Учебное пособие 1699
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
zdxdydz |
|
2π |
2 |
2a cosθ |
2 |
|
||||
mxy = ∫∫∫ |
|
= ∫ dϕ∫sinθ cosθdθ ∫ ρ |
d ρ = |
|||||||||
x |
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
|
||||||
V |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
16a3π ∫2 cos4 θd cosθ = |
16πa3 . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
4 a . |
|
15 |
|
|
Таким образом, |
zc = |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
7.5. Найти момент инерции относительно оси Oz тела, ограниченного поверхностями z2 = 2ax, z = 0, x2 + y2 = ax .
Решение. Момент инерции относительно оси Oz определяется по формуле
Iz = ∫∫∫(x2 + y2 )dxdydz .
V
Переходя к цилиндрической системе координат (рис. 1.45) и расставляя пределы интегрирования, будем иметь
|
π |
acosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
acosϕ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Iz |
=2∫2 dϕ ∫ |
|
ρdρ |
2∫ax (x2 +y2 )dz =2∫2 dϕ ∫ ρ3 |
2aρcosϕdρ= |
||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
9 |
π |
1 |
9 |
|
|
5 |
π |
|
5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||
= |
2 2a 2a2 |
∫cos |
|
ϕcos |
|
|
ϕdϕ= |
4 |
2a |
∫(1−sin2 ϕ)2 dsinϕ= |
32 2a |
. |
|||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||
|
9 |
|
|
|
9 |
135 |
|||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Рис. 1.45
61
7.6. Найти: а) притяжение центра основания цилиндра радиуса R всей массой цилиндра, если высота цилиндра h; б) потенциал цилиндра на центр его основания; в) момент инерции цилиндра относительно его основания.
Решение. а) Расположим систему координат, как показано на рис. 1.46.
Рис. 1.46
Координаты центра основания цилиндра в этом случае будут хс = ус = zc = 0 и расстояние от произвольной точки
цилиндра до центра основания r = x2 + y2 + z2 .
В силу симметрии проекции силы притяжения Fx и Fy
равны нулю. Проекцию силы на ось Oz находим по формуле (8), учитывая, что δ =1
Fz = ∫∫∫ |
|
zdxdydz |
|
|
|
|
= ∫2 dϕ∫R ρd ρ∫h |
|
|
zdz |
|
|
|
= |
|||||||||
(x2 + y2 + z2 ) |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||
|
|
V |
2 |
|
|
|
|
|
0 0 |
|
0 |
|
(x2 + y2 + z2 )2 |
|
|
|
|||||||
|
2π |
|
R |
1 |
2 |
|
|
|
|
h |
|
2π |
|
R 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∫ |
|
∫ |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
∫ |
|
|
2 |
|
2 |
|||||
= − |
|
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ρd ρ = |
|
dϕ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
ρd ρ = |
|
0 |
|
0 |
x + y + z |
|
0 |
|
0 |
|
0 ρ |
|
ρ + h |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 2π (ρ − ρ2 + h2 ) |
|
h |
= 2π (R + h − R2 + h2 ). |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) При нахождении потенциала цилиндра воспользуемся формулой (9)
62
Ixy = ∫∫∫z2dV = |
2∫π dϕ∫R |
ρd ρ∫h |
z2dz = h2 |
2∫π dϕ∫R ρd ρ = |
||
V |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
= h3 R2 2∫π dϕ = πh3 R2 . |
|
|
||||
|
6 |
0 |
|
3 |
|
|
1.8. Криволинейные интегралы
1°. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть функция f (x, y) непрерывна в каждой точке М дуги L. Разобьем эту дугу произвольным образом на п
элементарных дуг l1, |
l2 ,..., |
ln , выберем на каждой из них по |
|
произвольной точке |
Мi и |
составим интегральную |
сумму |
n |
|
|
|
Sn = ∑ f (xi , yi ) li . |
Если |
при стремлении max |
li → 0 |
i=1
интегральная сумма имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения дуги L, ни от выбора точек М.на элементарных дугах li , то он называется криволинейным
интегралом первого рода от функции f(M) = f(x,y) по кривой L
и обозначается
|
|
|
n |
|
|
|
∫ f (x, y)dl = maxliml →0 ∑ f (xi , yi |
) li |
, |
||
|
L |
i |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
||
где dl - дифференциал дуги. |
|
|
|
|
|
В случае пространственной кривой L криволинейный ин- |
|||||
теграл определяется аналогично |
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∫ f (x, y, z)dl = maxliml →0 ∑ f (xi , yi , zi ) |
li |
||||
L |
|
i |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
2°. Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Если кривая L задана уравнением y =ϕ(x), то криволинейный интеграл по длине дуги АВ кривой L вычисляется по формуле
∫ f (x, y)dl = ∫b |
f (x,ϕ(x)) 1+(ϕ′(x))2 dx , |
|
AB |
a |
|
63
хотя точнее было бы его обозначить через ∫ f (x, y) dl .
