в элементарных функциях.	R x, m					,...dx
				, n
Вычисление интегралов вида		x a			x a
производится с помощью замены x a tW ,			где W является
наименьшим общим кратным чисел	m, n,....		Данная замена

позволяет перейти к интегрированию дробно-рациональной функции.

Пример 1.13. Проинтегрировать

x 3 2 3

Решение:

t 3

8 8

x 3 t 6

5 dt

3dt

dx 6t 5 dt

t 2

x 3 2 3

x 3

t 3 2t 2

t 3

6 t

4 dt

4t 8 ln

t 2

x 3

24 6

x 3

48ln

x 3

C .

ax b

Вычисление интегралов

;

;... dx

cx d

осуществляется

с помощью дробно-линейной

подстановки

ax b

, где

является

наименьшим

общим

кратным

cx d

чисел m, n,....

Тогда

dx t dt

dtW , x	tW d b	t ,
dtW , x	a ctW	t ,
	a ctW
Wt W 1d a ctW tW d b cWt W 1			dt.
a ctW 2			dt.
a ctW 2
18

Поскольку

является рациональной функцией, то и

является

рациональной функцией. В результате

получается интеграл от рационального выражения:

ax b

tW d b

R x; m

; n

;... dx

, t m , t m ,...

t dt.

cx d

Пример 1.14. Найти интеграл

9 x

9 x x

Решение. Поскольку

9 x

9 9t 2

t 2 , 9

x 9t 2 t 2 x, x

, dx

9 x

1 t

18t(t 2 1) (9 9t 2 )2t

36t

dt, то

1 t 2 2

(t 2 1)2

9 x dx

36 t

(1 t 2 )

tdt

t 2dt

9 x

9t 2 ) (1 t 2 )2

(t 2 1)(t 2

Разложение рациональной дроби позволяет получить

интегрируемые слагаемые:

t 2

(t 2 1)(t 2 1)

t 2 1

1 t 2

В итоге имеем

t 1

2arctgt C

t 1

2 1

t 2

9 x

2arctg

9 x

C .

9 x

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.86 Mб7Учебное пособие 1714.pdf
#
30.04.20221.86 Mб2Учебное пособие 1715.pdf
#
30.04.20221.86 Mб3Учебное пособие 1716.pdf
#
30.04.20221.86 Mб16Учебное пособие 1717.pdf
#
30.04.20221.86 Mб3Учебное пособие 1718.pdf
#
30.04.20221.86 Mб6Учебное пособие 1719.pdf
#
30.04.2022311.67 Кб2Учебное пособие 172.pdf
#
30.04.20221.87 Mб3Учебное пособие 1720.pdf
#
30.04.20221.87 Mб4Учебное пособие 1721.pdf
#
30.04.20221.88 Mб8Учебное пособие 1722.pdf
#
30.04.20221.88 Mб5Учебное пособие 1723.pdf