Учебное пособие 995
.pdf
|
1 |
|
|
1 x x2 ... ( 1)n xn ...; |
1;1; |
|
||||||||||||||||
6.2. 1 x |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 3 |
|
1 3 5 |
|
|||||||
6.3. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
x2 |
x3 |
x4 ... |
||||||||
|
|
1 x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 6 |
2 4 6 8 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 4 |
|
|
||||||||
... ( 1)n |
1 3 5...(2n 3) |
xn ...; |
1:1; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 4 6 8...2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6.4. |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
x |
|
|
1 3 |
x2 |
1 3 5 |
x3 |
1 3 5 7 |
x4 ... |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 6 |
2 4 6 8 |
||||||||||||
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
2 4 |
|
|
|||||||||||
... ( 1)n |
1 3 5...(2n 1) |
xn ...; |
1;1. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 4 6 8...2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. Применения степенных рядов
2.6.1. Вычисление значений функций
Для вычисления приближенного значения функции f(x) ее раскладывают в абсолютно сходящийся степенной ряд (например, в ряд Маклорена):
f (x) u1 u2 u3 ... un un 1 un 2... Sn Rn,
где Sn – n-ная частичная сумма (сумма первых n членов ряда):
Sn u1 u2 u3 ... un,
Rn – остаток ряда:
Rn un 1 un 2 ...
Несколько первых n членов оставляют, а остаток ряда Rn отбрасывают. Чем больше взять членов ряда, тем точнее будет значение функции. Тогда f (x) u1 u2 u3 ... un Sn.
Для оценки ошибки найденного приближенного значения f(x) необходимо оценить сумму отброшенных членов (остаток ряда) Rn, причем эта сумма по модулю должна быть меньше заданной погрешности δ:
│Rn│<δ.
30
Для знакочередующихся рядов остаток ряда Rn меньше первого из отброшенных членов:
│Rn│<un+1.
Для рядов с положительными членами Rn высчитывают по различным формулам, конкретным для каждого ряда [1-6].
Пример 1. Пользуясь стандартным разложением cos x в ряд, вычислить cos18o с точностью до 0,0001.
Решение. Имеем:
|
о |
|
18o |
|
|
|
1 2 |
|
1 4 |
|
||||||||||||
cos18 |
|
cos |
|
|
cos |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
180 |
o |
10 |
2! |
10 |
4! |
10 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достаточно взять три члена знакочередующегося ряда, так как четвертый член меньше заданной точности:
u4 |
1 |
|
|
6 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0,0001. Каждый член ряда вычисляем с пятью |
|
|
10 |
|||||||
|
6! |
|
|
|
знаками после запятой. Тогда за первые четыре знака после запятой можно ручаться:
cos18о 1 0,09870 0,00974 0,9511. 2 24
Пример 2. Вычислить 51,1 с точностью до 0,0001.
Решение. Воспользуемся стандартным разложением (x+1)α в ряд, полагая х=0,1, α=1/5. Имеем:
5 1,1 0,1 11/5 1 1 0,1 (1/5) (1/5 1) 0,01
52!
(1/5)(1/5 1)(1/5 2) 0,001 ... 3!
1 0,02 0,0008 0,000048 ... 1,0192.
Для вычислений достаточно было взять три члена ряда, так как четвертый член меньше заданной точности 0,0001.
31
2.6.2. Вычисление пределов |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример. |
Найти предел: lim |
ln(x 1) |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Заменив ln(х+1) его разложением в степенной |
||||||||||||||
ряд, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
ln(x 1) |
lim |
1 |
|
x |
2 |
|
x |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|||
|
x |
x |
2 |
3 |
||||||||||
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
x x2
limx 0 1 2 3 ... 1.
2.6.3.Интегрирование функций
Пример. Найти интеграл: e x2 dx.
Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд. Для
этого в разложении функции ех подставим вместо х выражение –
х2:
e x2 |
1 x2 |
x4 |
|
x6 |
... ( 1)n |
x2n |
... |
|
|
n! |
|||||
|
2! |
3! |
|
|
Интегрируя этот ряд почленно, получим:
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
x |
4 |
|
x |
6 |
|
|
x |
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
e |
|
|
|
dx 1 x |
|
|
|
2! |
|
3! |
... dx x |
3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
x |
7 |
|
|
|
|
n |
|
|
x2n 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
... ( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|||
2!5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3!7 |
|
|
|
|
|
n!(n 1) |
|
|
|
|
|||||||||||
2.6.4. Вычисление определенных интегралов |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 4 |
|
||
Пример. |
|
Вычислить определенный интеграл e x2 dx с |
0
точностью до 0,0001.
32
Решение. Используя результаты примера 9 и формулу НьютонаЛейбница, получим:
1/4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x5 |
|
x7 |
|
|
1/4 |
|
||||
e x |
dx (x |
|
|
|
...) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
2!5 |
3!7 |
|
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
... |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
3 |
|
43 |
|
2!5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25000 0,00521 0,2448.