|
|
|
|
|
|
AB |
Если кривая задана параметрически |
||||||
x = x (t ), y = y (t ) (α ≤ t ≤ β ), |
||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
||||
∫ f (x, y)dl = ∫ f (x(t), y (t)) x2 + y2 dt |
||||||
L |
α |
|
||||
При вычислении интегралов первого рода следует |
||||||
считать, что dl = |
x2 + y2 |
|
dt |
|
. |
|
|
|
|
||||
Аналогично |
вычисляется |
криволинейный интеграл |
||||
первого рода от |
функции трех |
переменных f (x, y, z) по |
простран-ственной кривой. Если кривая L задана параметрически
|
x = x (t ), y = y (t ), z = z (t ) (α ≤ t ≤ β ), |
то |
|
|
β |
∫ f (x, y, z)dl = ∫ f (x (t ), y (t ), z (t )) x2 + y2 + z2 dt . |
|
L |
α |
3°. Свойства криволинейного интеграла первого рода. 1. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от
направления пути интегрирования
∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl .
|
AB |
BA |
|
2. |
∫Cf (x, y)dl = C∫ f (x, y)dl , где C −const . |
||
|
L |
L |
|
3. |
∫(f1 (x, y)± f2 (x, y))dl = ∫ f1 (x, y)dl ± ∫ f2 (x, y)dl. |
||
|
L |
L |
L |
4. Если дугу интегрирования L разбить на две части L1 и
L2, то
∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl + ∫ f (x, y)dl .
L |
L1 |
L2 |
4°. Определение криволинейного интеграла второго рода. Пусть функции Р(х,у) и Q(x,у) определены и непрерывны в
64
каждой точке М дуги АВ кривой L. Разобьем эту дугу произвольным образом на п элементарных дуг li (i =1,..., n) и составим интегральную сумму для функций Р(х,у) и Q(x,у) по
n |
|
+Q (xi , yi ) yi ), где xi , yi - |
координатам Sn = ∑(P (xi , yi ) |
xi |
|
i=1 |
|
|
проекции элементарной дуги |
li |
на оси координат. |
Если при стремлении max xi → 0 и max yi → 0 интег-
ральная сумма имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения дуги L, ни от выбора точек М. на элементарных дугах li , то он называется криволинейным
интегралом второго рода от выражения P(x,y)dx + Q(x,y)dy по направленной дуге АВ
∫ P(x, y)dx +Q(x, y)dy =
AB
n
lim→ ∑(P(xi , yi ) xi +Q(xi , yi ) yi ).
max xi →0 i=1 max yi 0
Криволинейный интеграл второго рода иногда называют
линейным интегралом вектора
aG = P (x, y, z)i +Q (x, y, z)Gj + R (x, y, z)k
вдоль ориентированной кривой L и обозначают
∫(adlG )= ∫Pdx +Qdy + Rdz ,
L L
где в левой части символ (adlG ) - скалярное произведение а
и dl .
Интеграл от вектора а вдоль плоской кривой L опреде-
ляется, соответственно, выражением
∫(adlG )= ∫P (x, y)dx +Q (x, y)dy .
L L
5°. Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Если кривая L задана уравнением y =ϕ(x), то криволинейный интеграл по длине дуги АВ вычисляется по формуле
65
∫ P (x, y)dx +Q (x, y)dy = ∫b (P (x,ϕ(x))+ϕ′(x)Q (x,ϕ(x)))dx .
AB |
|
a |
|
Если кривая L задана параметрически уравнениями |
|||
x = x (t ), y = y (t ), где α ≤ t ≤ β, то |
|
||
|
∫P (x, y)dx +Q (x, y)dy = |
|
|
|
L |
|
|
|
= ∫β (P (x (t ), y (t ))x (t)+Q (x (t), y (t ))y (t ))dt. |
|
|
|
α |
|
|
В |
случае |
пространственной |
кривой |
x = x (t ), y = y (t ), z = z (t ), |
вычисление осуществляется по |
формуле
∫P (x, y, z)dx +Q (x, y, z)dy + R (x, y, z)dz =
L
= ∫β (P (x (t ), y (t ), z (t ))x (t )+Q (x (t ), y (t ), z (t ))y (t )+
α
+ R (x (t )), y (t ), z (t ))z (t ))dt.
