Учебное пособие 1225
.pdfА. П. Бырдин, А. А. Сидоренко, О. А. Соколова
МАТЕМАТИКА:
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Практикум
|
|
|
|
|
|
³³³divFdV |
³³FndS |
||||
V |
S |
Воронеж 2021
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко, О. А. Соколова
МАТЕМАТИКА:
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Практикум
Воронеж 2021
УДК 517.9(075.8) ББК 22.161(я7)
Б95
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра математического моделирования Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В. А. Костин); И. В. Колесникова, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического анализа ВГУ
Бырдин, А. П. |
|
|
|
|
|
|
Математика: |
функции |
нескольких |
переменных, |
|||
интегральное |
исчисление: |
практикум / |
А. |
П. |
Бырдин, |
|
Б95 А. А. Сидоренко, |
О. А. Соколова; ФГБОУ ВО |
«Воронежский |
||||
государственный |
технический |
университет». |
– |
Воронеж: |
Изд-во ВГТУ, 2021. – 73 с.
ISBN 978-5-7731-0984-6
Практикум содержит теоретический материал, необходимый для решения прикладных задач, который иллюстрируется большим количеством примеров. Имеются задачи для самостоятельного решения и типовых расчетов.
Предназначен для студентов первого курса по направлению 18.03.01 «Химическая технология» (профиль «Технология неорганических и полимерных композиционных материалов»), дисциплине «Математика».
Ил. 14. Библиогр.: 6 назв.
УДК 517.9(075.8) ББК 22.161(я7)
Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ISBN 978-5-7731-0984-6 |
© Бырдин А. П., Сидоренко А. А., |
|
Соколова О. А., 2021 |
|
© ФГБОУ ВО «Воронежский |
|
государственный технический |
|
университет», 2021 |
4
ВВЕДЕНИЕ
При написании практикума авторы использовали опыт проведения практических занятий по курсу «Математика» для различных специальностей Воронежского государственного технического университета. В частности, данное издание предназначено для студентов очной формы обучения направления подготовки бакалавров «Технология неорганических и полимерных композиционных материалов» и написано в соответствии с рабочей программой этой специальности, но может быть использовано и для студентов других специальностей.
В практикуме представлен материал, который изучается во втором семестре. Цель работы – помочь студентам усвоить и закрепить основные положения функции нескольких переменных и интегрального исчисления.
При написании практикума авторы стремились изложить материал по возможности полно, строго и доступно. Представленная работа направлена на совершенствование учебного процесса и способствует целенаправленному использованию знаний математики. Практикум поможет студентам лучше усвоить теоретический материал, даст возможность самостоятельно научиться решать типовые задачи, подготовиться к экзамену или зачету.
По каждому разделу приведены примеры решения задач, а также многочисленные задачи для контроля усвоения материала. Ко всем рекомендуемым для самостоятельного решения задачам приведены ответы. Поэтому представленное издание полезно использовать преподавателями для проведения практических занятий.
Все приведенные в работе иллюстрации являются авторскими.
1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.1. Понятие функции двух переменных
Говорят, что определена функция z f (x, y) двух переменных x, y , если каждой паре значений независимых переменных (аргументов) x, y из области D
по некоторому закону f ставится в соответствие определенное значение переменной z из множества Z. Область D называется областью определения функции z, а множество Z- множеством значений функции. Поскольку каждой паре чисел x, y на плоскости Oxy можно поставить в соответствие точку
M (x, y) , то функцию двух переменных рассматривают как функцию точки М z f M из некоторой области D плоскости Oxy .
3
Геометрической интерпретацией функции двух переменных является поверхность (рис. 1), аппликата каждой точки которой вычисляется по закону
z f (x, y) . Например, для функции z 1 x2 y2 геометрическим образом является верхняя полусфера. Область определения данной функции определяется неравенством 1 x2 y2 τ 0 или x2 y2 δ1.
|
|
|
Z= f (x,y) |
|
z |
|
|
|
|
|
ξ P (x1,y1 |
,z1) |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
x |
M |
|
|
x |
Рис. 1 |
|
Существует еще один способ изображения функции двух переменных, основанный на построении сечений поверхности z f (x, y) плоскостями z c ,
где с - любое число. Линией уровня называется множество точек плоскости Oxy , в которых функция принимает одно и то же значение с. Множество линий
уровня дает представление о поверхности подобно тому, как в картографии линии уровня описывают рельеф местности.
