Учебное пособие 1604
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра строительной механики
Расчет геометрических характеристик плоских фигур
Методические указания к расчетно-графической работе
по курсам «Техническая механика» и «Сопротивление материалов» для студентов, обучающихся по направлению «Строительство»
ВОРОНЕЖ 2014
1
УДК 624
ББК 30.121
Составители Н.А. Барченкова, Н.Ф. Голева, В.М. Флавианов
Расчет геометрических характеристик плоских фигур : метод. указания
к расчетно-графической работе по курсам «Сопротивление материалов» и «Техническая механика» / Воронежский ГАСУ ; сост.: Н.А. Барченкова, Н.Ф. Голева,
В.М. Флавианов – Воронеж, 2014 – 28 с.
Даются указания по определению положения главных центральных осей инерции и расчету главных центральных моментов инерции, а также соответствующих радиусов инерции для сложных плоских фигур, составленных из простейшей (прямоугольник, треугольник и т. п.), объединенной с прокатным профилем (двутавр, швеллер). Приводятся примеры аналитических расчетов и результаты вычислений на ПЭВМ. В приложениях 1, 2, 3 представлены геометрические характеристики простейших фигур и сведения из ГОСТ о прокатных двутаврах и швеллерах.
Предназначаются для студентов, обучающихся по направлению «Строительство» дневной формы обучения в объеме бакалавриата.
Ил. 11. Библиогр.: 4 назв.
УДК 624
ББК 30.121
Печатается по решению научно-методического совета Воронежского ГАСУ
Рецензент – В.С. Сафронов., д. т. н., проф. кафедры строительной механики Воронежского ГАСУ
2
Введение
В сопротивлении материалов изучается напряженно-деформированное состояние элементов конструкций, в основном брусьев (стержней), с целью обеспечения их прочности, жесткости и устойчивости. Установлено, что сопротивление отдельного элемента внешним воздействиям (нагрузкам, температуре и др.) зависит не только от механических свойств материала, но и от геометрических характеристик поперечного сечения. Последнее представляет собой плоскую фигуру перпендикулярную (ортогональную) его геометрической оси.
На первом этапе прочностных расчетов обязательным является определение местоположения системы координат, в которой справедливы все формулы для вычисления напряжений и деформаций. Она обычно обозначатся x,y,z (рис. 1), где x – продольная (геометрическая) ось стержня С-С, соединяющая центры тяжести поперечных сечений; а оси y,z – главные центральные оси инерции поперечного сечения бруса. Заметим, что в учебной и научной литературе возможны другие обозначения осей. Также очень важны для оценки прочности, жесткости и устойчивости элементов конструкций найденные в этих осях геометрические характеристики сечения: главные центральные моменты инерции, главные центральные радиусы инерции, поскольку они используются во всех расчетных формулах.
C |
|
z |
C |
x |
y |
|
а) левая отсеченная часть
C
y |
|
C |
x |
z |
|
б) левая отсеченная часть с поворотом на 180º
Рис. 1. Поперечное сечение бруса. y, z– главные центральные оси.
3
1. Краткие теоретические сведения
Поскольку сами понятия, рассматриваемых здесь геометрических характеристик и метод их расчета, не связаны со стержнем в целом, для упрощения рассмотрим в дальнейшем направление осей как представлено на рис. 1б.
Перечислим основные геометрические характеристики произвольной плоской фигуры (рис. 2а), приведя их строгие математические определения в интегральной форме с указанием единиц измерения.
а) поперечное сечение бруса |
б) расположение произвольных, центральных |
|
и главных центральных осей координат |
Рис. 2. Произвольная плоская геометрическая фигура.