Достаточно взять два члена знакочередующегося ряда, так как третий член меньше заданной точности:
1
u3 2!5 45 0,0001.
2.6.5. Решение дифференциальных уравнений
Существует несколько способов решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Рассмотрим сначала метод неопределенных коэффициентов, который применяется для ре-
шения линейных дифференциальных уравнений.
Пусть задано дифференциальное уравнение 1 порядка: y'=F(x,y). (2.6)
Пусть общее решение этого уравнения y=φ(x,C) можно представить в виде степенного ряда:
y C C x C |
x2 C x3 |
С |
х4 ..., |
(2.7) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
где С1, С2, С3 …– коэффициенты степенного ряда, которые необходимо найти; С – постоянная интегрирования.
Для определения коэффициентов сначала находят произ-
водную от общего решения (2.7): |
|
|
y C1 2C2x |
3C3x2 4С4х3 ... |
(2.8) |
Затем (2.7) и (2.8) подставляют непосредственно в (2.6) и приравнивают коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях х. При этом коэффициенты С1, С2, С3 …выражают через С.
33
Найденные коэффициенты подставляют в (2.7) и получают искомое общее решение в виде степенного ряда, взяв 3-5 членов разложения.
Если заданы начальные условия у(х0)=у0, то можно найти постоянную С=С0 (где С0 – конкретное число) и получить частное решение y=φ(x,C0) уравнения (2.6).
В случае дифференциального уравнения второго порядка поступают аналогичным образом.
Пример 1. Найти частное решение уравнения y'=x+y при начальном условии у(х=0)=1.
Решение. Запишем искомое решение в виде степенного ря-
да:
y C C x C |
x2 C x3 |
С х4 |
... |
(2.9) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
Подставляя начальное условие в общее решение (2.9), можно найти значение постоянной С=1. Тогда (2.9) принимает вид:
y 1 C x C |
x2 C x3 С |
х4 ... |
(2.10) |
|||
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
Найдем производную от равенства (2.10): |
|
|||||
y C1 2C2x |
3C3x2 |
4С4х3 ... |
(2.11) |
После постановки (2.10) и (2.11) в исходное уравнение получим:
C1 2C2x 3C3x2 4С4х3 ... х 1 С1х С2х2
С3х3 ...
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
при х0: С1=1; при х1: 2С2= 1+С1; С2=1;
при х2: 3С3= С2; С3=1/3;
1
при х3: 4С4= С3; С4 3 4.
Таким образом, получаем искомое частное решение:
34
y 1 x x2 |
1 |
x3 |
1 |
х4 ... |
|
|
|||
3 |
3 4 |
Пример 2. Найти частное решение уравнения y''=x+y при начальных условиях у(х=0)=1, у'(х=0)=1.
Решение. Запишем искомое решение в виде степенного ря-
да:
y C C x C |
x2 C x3 |
С |
х4 ... |
(2.12) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
Подставляя первое начальное условие у(х=0)=1 в общее решение (2.12), можно найти значение постоянной С=1.
Найдем первую производную от общего решения (2.12):
y C1 2C2x 3C3x2 4С4х3 ... |
(2.13) |
Подставляя второе начальное условие у'(х=0)=1 в (2.13), можно найти значение постоянной С1=1.
Найдем вторую производную от общего решения:
y 2C2 2 3C3x 3 4С4х2 ... (2.14)
После постановки (2.12) и (2.14) в исходное уравнение получим:
или с учетом того, что С=1 и С1=1:
2C |
2 |
2 3C x 3 4С |
х2 ... х C C х С х2 |
... |
||||||
|
|
|
3 |
4 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
2C |
2 |
2 3C x |
3 4С |
х2 ... х 1 х С |
х2 |
... |
||
|
|
|
3 |
|
4 |
|
2 |
|
|
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
при х0: 2С2=1; C2=1/2;
1
при х1: 2·3С3= 2; C3 3;
1
при х2: 3·4С4= С2; C4 2 3 4.
Таким образом, получаем искомое частное решение:
y 1 x |
1 |
x2 |
1 |
x3 |
1 |
|
х4 ... |
|
|
2 3 |
|
||||
2 |
3 |
4 |
|||||
|
|
35 |
|
|
|
Теперь рассмотрим метод последовательного дифферен-
цирования. Пусть задано дифференциальное уравнение первого порядка (2.6) и начальные условия у(х=0)=у0. Частное решение этого уравнения y=φ(x) можно представить в виде ряда Маклорена:
|
f (0) |
f (0) |
2 |
|
f |
(n)(0) |
n |
|
|||
f (x) f (0) |
|
x |
|
x |
|
... |
|
|
x |
|
... |
1! |
2! |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
Найдем коэффициенты этого ряда. Для этого необходимо определить значения функции f(x) и ее производных при х=0:
1)f(0) находят из начальных условий f(0)= у(х=0)=у0;
2)f'(0) можно найти из заданного уравнения (2.6):
f'(0) = y'(0)=F(x=0,y= у0);
3)следующие производные находят путем последовательного дифференцирования уравнения (2.6).