1.2. Частные производные и частные дифференциалы первого порядка
Пусть функция z f (x, y) определена и непрерывна в точке M0 (x0 , y0 ) и ее некоторой окрестности. Зафиксируем значение у = у0, а переменная х пусть
испытает приращение х. При этом переместимся из точки M0 (x0 , y0 ) в точку |
|||||||||||
M1 x0 x, y0 . |
Получим функцию одной переменной z f (x, y0 ) . Разность |
||||||||||
x z f x0 x, y0 f x0 , y0 называется частным приращением функции z по |
|||||||||||
переменной х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частной производной функции |
z по переменной х в точке M0 (x0 , y0 ) |
||||||||||
называется предел отношения |
x z |
|
при хο0 |
|
|
||||||
x |
|
|
|||||||||
ωz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
χ |
|
x z |
|
|
f (x0 |
x, y0 ) f (x0 , y0 ) |
|
|||
ωx |
= fx (x0 , y0 ) = |
lim |
|
|
|
= |
lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
x |
|||||||
|
|
xο0 x |
|
|
xο0 |
|
|
В определении частной производной по переменной x переменная у фиксирована, а х изменяется.
4
При перемещении из точки M0 (x0 , y0 ) в точку M2 (x0 , y0 y) |
получим |
||||||||||||||||||||||||||
частное |
|
приращение |
|
|
|
|
|
функции |
|
|
z |
|
|
по |
|
|
переменной |
||||||||||
y y z f x0 , y0 y f x0 , y0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Частной производной функции z по переменной |
y в точке M0 (x0 , y0 ) |
||||||||||||||||||||||||||
называется предел отношения |
|
|
y z |
при |
y ο 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
ωz |
|
|
|
|
y z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
χ |
χ |
|
|
|
|
|
= |
|
f (x |
0 |
, y |
0 |
y) f (x |
0 |
, y |
0 |
) |
|
. |
|||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
z y = |
ωy |
= f y (x0 , y0 ) = |
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
yο0 |
|
|
|
yο0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Частные |
производные |
|
|
ωz |
|
и |
|
ωz |
|
характеризуют |
мгновенную |
скорость |
|||||||||||||||
|
|
ωx |
|
ωy |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изменения функции z в точке M0 (x0 , y0 ) в направлении координатных осей Ox
и Oy .
При вычислении частных производных остаются в силе правила дифференцирования функции одной переменной, а также таблица производных, если другие аргументы считаются постоянными величинами.
Пример. Найти частные производные функции z |
x3 9x2 y y4 . |
||||||||||||
Решение. |
ωz |
=3x2 |
18xy , |
|
ωz |
=9x2 4y3 . Здесь при нахождении |
ωz |
||||||
|
ωx |
|
|
ωy |
|
|
|
ωz |
|
ωx |
|||
переменная y считается константой, при нахождении |
переменная x |
||||||||||||
ωy |
|||||||||||||
считается константой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ln( x2 y y3) . |
||||||
Пример. Найти частные производные функции z |
|||||||||||||
Решение. |
|
ωz |
|
2xy |
, |
ωz |
x2 3y2 |
. |
|
|
|
||
|
ωx |
x2 y y3 |
ωy |
x2 y y3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Пусть уравнение z f (x, y) есть уравнение поверхности,
изображенной на рис. 2.
