Учебное пособие 1691
.pdf
|
∫ |
dx |
|
|
|
|
x |
|
π |
|
|
+C . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10. |
|
= ln |
tg |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos x |
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11. |
∫ axdx = |
ax |
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12. |
∫ exdx = ex +C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
∫ |
dx |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13. |
|
|
|
|
|
|
= arcsin |
a |
+C |
|
1− x2 |
= arcsin x +C . |
||||||
|
|
|
a2 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
14.∫
15.∫
16.∫
17.∫
dx
a2 + x2 a2d+xx2 = a2d−xx2 = x2d−xa2 =
= ln |
x + a2 + x2 |
+C |
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx |
|
||
|
arctg |
|
+C |
|
|
= arctg x +C . |
|||||||||
a |
a |
|
+ x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫1 |
|
|||||
1 |
ln |
|
|
a + x |
|
+C . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
2a |
|
|
a − x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
ln |
|
|
x − a |
|
|
+C . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
2a |
|
|
x + a |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим основные методы интегрирования.
3.1.4. Основные методы интегрирования
Простейший метод интегрирования заключается в том, что данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции или всего подынтегрального выражения и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам. Кроме этого используют элементарные преобразования дифференциала (операция «внесения под знак дифференциала»). К элементарным преобразованиям дифферен-
циала относят: |
|
|
|
|
|
|
|||
dx = 1 d(ax +b), |
a ≠ 0 = const |
и b = const , |
|
||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx = 1 d(x2 ), |
cos x dx = d(sin x), sin x dx = −d(cos x), |
|
||||||
|
dx |
2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= d(ln x), |
|
= d(tgx) |
и другие. |
|
||||
|
x |
cos2 x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вообще, для любой функции f (u) справедливо равенство |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′(u)dx = d(f (u)) |
, |
(3.1) |
91
причем в этом равенстве u – это либо независимая переменная, либо любая дифференцируемая функция от другой переменной.
Формула (3.1) часто используется при вычислении интегралов.
Пример 3.1. Найти ∫xx2d+x6 .
Решение.
|
|
|
1 d(x2 + 6) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
xdx |
= ∫ |
2 |
|
|
= |
1 |
∫d(x2 |
+ 6) |
= |
1 ln |
|
x2 |
+ 6 |
|
+C . |
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
x + 6 |
|
x |
|
+ 6 |
|
2 |
x |
+ 6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замена переменной в неопределенном интеграле
Иногда путем перехода к новой переменной подынтегральное выражение может значительно упроститься.
Пусть задан интеграл ∫ f (x)dx . Сделаем подстановку
|
|
|
|
x =ϕ(t ), |
|
|
где ϕ(t ) – монотонная, дифференцируемая функция. |
|
|||||
Тогда dx =ϕ′(t )dt |
и получим формулу |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x)dx = |
|
x =ϕ(t ) |
= ∫ f (ϕ(t )) ϕ′(t )dt = ∫ψ (t )dt |
, |
(3.2) |
|
|
dx =ϕ′(t )dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где в найденном интеграле в правой части равенства (3.2) возвращаются от новой переменной интегрирования t к переменной х.
Иногда удобнее в качестве замены выбирать новую переменную t = g (x).
Пример 3.2. Найти ∫sin (3x − 2)dx .
Решение.
|
|
3x − 2 =t |
|
|
|
|
|
∫sin (3x −2)dx = |
x = 1 (t + 2) |
= ∫sin t |
1 dt = |
1 |
∫sin t dt = |
||
|
|
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
dx = 1 dt |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
= − |
1 cost +C = − |
1 cos(3x − 2)+C . |
|
||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
92
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Пусть u =u (x) и υ =υ(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда дифференциал произведения функций u и υ равен
|
d(uυ) =udυ +υdu . |
(3.3) |
|
Интегрируя обе части формулы (3.3), получим |
|
||
∫d(uυ) = ∫(udυ +υdu). |
(3.4) |
||
Используя свойства неопределенного интеграла, перепишем формулу |
|||
(3.4) в виде |
|
||
|
uυ = ∫udυ + ∫υdu . |
(3.5) |
|
Представив равенство (3.5) в виде |
|
||
|
|
|
|
|
∫u dυ =u υ − ∫υ du |
. |
(3.6) |
получим формулу, которая называется формулой интегрирования по частям.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dυ . Затем, после нахождения υ и du , используется формула (3.6). Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз при нахождении одного интеграла.
Пример 3.3. Найти ∫xsin xdx .