6°. Свойства криволинейного интеграла второго рода. 1. Криволинейный интеграл второго рода меняет знак на
противоположный при изменении направления пути интегрирования
∫ Pdx +Qdy = − ∫ Pdx +Qdy .
AB |
BA |
2.∫ Pdx +Qdy = ∫ Pdx + ∫ Qdy .
AB |
AB |
AB |
Остальные свойства аналогичны свойствам криволинейного интеграла первого рода.
8.1. Вычислить криволинейные интегралы:
а) ∫(x + y)dl , |
где L - отрезок прямой от А (1, 0) до В (0, 1); |
|||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
2 |
|
|
б) ∫xydl , где |
L - четверть эллипса |
|
+ |
y |
=1, лежащая в |
|
|
2 |
2 |
||||
L |
|
a |
|
|
b |
66
первом |
квадранте; в) ∫x2dl , где |
L |
- верхняя половина |
|
L |
|
г) ∫(x + y)dl , где L - |
окружности x = a cos t, y = a sin t, z = bt ; |
|||
|
|
|
L |
четверть |
окружности x2 + y2 + z2 |
= R2 , y = x , лежащая в |
первом октанте; e) ∫(x + 2y)dl , где L : x2 + y2 = 4 y .
L
Решение. а) Данный интеграл является криволинейным интегралом первого рода. Найдем уравнение прямой. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки
|
y −0 |
= |
x −1 |
; y = −x +1. |
|
|
||
|
1−0 |
|
|
|
||||
|
|
0 −1 |
|
|
|
|||
Имеем: y′ = −1, dl = |
1+(y′)2 dx = |
2dx . Таким образом: |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
∫(x + y)dl = ∫(x − x +1) |
2dx = 2x |
= 2 . |
||||||
0 |
||||||||
L |
0 |
|
|
|
|
|
|
б) Перейдем к параметрическому представлению эллипса: x = a cos t, y = bsin t, xt′ = −a sin t, yt′ = b cos t ,
dl = x2 |
+ y2 dt = a2 sin2 t +b2 |
cos2 tdt |
t |
t |
|
Искомый интеграл примет вид
|
|
π |
|
∫xydl = ∫2 |
absin t cos t a2 sin2 t +b2 cos2 tdt = |
||
L |
|
0 |
|
|
π |
|
|
= ab∫2 sin t a2 sin2 t +b2 (1−sin2 t )d sin t = |
|||
|
0 |
|
|
|
π |
|
|
= ab ∫2 |
(a2 −b2 )sin2 t +b2 d sin2 t = |
||
2 |
0 |
|
|
67
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
|
|
∫((a |
2 |
−b |
2 |
)sin |
2 |
t +b |
2 |
)2 |
|
|
= |
||||||
2(a |
2 |
−b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
)0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
ab |
|
|
(a |
3 |
−b |
3 |
)= |
ab a2 + ab +b2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
a +b . |
|||||||||||||||||
3(a2 −b2 ) |
|
|
3 |
|
в) Перейдем к полярной системе координат: x = ρ cosϕ , y = ρsinϕ . Уравнение окружности будет
ρ = a, а dl = ρ2 + ρ′2 dϕ = a2 +0dϕ = adϕ.
Искомый интеграл примет вид |
|
|
||||||||||
∫x2dl = π∫ρ2 cos2 ϕadϕ = a3 |
π∫1 |
(1+cos 2ϕ)dϕ = |
||||||||||
L |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
= |
a3 |
|
+ |
1 |
|
|
π |
a3π |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
ϕ |
2 |
sin 2ϕ |
|
= |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
г) Поскольку имеет место пространственная кривая, то ее дифференциал находится по формуле
|
dl = |
|
x2 |
+ y2 + z2 dt = |
a2 sin2 t + a2 cos2 t +b2 dt = |
a2 +b2 dt. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Криволинейный интеграл равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dl |
|
|
2π |
|
|
a2 +b2 dt |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2π |
dt |
|
|
|||||
∫L |
|
= ∫0 |
|
|
|
= |
|
|
a |
|
+b |
∫0 |
|
= |
|
|||||||||
x2 + y2 +z2 |
|
a2 cos2 t +a2 sin2 t +b2t2 |
|
a2 +b2t2 |
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
2 2π |
d (bt) |
a2 +b2 |
|
bt |
|
2π |
|
|
|
a2 +b2 |
|
2πb |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= b |
a |
|
+b |
∫0 |
|
|
= |
|
arctg |
a |
|
0 |
= |
|
|
arctg |
a |
. |
||||||
|
a2 |
+(bt)2 |
ab |
|
|
ab |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) Переходим к сферическим координатам:
x = ρ cosϕsinθ, y = ρsinϕsinθ, z = ρ cosθ.