- Площадь: |
А dА 0 |
[м2] |
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
- Статические моменты: относительно осей |
|
соответственно: |
|
||||||
Sy |
zdA; |
, |
0, |
|
м |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sy |
zdA; |
, |
0, |
|
м |
3 |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
- c - центр тяжести всей фигуры, его координаты в осях |
: |
|
|||||||
yc |
Sz A ; |
zc |
Sy |
A |
|
|
|
(3) |
|
Примечание: относительно центральных осей |
Syc |
0 ; |
Szc 0. |
(4) |
|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
- Моменты инерции: осевые |
J y |
2 |
dA, |
Jz |
2 |
dA; |
0, |
|
4 |
(5 ) |
||
z |
y |
м |
|
|||||||||
|
|
A |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
центробежный |
J yz |
yzdA; |
|
, 0, |
|
4 |
|
|
|
|
(5 ) |
|
м |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полярный |
J |
dA Jz |
J y ; |
0, |
|
м |
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
A
При параллельном переносе осей, следуя теореме о взаимной зависимости моментов инерции относительно параллельных осей (рис. 2б) используют формулы:
J y J y |
zс2 A |
|
|
||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
z |
J |
zc |
y2 A |
|
|
|
|
|
с |
|
(6) |
|||
|
|
|
|
|
|
||
J zy |
|
J y z |
c |
yс zс A |
|
||
|
|
c |
|
|
|
|
где |
|
|
значения центральных моментов инерции относительно |
|
осей |
, |
а |
- координаты центра тяжести С относительно параллель- |
|
ных осей Y, |
Z. |
|
|
|
|
Среди всех взаимно ортогональных центральных осей |
(рис. 2б), по- |
лученных путем вращения вокруг центра тяжести фигуры С, выделяют две
главные центральные оси инерции (), которые имеют сле-
дующие свойства:
1.взаимно ортогональны;
2.проходят через центр тяжести фигуры;
3.осевые моменты инерции относительно них принимают экстремальные значения
4.центробежный момент инерции равен нулю.
Расположение главных осей |
по отношению к централь- |
ной системе координат определяется через угол между осями и
.
Найденные относительно главных центральных осей моменты инерции называют главными центральными моментами инерции. В глав-
ных центральных осях для отражения инерционных свойств фигуры изображается главный центральный эллипс инерции с полуосями . При
необходимости с помощью главного центрального эллипса инерции можно определить момент инерции фигуры относительно произвольной оси.
Все используемые расчетные формулы будут приведены ниже в пункте 3.
5
Обычно в последующих разделах сопротивления материалов для упрощения обозначений индексы в записи указанных выше главных центральных осей , геометрических характеристик ,
опускают, т.е. записывают .
2. Задание
Студенту выдается схема плоской сложной фигуры, составленной из простейшей геометрической фигуры и прокатного профиля (прил. 1, 2, 3).
Требуется:
1.Изобразить в масштабе заданную сложную фигуру с разбиением на простейшие с указанием характерных размеров.
2.Определить площади простейших фигур, а также положения их центров тяжести и собственных центральных осей.
3.Определить положение центра тяжести всей фигуры и ее центральных осей.
4.Вычислить осевые и центробежный моменты инерции каждой простейшей фигуры относительно собственных центральных осей.
5.Вычислить осевые и центробежный моменты инерции всей фигуры относительно найденных центральных осей.
6.Найти главные моменты инерции и установить положение главных центральных осей инерции.
7.Построить главный центральный эллипс инерции в найденных осях.
8.Выполнить поверочный расчет на ПЭВМ (по желанию студента).
3. Рекомендации по выполнению работы. Расчетные формулы
Поскольку к расчету предлагается фигура, состоящая из нескольких простейших (треугольник, прямоугольник, сектор, прокатный профиль и т.д.), то исходные формулы(1-6)можно существенно упростить, заменяя в них интегралы на суммы. Это позволяет использовать более простые расчетные формулы, которые приведены ниже в п.п 3.2 – 3.7.
Численные расчеты проводятся по правилам приближенных вычислений. Для простейших геометрических фигур аналитические выражения, перечисленных геометрических характеристик (1, 5’, 5’’) относительно их собственных центральных осей приведены в прил. 1, где приняты стандартные обозначения: h – характерный размер вдоль оси y, b – характерный размер вдоль оси z, r – радиус окружности (части окружности), центр тяжести. Для стандартных прокатных профилей все необходимые данные представлены в
прил. 2,3.