Решение.
|
u = x du = dx; |
|
∫xsin xdx = |
dυ =sin xdx |
= −xcos x + ∫cos xdx = −xcos x +sin x +C . |
|
υ = ∫sin xdx = −cos x |
|
93
3.1.5. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Рассмотрим интегралы вида ∫ |
|
|
d x |
и ∫ |
d x |
. Они интегри- |
x |
2 |
+ px + q |
x2 + px + q |
|||
|
|
|
|
руются по следующей схеме:
● в знаменателе дроби в квадратном трехчлене выделяется полный квад-
рат;
● производится замена переменной, после которой интеграл становится табличным.
|
Пример 3.4. Найти ∫ |
|
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4x |
2 |
|
+12x +9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4x |
2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
3x + |
|
9 |
|
= |
|
|
|
2 |
+2 |
3 |
|
|
3 2 |
3 2 |
9 |
|
= |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
12x +9 =4 x |
|
|
4 |
|
4 x |
|
|
2 |
x + |
|
− |
+ |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
∫ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||
4x2 +12x +9 |
= |
|
|
|
|
+ |
3 |
2 |
|
|
9 |
+ |
9 |
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
x |
2 |
− |
4 |
4 |
|
4 x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
d x |
|
|
|
= |
|
t = x + |
3 |
|
= |
1 |
∫ |
dt |
= |
1 |
∫t−2dt = |
1 |
|
t−2+1 |
+C = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
t |
|
4 |
4 |
−2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
+ |
|
|
|
|
|
dt |
= d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
1 |
|
1 |
+C = − |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
t |
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
3.1.6. Интегрирование тригонометрических выражений
Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических выражений.
1.Интегралы типа
∫cos mx cos nxdx , ∫sin mx sin nxdx и ∫sin mx cos nxdx ,
где m и n – действительные числа, вычисляются при помощи известных тригонометрических формул, превращающих произведение в сумму.
cos mx cos nx = 12 cos(m − n)x + cos(m + n)x ,
94
sin mx sin nx = 12 cos(m − n)x −cos(m + n)x , sin mx cos nx = 12 sin (m − n)x +sin (m + n)x .
Пример 3.5. Найти ∫sin 2xcos5xdx .
Решение.
∫sin 2xcos5xdx = 12 ∫[−sin3x +sin 7x]dx = −12 ∫sin3xdx + 12 ∫sin 7xdx =
=−12 13 ∫sin3xd(3x) + 12 17 ∫sin 7xd(7x) =16 cos3x −141 cos7x +C.
2.Для вычисления интегралов типа
∫sinm x cosn xdx
применяются различные приемы в зависимости от того, в какой степени (четной или нечетной) находятся тригонометрические функции.
Рассмотрим два случая:
а). Если хотя бы одно из чисел m или n – нечетное положительное число, то необходимо «отделить» соответствующую тригонометрическую функцию (sin x или cos x ) и внести ее под знак дифференциала.
Пример 3.6. Найти ∫sin3 xdx .
Решение.
∫sin3 xdx = ∫sin2 xsin xdx = −∫sin2 xd(cos x) = −∫(1−cos2 x)d(cos x) = u = cos x =
= −∫(1 −u2 )du = −∫du + ∫u2du = −u + u3 |
+C = −cos x + cos3 x |
+C. |
|
|
3 |
3 |
|
б). Если m и n – четные положительные числа, то используются тригоно- |
|||
метрические формулы понижения степени: |
|
|
|
cos2 x = 1+ cos 2x , |
sin2 x = 1 −cos 2x . |
|
|
2 |
|
2 |
|
Пример 3.7. Найти ∫cos2 3xdx .
Решение.
95
∫cos2 3xdx = ∫1+ cos2 6x dx = 12 ∫dx + 12 ∫cos6xdx = 2x + 12 16 sin 6x +C .
Если производная полученного результата совпадает с подынтегральной функцией, то неопределенный интеграл найден верно.
3.1.7. «Неберущиеся» интегралы
Основная теорема интегрального исчисления утверждает, что если по-
дынтегральная функция непрерывна, то неопределенный интеграл существует, т.е. всегда существует первообразная. Однако первообразная не всегда яв-
ляется элементарной функцией.
Интегралы, первообразные которых не выражаются через элементарные функции, называются «неберущимися».
К числу «неберущихся» интегралов относятся, например,
∫e−x2 dx , ∫ |
ex |
dx , |
∫ |
sin x |
dx , |
∫ |
cos x |
dx , |
∫ |
dx |
и другие. |
x |
|
|
ln x |
||||||||
|
|
|
x |
|
x |
|
|
На практике для вычисления интегралов можно пользоваться справочниками, где существуют обширные таблицы интегралов от элементарных функций. Например, «Таблицы неопределенных интегралов» М.Л. Смолянского.