Поскольку у = х, ϕ = π4 и координаты примут вид:
x = |
2 |
ρ cosθ, y = |
2 |
ρ cosθ, z = ρ sinθ . |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
68
Подставляя координаты в выражение окружности, находим, что ρ = R - постоянная величина.
Принимая θ за параметр, дифференциал дуги примет вид
|
|
|
|
dl = |
|
1 |
|
R2 sin2 θ + |
1 |
R2 sin2 θ + R2 cos2 θdθ = Rdθ . |
|||||
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Таким образом, интеграл примет вид |
||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
||||
∫ |
|
|
R cosθ + |
|
|
R cosθ |
Rdθ = |
2R |
|
∫cosθdθ = |
|||||
2 |
|
2 |
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
= |
|
2R2 sinθ |
|
π |
= 2R2 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e) Воспользуемся полярными координатами: x = ρ cosϕ ,
y= ρsinϕ . Из уравнения окружности (рис. 1.47) имеем:
ρ2 = 4ρsinϕ, ρ = 4sinϕ, ρ′ = 4cosϕ .
Рис.1.47
Дифференциал дуги будет
dl = ρ2 +(ρ′)2 dϕ = 16sin2 ϕ +16cos2 ϕdϕ = 4dϕ .
Отсюда интеграл
∫(x +2 y)dl = 4π∫(ρ cosϕ + 2ρ sinϕ)dϕ =
L |
0 |
ππ
=4∫4sinϕ cosϕdϕ +8∫4sin2 ϕdϕ =
0 |
|
|
|
0 |
|
= −16 cos2 ϕ |
|
π |
+32π∫1−cos 2ϕdϕ = −8 |
(1−1)+16π =16π. |
|
|
|||||
2 |
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
69
8.2. Вычислить криволинейный интеграл
I = ∫ ydx + x (y − x)dy
OA
по линиям: а) y = 3x ; б) y2 = 9x ; O (0,0), A(1,3).
Решение. а) Данный интеграл является криволинейным интегралом второго рода. Найдем дифференциал от функции dy = 3dx и выразим у через х, тогда получим
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I = ∫ |
3xdx + x(3x − x)3dx = 3∫(x + 2x |
2 |
x |
2 |
+ 2x |
3 |
|
= |
. |
||||
|
)dx = |
2 |
|
|
|
|
2 |
||||||
OA |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
б) В данном примере удобнее найти x = 19 y2 , dx = 92 ydy
и перейти к переменной у
I = |
2 |
2 |
dy + |
1 |
y |
2 |
|
|
− |
1 |
y |
2 |
= |
1 3 |
2 y |
2 |
+ y |
3 |
− |
1 |
y |
4 |
|
|||||||||
OA∫ 9 |
y |
9 |
|
|
y |
9 |
dy |
|
|
|
|
9 |
|
dy = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 ∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
1 |
|
2 |
y |
3 |
+ |
y4 |
− |
|
|
y5 |
|
3 |
= |
73 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
9 |
3 |
|
|
4 |
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = v∫(x − y2 )dx |
|
|||||||||||||||
8.3. |
Вычислить |
|
интеграл |
вдоль |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
прямыми х = 0, |
||||||
периметра |
прямоугольника, |
образованного |
||||||||||||||||||||||||||||||
у = 0, х = 2, у=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Здесь линия интегрирования замкнутая ломаная, уравнения звеньев которой даны (рис. 1.48). Представим интеграл в виде суммы четырех интегралов
I = ∫+ ∫ + ∫ + ∫ = ∫2 xdx + ∫(2 − y2 ) 0 +∫0 (x −1)dx + ∫ (0 − y2 ) 0 =
OA AB BC CO 0 |
|
|
|
|
|
AB |
|
2 |
CO |
|||
|
x |
2 |
|
2 |
|
x |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
|
+ |
|
−x |
|
= 2 −2 +2 = 2. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
0 |
|
2 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70