Проведем плоскость x x0 . В сечении этой плоскостью поверхности получается линия L2 . При данном х0 рассмотрим на плоскости точку М0. На
поверхности ей соответствует точка Р. Частная производная ωωyz равна тангенсу угла, образованного касательной к кривой L2 в точке М с положительным
направлением оси Oy : |
ωz |
|
|
M 0 |
tgΕ . Для уточнения стоит отметить, что |
|
|||||
ωy |
|
||||
|
|
|
|||
касательная лежит в плоскости |
x x0 . |
5
По аналогии частная производная ωωxz численно равна тангенсу угла наклона касательной к линии L1, представляющей сечение поверхности
z f x, y плоскостью y y0 , т.е. |
ωz |
|
M0 |
tg . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ωx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ε |
||||
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2
1.3. Полное приращение функции и полный дифференциал
Пусть функция двух переменных |
f (x, y) определена и непрерывна в |
точке M0 (x0 , y0 ) и ее окрестности. Если переменные x и y изменились, приняв |
|
значения x x0 x и y y0 y , то |
функция f (x, y) испытала полное |
приращение z |
f (M ) f (M0 ) |
|
f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ) , соответствую- |
||||
щее перемещению из точки в точку |
M (x, y) . |
|
|
|
|||
Функция z |
f (x, y) называется дифференцируемой в точке M0 (x0 , y0 ) , |
||||||
если |
полное |
приращение |
|
функции |
представимо |
в |
виде: |
χ |
|
χ |
x Εy , где выражение x Εy является |
||||
z= fx |
(x0 , y0 ) x+ f y (x0 , y0 ) y+ |
бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению сx и y , а частные производные функции являются непрерывными функциями
в некоторой окрестности точки M0 (x0 , y0 ) .
Линейная по x и y часть полного приращения функции f (x, y) называется полным дифференциалом функции f (x, y) в точке М0(х0,у0) и обозначается dz:
χ |
(x0 |
|
|
χ |
|
|
χ |
(x0 , y0 ) у |
или |
dz fx |
, y0 ) x f y (x0 |
, y0 ) y х f y |
|||||||
dz |
χ |
(x0 |
|
χ |
(x0 |
, y0 )dy . |
|
(1.1) |
|
fx |
, y0 )dx f y |
|
Если функция f (x, y) дифференцируема в точке M0 , то она непрерывна в этой точке.
6
|
|
|
|
|
|
1.4. Производная по направлению. Градиент |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Для |
описания |
|
скорости |
|
изменения |
функции |
u |
f (x, y, z) |
|
в |
точке |
|||||||||||||||||||||||||||
M (x, y, z) по направлению, задаваемому вектором |
|
lG |
cos |
,cosΕ ,cosϑ `, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вводят понятие производной по направлению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Проведем из точки M (x, y, z) прямую L , параллельную вектору lG. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Выберем на прямой |
L вторую точку M1 x x, y y, z z , |
отстоящую от |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки M на расстоянии l |
x 2 y 2 z 2 . При переходе от точки M |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
к точке M1 функция |
u |
|
f (x, y, z) |
испытывает приращение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u f x x, y y, z z f x, y, z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Производной функции |
u |
|
f (x, y, z) |
в точке M по направлению вектора |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
lG называется предел отношения |
'u |
при стремлении точки M1 к точке M |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'l |
|
'u |
wu . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lο0 'l |
wl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Если |
функция |
|
u f (x, y, z) |
дифференцируема, |
то |
производная |
этой |
|||||||||||||||||||||||||||||||
функции по направлению вектора lG имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
wu |
|
wu cos |
|
wu cosΕ wu cosϑ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.2) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
wl |
|
wx |
|
|
|
|
wy |
|
|
wz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
cos |
|
|
lx |
|
|
|
; cosΕ |
|
|
|
|
|
ly |
|
|
|
; |
cosϑ |
|
|
|
|
lz |
|
|
- |
|
|
|||||||||||
|
lx2 ly2 lz2 |
|
|
|
|
lx2 ly2 lz2 |
|
|
lx2 l y2 lz2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