3.2.Определенный интеграл
3.2.1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Путь, пройденный телом
Рассмотрим задачу, обратную той, которая привела нас к механическому смыслу производной (см. параграф 2.5.). Будем считать, что нам известен закон изменения мгновенной скорости V =V (t ) при движении точки и теперь нас
интересует путь, пройденный материальной точкой за некоторый промежуток времени от t =T1 до t =T2 .
Так как движение не предполагается равномерным, то мы не можем вычислить путь как произведение скорости на истекшее время
S =V (T2 −T1 ).
Поэтому для вычисления пути поступим следующим образом. Разобьем
96
точками T1 = t0 ,t1,t2 ,…,tn =T2 |
весь промежуток времени на большое число ма- |
|||||||||||||||
лых, не обязательно равных друг другу интервалов времени [t0;t1], |
[t1;t2 ], …, |
|||||||||||||||
[tn−1;tn ], где t1,t2 ,…,tn−1 – некоторые промежуточные произвольно выбранные |
||||||||||||||||
моменты времени (рис. 3.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
τ1 τ2 |
|
|
|
|
τi |
|
|
|
τn |
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T1 =t |
0 t1 t2 |
|
|
ti−1 ti |
|
|
|
T2 = tn |
||||||||
Рис. 3.2. Вычисление пути, пройденного телом |
|
|||||||||||||||
Пусть τi – какой-либо момент времени из промежутка [ti−1;ti ]. Величина |
||||||||||||||||
V (τi ) есть скорость движения точки в момент τi . Тогда произведение |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
V (τi ) |
|
ti , |
|
|
|
|
|
|
||
где ti =ti −ti−1 – продолжительность |
i-ого |
промежутка времени, |
выражает |
приближенно путь, пройденный точкой за i-ый промежуток времени. Следовательно, сумма
S ≈ Sn =V (τ1 ) t1 +V (τ2 ) |
t2 +... +V (τn ) |
n |
|
tn = ∑V (τi ) ti |
(3.7) |
i=1
приближенно выражает путь, пройденный точкой за все время.
Формула (3.7) тем точнее, чем мельче будет разбиение основного проме-
жутка времени. Пусть d = max ti |
– продолжительность наибольшего проме- |
||
жутка времени. Тогда точное значение пути S получаем, переходя к пределу |
|||
суммы (3.7) при d = max ti →0 (при этом n → ∞) |
|
||
|
|
n |
|
S = |
lim |
∑V (τi ) ti . |
(3.8) |
|
d →0 |
i=1 |
|
|
(n→∞) |
|
|
Масса неоднородного стержня
Под неоднородным стержнем понимается тело, размеры которого учитываются только в одном направлении (например, только вдоль оси ОХ). Таким образом, поперечным сечением такого тела можно пренебречь, а массой пренебречь нельзя.
Если бы стержень был однородным, то его плотность измерялась бы отношением массы к его длине. Если же стержень неоднороден, то его плотность
97
в разных точках различная. Поэтому вводится понятие линейной плотности. Расположим стержень на оси ОХ. Под линейной плотностью стержня в
точке с абсциссой х понимают скорость изменения его массы по длине, т.е.
ρ = ρ(x)= lim |
m . |
x→0 |
x |
Линейная плотность ρ = ρ(x) является непрерывной функцией координаты х и ρ(x)≥ 0.
Пусть нам известна линейная плотность ρ = ρ(x) неоднородного стерж-
ня. Требуется найти его массу.
Так как стержень неоднородный ( ρ ≠ const ), то его массу М нельзя вы-
числить по формуле
M = (b − a) ρ ,
где а и b – границы стержня.
Для вычисления массы стержня поступим следующим образом. Разобьем
весь стержень произвольными точками x0 = a , x1, x2 ,…, xn = b на большое чис- |
|||||||||||||
ло малых, не обязательно |
равных друг другу участков |
[x0; x1], [x1; x2 ], …, |
|||||||||||
[xn−1; xn ] (рис. 3.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
c1 c2 |
|
|
|
|
ci |
cn |
||||||
a = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 x |
1 x2 |
|
|
|
xi−1 xi |
b = xn |
Рис. 3.3. Вычисление массы неоднородного стержня
В каждом участке [xi−1; xi ], i =1,2,…,n выберем произвольную точку ci [xi−1; xi ] и вычислим в ней значение линейной плотности ρ(ci ).