Аналогично поступают и в случае дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков.
Пример. Найти частное решение уравнения y'=x2+y2 в виде ряда Маклорена при начальном условии у(х=0)=1 (взять четыре первых членов разложения).
Решение. Из уравнения и начальных условий находим: f(0)= у(х=0)=1; f'(0) = y'(0)= 02+12=1.
Дифференцируя заданное уравнение, последовательно получаем: y''=(x2+y2)'=2х+2уу'; y'''=(2х+2уу')'=2+2у'у'+2уу''.
Полагая х=0 и используя значения у(0)=1 и y'(0) =1, находим: y''=2·0+2·1·1=2 и y'''=2+2·1·1+2·1·2=8.
Тогда искомое решение имеет вид:
у 1 |
х |
|
2x2 |
|
8x3 |
||
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
3! |
|||||
1! |
2! |
|
|
Задачи для самостоятельного решения
Задача № 1. Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.
36
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 5)n |
|
1. |
(nx)n |
|
|
|
2. |
|
||||
|
|
|
n |
|||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
n |
|
π |
|
|
(3 x)n |
|
3. |
(x 2) |
|
cos |
|
4. |
|
|
|||
|
|
|
||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
n |
|
n 1 2n 1 |
||
|
(x 1)n |
|
|
|
|
|
||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|||
|
n 23n |
|
|
|
|
|
|
Задача № 2. Используя дифференцирование и интегрирование степенных рядов, найти сумму ряда и указать область сходимости данного ряда.
|
|
|
|
2n xn |
|
||
1. |
(n 1)xn |
2. |
|
||||
n |
|||||||
|
n 1 |
|
n 1 |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
3. |
2nx(x2 -2)n-1 |
4. |
|
xn 1 |
|||
|
|||||||
|
n 1 |
|
n 1 |
n(n 1) |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
(n 3)xn 5 |
|
|
|
|
|
n 1
Задача № 3. Используя табличные разложения, составить ряд Тейлора по степеням x a для указанной функции и ука-
зать область сходимости.
1. |
y |
2 |
,a 0 |
2. |
y 2x,a 1 |
||||
1 x2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
||
3. |
y e3x 1,a 2 |
4. |
y sin |
,a 0 |
|||||
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
||
5. |
y |
|
,a 0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(1 x)2 |
|
|
|
|
37
Задача №4. Вычислить интеграл с точностью 0,0001.
|
0,5 |
|
|
|
0,5 |
|
|
|
1. |
sinx3dx |
2. |
e x2 dx |
|||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
0,5 |
dx |
|
|
3. |
arctg |
dx |
4. |
|
|
|
||
2 |
1 x |
7 |
|
|||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
ln(1 x4)dx |
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 5. Найти первые 4–5 отличных от нуля членов в разложении решения y x дифференциального уравнения в ряд
Тейлора по степеням x a .
1.y ytgx,y π/6 1
2.y x3y x2,y(2) 0
3. |
y tgx xy2, |
y(0) 1 |
4. |
y x2 y2, |
y(2) 1 |
5. |
y ey,y(-2) 0 |
38
3.РЯДЫ ФУРЬЕ
3.1.Тригонометрический ряд Фурье
При изучении различных периодических процессов, встречающихся в радиотехнике, целесообразно разгагать периодические функции,описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в тригонометрический ряд.
Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида
a0 a1 cosx b1 sin x ... an cosnx bb sinnx ... 2
|
a0 |
|
|
|
a |
|
cosnx b sinnx , |
(3.1) |
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
n |
|
b |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
где действительные числа |
a0,an,bn |
(n 1,2,...) называются ко- |
эффициентами тригонометрического ряда.
Если ряд (3.1) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом 2π, т.к. cosnx и sinnx являются периодическими функциями с периодом 2π.
Пусть f x – произвольная тпериодическая функция с пе-
риодом 2π. Предположим, что функция f x разлагается в три-
гонометрический ряд, т.е.она является суммой ряда:
|
a0 |
|
|
|
f x |
an cosnx bb sinnx . |
(3.2) |
||
2 |
||||
|
|
n 1 |
|
Так как функция f x имеет период 2π, то ее можно рас-
сматривать на любом промежутке длины 2π. В качестве основного промежутка возьмем отрезок ; . Предположим, что интеграл от функции f x равняется сумме интегралов от чле-
нов ряда (3.2). Это будет выполняться, если числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического
39