3.1 Изображается в масштабе заданная сложная фигура с разбиением на простейшие и указанием всех характерных размеров. Прокатные профили упрощенно представляются набором прямоугольников. Все обозначения должны соответствовать принятым в прил. 1,2,3.
6
3.2 Определяются площади простейших фигур А1, А2, … An, а также положения их центров тяжести C1, C2, … Cn, изображаются собственные центральные оси Площадь всей фигуры (1) рассчитывается по формуле
n |
|
|
A |
A |
(7) |
i 1 |
i |
|
Фигуру относят к произвольной прямоугольной системе координат, расположением которой задаются из соображений удобства последующего расчета.
Устанавливаются координаты центров тяжести составляющих частей. Вычисляются статические моменты (2)
(8)
3.3 Определяется положение центра тяжести С всей фигуры и ее центральные оси. Для этого находят координаты центра тяжести С заданной фигуры в осях по формулам (3)
yc Sz A ; |
zc Sy |
|
A |
(9) |
|||
Изображаются центральные оси Yc, Zc |
с началом координат в точке С. |
||||||
Вычисляются координаты |
в этих осях по формулам параллельного переноса |
||||||
y |
y |
y , |
z |
z |
|
z |
(10) |
i |
ci |
c |
i |
ci |
c |
|
и также показываются на рисунке.
Проверка 1: Если в пределах точности произведенных вычислений удовлетворяются условия:
(11)
то выполняются последующие расчеты. В противном случае предварительно устраняются ошибки.
3.4 Для каждой из составляющих фигур по формулам прил. 1 - 3 определяются осевые моменты инерции и центробежный момент инерции
относительно собственных центральных осей . Заметим, что если прокатный профиль повернут на 90° по сравнению с изображенным в прил. 2 и
7
3, то значения |
следует поменять местами и принимать соответственно |
|
равными |
. Для них с учетом симметрии принимается |
. |
Примечание: главная ось всегда совпадает с осью симметрии фигуры. |
|
3.5 Используя формулы параллельного переноса (6) вычисляются осевые и центробежный моменты инерции всей заданной фигуры относительно
центральных осей
J yc (J yci zi2 Ai );
Jzc i (Jzci yi2 Ai );
i |
(12) |
|
J yc zc (J yci zci yi zi Ai ) |
||
|
||
i |
|
3.6 Определяются главные моменты инерции и устанавливается положение главных центральных осей инерции. Для этого вычисляют значения главных моментов инерции по формулам:
Jmax ( I ) |
J |
yc |
J |
zc |
|
|
J |
yc |
J |
zc |
2 |
J yczc2 |
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||
min ( II ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее находят угол наклона к оси главной центральной оси , момент инерции относительно которой равен , из выражения
|
tg max |
J yc zc |
Jzc |
Jmax |
(14) |
В случае |
ось |
изображают под углом |
, отмеряемым от |
||
против хода часовой стрелки, а при |
|
- по направлению движения |
|||
часовой стрелки. Вторую главную ось |
|
, относительно которой вычислен |
, проводят через центр тяжести перпендикулярно .
Проверка 2: Поскольку инварианты линейных преобразований не зависят от выбора системы координат, то в переделах точности выполненных вычислений должны удовлетворяться условия
Jmax Jmin |
J yc Jzc |
|
|
|
2 |
|
|
Jmax Jmin J yc Jzc - J yc zc |
(15) |
||
|
|
|
8
3.7 Для построения главного центрального эллипса инерции определяют главные радиусы инерции по формулам:
imax ( I ) |
|
imin( II ) |
|
|
|
|
Jmax( I ) A, |
Jmin( II ) |
A; |
(16) |
|||
Вновь изображают заданную фигуру. Проводят главные централь- |
||||||
ные оси инерции |
, на которых по обе стороны от центра тяжести |
|||||
С откладывают радиусы инерции ( |
от оси |
, |
|
от оси |
). По- |
сле чего любым из известных способов строят эллипс инерции с полуосями, равными и .