Так как длины участков [xi−1; xi ] малы, то изменение плотности на каж-
дом из них незначительно, и масса каждого участка приближенно будет равна |
||
произведению |
|
|
mi ≈ ρ(ci ) xi , |
|
|
где xi = xi − xi−1 – длина соответствующего участка стержня. |
|
|
Массу всего стержня приближенно можно посчитать по формуле |
|
|
n |
n |
|
M ≈ Mn = ∑mi = ∑ρ(ci ) xi . |
(3.9) |
|
i=1 |
i=1 |
|
Формула (3.9) тем точнее, чем мельче будет разбиение стержня на участ-
98
ки. Пусть d = max xi – длина наибольшего участка стержня. Тогда точное зна-
чение массы стержня получаем, |
переходя к |
пределу суммы |
(3.9) при |
|
d = max xi →0 (при этом n →∞) |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
M = lim |
∑ρ(ci ) |
xi . |
(3.10) |
|
d →0 |
i=1 |
|
|
|
(n |
→∞) |
|
|
|
3.2.2. Определение определенного интеграла
Выражения (3.8) и (3.10), получающиеся при решении различных задач, имеют одинаковую структуру. Аналогичные выражения получаются и во многих других задачах, что дает основание для следующего определения.
Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a;b], где a < b . Выпол-
ним следующие действия. |
x1, x2 ,…, xn = b (x0 < x1 < x2 <…< xn ) |
|
||||||||||||||||
С помощью точек x0 = a , |
разобьем |
|||||||||||||||||
произвольным образом отрезок [a;b] на n частичных отрезков [x0; x1], [x1; x2 ], |
||||||||||||||||||
…, [xn−1; xn ] (рис. 3.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
c1 |
c2 |
|
|
ci |
|
|
|
|
cn |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О a = x0 x1 x2 |
|
xi−1 xi |
|
|
|
|
xn = b х |
|
||||||||||
|
Рис. 3.4. Определение определенного интеграла |
|
||||||||||||||||
В каждом частичном отрезке [xi−1; xi ], i =1,2,…,n выберем произвольную |
||||||||||||||||||
точку ci [xi−1; xi ] и вычислим значение функции в ней, т.е. величину |
f (ci ). |
|||||||||||||||||
Умножим найденное значение функции |
f (ci ) |
|
на длину xi = xi |
− xi−1 со- |
||||||||||||||
ответствующего частичного отрезка: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (ci ) xi . |
f (ci ) |
|
|
|
|
|
||||
Составим сумму Sn всех произведений |
|
xi : |
|
|||||||||||||||
|
Sn = f (c1 ) |
x1 + f (c2 ) |
x2 +…+ f (cn ) |
|
|
n |
|
|||||||||||
|
xn = ∑ f (ci ) xi . |
(3.11) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
||
Сумма вида (3.11) называется интегральной суммой функции |
y = f (x) |
|||||||||||||||||
на отрезке [a;b]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99
Таким образом, суммы (3.7) и (3.9) являются интегральными.
Сумма (3.11) зависит от способа разбиения отрезка [a;b] на частичные отрезки и от способа выбора в них точек ci . Обозначим через d длину наибольшего частичного отрезка [xi−1; xi ], т.е. d = max xi (i =1,2,…,n). Рассмотрим различные разбиения отрезка [a;b] на частичные отрезки [xi−1; xi ] такие, что d = max xi →0 . Очевидно, что при этом число частичных отрезков стремится
к бесконечности. Для каждого |
разбиения, выбрав соответствующие точки |
||
ci [xi−1; xi ], можно составить интегральную сумму |
|
||
|
n |
(ci ) xi . |
|
|
Sn = ∑ f |
|
|
|
i=1 |
|
|
Рассмотрим последовательность разбиений при d = max |
xi →0 ( n → ∞) |
||
и найдем предел |
n |
|
|
|
|
|
|
lim |
∑ f (ci ) |
xi . |
(3.12) |
d →0 |
i=1 |
|
|
(n→∞) |
|
|
|
Если предел (3.12) существует и не зависит от способа разбиения от-
резка [a;b] на частичные отрезки и от способа выбора в них точек ci , то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f (x)
|
|
b |
|
|
|
|
|
на отрезке [a;b] и обозначается ∫ f (x)dx , т.е. |
|
|
|
||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
(ci ) |
b |
(x)dx |
|
|
|
lim |
∑ f |
xi = ∫ f |
, |
(3.13) |
||
|
d →0 |
i=1 |
|
a |
|
|
|
|
(n→∞) |
|
|
|
|
|
|
где числа а и b – называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования; отрезок [a;b] – областью (отрезком) интегрирования.
С учетом (3.13) равенства (3.8) и (3.10) соответственно будут иметь вид
T |
|
S = ∫2 V (t )dt |
(3.8’) |
T1 |
|
и |
|
b |
|
M = ∫ρ(x)d x . |
(3.10’) |
a
100