направляющие косинусы вектора lG. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Пример. Вычислить производную функции u xy2 z3 в точке M 3,2,1 в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
направлении вектора lG |
3,4, 1`. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lG: |
||||||||||||||
|
|
Решение. |
Найдем |
направляющие |
|
косинусы |
|
|
вектора |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
, cosΕ |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
, cosϑ |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
. |
|||||||||
|
|
32 42 1 2 |
|
26 |
|
|
|
|
32 42 1 2 |
|
|
|
26 |
|
|
32 42 1 2 |
|
26 |
|
|||||||||||||||||||||
Вычислим |
значения |
|
частных |
производных в |
точке M 3,2,1 : |
wu |
y2 z3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
wu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§wu · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wx |
|
|
|||||
2xyz3 ; |
wu |
|
3xy 2 z2 ; |
|
|
|
|
|
4 ; |
|
|
|
|
|
§wu |
· |
|
|
12 ; |
§wu · |
36 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
¸ |
|
|
|
|
|
¨ |
|
¸ |
|
|
¨ |
|
¸ |
|||||||||||||||||||
wy |
|
|
|
|
wz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© wx ¹M |
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
¸ |
|
|
|
|
© wz ¹M |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
© wy |
¹M |
|
|
|
|
||||||||||||||
Следовательно, |
wu |
4 |
|
3 |
12 |
|
4 |
|
36 |
|
|
|
|
|
24 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
wl |
|
26 |
|
26 |
|
26 |
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
В случае функции двух переменных z |
z x, y имеем: lG |
cos |
|
,sin |
` и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
wz |
wz cos |
|
wz sin |
|
, где |
- угол, образованный вектором |
lG с осью Оx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
wl |
wx |
|
wy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить производную функции z |
xy y2 по направлению |
||||||||||||||||||
вектора lG |
3,4` в точке M 1,2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Найдем направляющие косинусы вектора |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
cos |
|
3 |
|
|
3 |
, |
sin |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
. |
|
|
32 42 5 |
|
|
32 42 |
|
5 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вычислим частные производные функции в точке |
M 1,2 : f xχ x, y y , |
||||||||||||||||||
f xχ 1,2 |
2, f yc x, y |
x 2y , |
f yc 1,2 |
1 4 |
5. Производная по направлению |
||||||||||||||
вектора lG |
в точке M равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
wz |
wz cos |
wz sin |
= 2 |
3 |
5 |
4 |
|
26 |
. |
|
||||||||
|
wl |
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
wx |
|
wy |
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
Во многих задачах при изучении поведения функции в данной точке пространства наибольший интерес представляет вопрос о направлении быстрейшего возрастания функции в точке. Это направление задаётся специальным вектором – градиентом.
Пусть функция u f (x, y, z) имеет в точке M (x, y, z) непрерывные частные производные. Тогда из точки M (x, y, z) можно построить вектор,
координатами которого являются частные производные функции в этой точке. Такой вектор называется градиентом функции в точке M (x, y, z)
grad u |
wu |
, |
wu |
, |
wu ½ |
wu G |
|
wu G |
|
wu |
||
® |
wy |
¾ |
wx |
i |
wy |
j |
wz |
|||||
|
¯wx |
|
|
wz ¿ |
|
|
|
|
||||
Аналогично определяется |
|
градиент |
|
функции |
u f (x, y) . Это – вектор на плоскости Oxy
kG.
двух переменных
gradu(M ) |
wu G |
|
wu G |
|
||
wx |
i |
wy |
j . |
|
||
|
|
|
|
|
||
Пример. Найти градиент функции u |
|
x2 y2 |
в точке М1(2,1). |
|||
Решение. grad u 2xiG 2yGj , grad u M1 |
4iG |
2 Gj . |
Вектор grad z указывает направление наибыстрейшего роста функции z f x, y в данной точке, а его модуль характеризует наибольшую скорость возрастания функции в этой точке.
1.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков
Пусть дана функция z f (x, y) . Частные производные wwxz fxc(x, y) и
ωz |
f yχ |
(x, y) могут быть рассмотрены как новые функции двух переменных х и у. |
|
ωy |
|||
|
|
||
|
|
8 |
Поэтому от них можно снова находить частные производные.
Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка и обозначаются
следующим образом: |
w2 z |
w §wz · |
cc |
|
|
|
w2 z |
w §wz · |
cc |
(x, y) ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
¨ |
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
¸ |
|||||||||||
wx |
2 |
|
f xx (x, y) ; |
|
|
wxwy |
|
|
f xy |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
wx ©wx ¹ |
|
|
|
|
|
|
wy ©wx ¹ |
|
|
|||||||||||
|
w |
2 |
z |
|
|
w |
§ |
· |
|
|
|
w |
2 |
z |
|
w |
§ |
|
· |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
¨wz ¸ |
|
f cc (x, y) ; |
|
|
¨ wz |
¸ |
|
f cc (x, y) . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
wywx |
|
|
|
¨ |
¸ |
|
yx |
|
wy |
2 |
|
wy |
¨ |
|
¸ |
|
yy |
|
|
|||||
|
|
|
wx ©wy ¹ |
|
|
|
|
©wy ¹ |
|
|
|
||||||||||||||
Производные |
|
χχ |
|
|
|
|
χχ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f yx (x, y) , |
fxy (x, y) называются смешанными производными |
второго порядка. Смешанные производные второго порядка, вычисленные с помощью различной последовательности дифференцирования по переменным
x и y , равны при условии, что они непрерывны |
w2 z |
|
= |
w |
2 z |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
wywx |
wxwy |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Найти |
|
частные |
|
производные |
|
второго |
|
порядка |
функции |
||||||||||||||||||
z x5 x4 y2 y3 xy 8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. |
wz |
5x4 |
4x3 y2 y , |
|
wz |
|
2x4 y 3y2 |
x, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
wx |
|
|
|
|
|
|
|
|
wy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w2 z |
20x3 12x2 y2 , |
w2 z |
|
2x4 |
|
|
|
|
w2 z |
|
8x3 y |
§ w2 z |
· |
|||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
6 y , |
|
|
|
|
|
|
; ¨ |
|
|
8x3 y ¸. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
wx |
|
|
|
|
|
|
wy |
|
|
|
|
|
|
|
wxwy |
|
|
|
|
¨ |
|
|
¸ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
©wywx |
¹ |
||||||||
Частные производные от частных производных второго порядка образуют |
||||||||||||||||||||||||||||
частные производные третьего порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
w3 z |
|
w |
§w2 z · |
|
w |
3 z |
w § w2 z |
· |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
¨ |
2 |
¸; |
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wx |
|
wx |
¨ |
¸ |
|
wx |
2 |
wy |
|
¨ |
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
©wx |
|
¹ |
|
|
wx ©wywx |
¹ |
|
|
|
|
|
и т.д.
Рассмотрим дифференциалы второго и более высоких порядков для функции z f (x, y) , имеющей непрерывные частные производные высоких
порядков. Полный дифференциал первого порядка
c |
(x, y)dx + |
χ |
dz fx |
f y (x, y)dy |
содержит dx 'x и dy 'y. Эти величины не зависят от х и у, поэтому при
дифференцировании по х или у их можно считать постоянными.
Полный дифференциал от полного дифференциала первого порядка называется полным дифференциалом второго порядка и обозначается
d 2 z d dz : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
χ |
χ |
c |
|
|
|
χ |
χ |
|
|
|
|
z d zxdx z y dy = ( fx |
(x, y)dx+ f y (x, y)dy)x dx+ |
|
|
||||||||
c |
|
|
χ |
|
χ |
|
|
cc |
χχ |
|
|
|
+ ( fx |
(x, y)dx + f y (x, y)dy) y dy =[ fxx (x, y)dx+ f yx (x, y)dy]dx + |
|
|
|||||||||
χχ |
|
χχ |
|
cc |
|
2 |
|
χχ |
χχ |
2 |
. |
|
+[ fxy (x, y)dx + |
f yy (x, y)dy]dy = fxx (x, y)dx |
|
+2 f xy (x, y)dxdy |
+ f yy (x, y)dy |
|
|||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|