Примечание: если в сложной фигуре имеется выемка, то соответствующие ей геометрические характеристики из прил. 1 берутся в расчетах с противоположным знаком.
4.Рекомендации по выполнению расчетов на ПЭВМ
Для расчетов на ПЭВМ используется программа «МОМ _ИН.mws» (автор: доц. А.Н. Аверин), написанная в среде Maple 7.
4.1 Подготовка исходных данных
Заданная сложная фигура относится к произвольной системе координат (ось направлена влево, вверх). За начало координат принимается произвольная точка (например: центр дуги окружности, центр тяжести сложной фигуры или др.). Все характерные точки наружного контура нумеруются: 1, 2, 3…, следуя направлению по ходу часовой стрелки. При наличии внутреннего контура (выемки ) его вершины нумеруются против хода часовой стрелки с указанием места входа на внутренний контур и выхода из него путём двойной нумерации (пример 3). Дуги окружности разбиваются на участки по 10-15ои заменяются ломаными (пример 3). У прокатных профилей все закругления спрямляются, результаты сводятся в таблицу (пример 1, 2, 3).
4.2Подготовка текстового документа
Впапке <<STROIMEH>> открывается папка с примером <<МОМЕНТ ИНЕРЦИИ>> и текстовый документ <<ПРИМЕР.txt>>, приведенные в нем данные необходимо исправить следующим образом. В строке <<ЧИСЛО ВЕРШИН ФИГУРЫ>> указывается истинное количество вершин, принятой к расчёту фигуры. Блок <<ПРИЗНАК СИММЕТРИИ>> остается без изменений. Затем построчно вводятся номера вершин с соответствующими координатами
9
Лишние строки удаляются. Отредактированный текстовый документ со-
храняется под индивидуальным именем файла: |
|
||
Файл |
сохранить как |
имя файла.txt |
выход (или свернуть) |
4.3 Расчет и печать результатов
Запускается программа «МОМ_ИН.mws». В строке CF:="ПРИМЕР.txt" слово «ПРИМЕР» заменяется на имя файла. Далее выполняется часть расчета – построение фигуры по заданным координатам. Для этого курсор устанавливается после имени и нажимается «ENTER». Если конфигурация фигуры не совпадает с исходной, то необходимо выявить и устранить ошибки. При совпадении рисунков переходят к выполнению расчета. Для этого курсор переносится в блок «РЕЖИМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ» и устанавливается в конец строки и нажимается клавиша «ENTER».
Для получения распечатки необходимо обратиться к дежурному преподавателю. Завершая расчеты, выйти из программы без сохранения (т.е. на запрос о сохранении ответить: «НЕТ»).
Примечание: при выполнении исправлений необходимо свернуть программу, вновь открыть свой текстовый документ с исходными данными, откорректировать, сохранить, вернуться в программу «МОМ_ИН.mws» и еще раз повторить вышеуказанные действия.
5. Пример 1. Несимметричная фигура
|
|
Yс |
Y |
|
|
|
|
Yс2 |
|
|
|
|
2 |
6,50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zс2 |
|
C2 |
|
|
7,00 |
Zс |
|
|
|
||
|
C |
|
|
||
|
|
7,20 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Yс1 |
|
|
|
1,67 |
|
|
15,96 |
17,5 |
|
Zс1 |
|
C1 |
14,00 |
||
|
|
||||
|
|
11,33 |
|||
0,49 |
|
0,81 |
7,00 |
|
|
|
|
|
|
||
Z |
|
|
o |
|
|
|
|
5,8 |
|
|
|
|
|
13,00 |
|
|
|
Рис. 3. Характерные размеры фигуры, см. |
1.На рис. 3 изображена в масштабе фигура, разобьем её на простейшие:
10