Учебное пособие 823
.pdfФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К РАЗДЕЛУ «РЯДЫ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для индивидуальной самостоятельной работы по курсу «Математика» для студентов направления 12.03.04 «Биотехнические системы и технологии»
очной формы обучения
Воронеж 2016
Составитель канд. физ.-мат. наук Н.А. Борщ
УДК 004.67
Индивидуальные домашние задания к разделу «Ряды»: методические указания для индивидуальной самостоятельной работы по курсу «Математика» для студентов направления 12.03.04 «Биотехнические системы и технологии» очной формы обучения / ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Н.А. Борщ. Воронеж, 2016. 26 с.
В методических указаниях приведены индивидуальные расчетные задания для самостоятельной работы студентов по разделу «Ряды» курса «Математика».
Издание соотвествует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению 12.03.04 «Биотехнические системы и технологии» по дисциплине «Математика».
Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле MU-Ryady.pdf.
Библиогр.: 2 назв.
Рецензент канд. физ-мат. наук В.В. Пешков
Отвественный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
© ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2016
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ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К РАЗДЕЛУ «РЯДЫ»
Задача 1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму.
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n |
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n 1 |
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40 |
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12 |
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n |
2 |
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n 8 |
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10n 24 |
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7n 5n |
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35 |
n |
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n 1 |
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18 |
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n |
2 |
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7n 10 |
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n 7 |
|
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7n 3n |
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. |
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21n |
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24 |
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. |
; |
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n |
2 |
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4n 3 |
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n 1 |
|
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|
9n 5n
45n .
2
1.23. а)
б)
1.25. а)
б)
1.27. а)
б)
1.29.а)
б)
|
|
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36 |
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; |
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n |
2 |
|
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n 6 |
|
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5n 4 |
|||||||||||
|
2n 7n |
. |
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14n |
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|||||||
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36 |
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; |
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n |
2 |
n 2 |
|
|
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n 2 |
|
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9n |
4n |
|
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|
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. |
|
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36 |
n |
|
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n 1 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
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54 |
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|
; |
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n |
2 |
5n |
4 |
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n 0 |
|
|
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5n 4n |
. |
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|
|
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20n |
|
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|
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|||||||
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|||||||
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6 |
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; |
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n |
2 |
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||||||||
n 5 |
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|
4n 3 |
9n 5n .
45n
1.24. а)
б)
1.26. а)
б)
1.28. а)
б)
1.30.а)
б)
|
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48 |
|
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2 |
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n 6 n |
|
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6n 8 |
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7n 4n |
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. |
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28n |
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||||||
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72 |
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; |
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2 |
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n 0 n |
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6n 8 |
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5n 3n |
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|
. |
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15n |
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|
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54 |
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; |
|
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2 |
n 2 |
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n 3 n |
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2n 9n |
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. |
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18n |
|
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||||||
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72 |
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|
|
; |
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|
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|
|||||||
|
|
2 |
5n |
4 |
||||||||||
|
n 1 n |
|
|
8n 3n .
24n
Задача 2. Исследовать ряд на сходимость, используя первый признак сравнения.
|
cos n |
|
|
|
|
|
sin n |
|
|
|||
2.1. |
. |
|
|
2.2. |
|
|
. |
|||||
3 |
|
|
|
|
||||||||
n 1 |
n 2 |
n 1 |
|
n5 2 |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.3. |
|
|
. |
2.4. |
sin n |
. |
||||||
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
||||||||||||
n 2 |
4 n7 1 |
n 1 |
n 2 |
3
cos2 n 2.5. 3 .
n 1 n 5
1
2.7..
2n 1 n
|
1 |
|
|
||
2.9. |
|
|
. |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
n n2 2 |
|||||
n 1 |
|
|
sin2 n
2.11.n n .n 1
2
2.13.n .n3n 2
1
2.15.2 3 n .n 2 n
|
cos n |
|
|
|
|
|
|||||||||
2.17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
2n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
cos |
n |
2 |
|
|
|
||||||||
2.19. |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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||||
n 1 |
|
n3 n3 |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.21. |
|
sin |
|
n |
. |
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
n 1 |
n n |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ln 3 |
|
|
|
|
|
||||||||
2.23. |
|
|
|
|
. |
||||||||||
3n 1 |
3 |
||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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2.25. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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n 1 |
n |
2 |
|
|
|
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|||||||||
n 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
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|
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2.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
|
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|
|
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|
|
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|
n5 3 |
|
||||||||||||
n 2 |
|
|
|
|
|
|
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1 sin n |
|
|
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|
|
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2.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
n |
3 |
1 |
|
|
|||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
cos |
n |
|
|
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2.10. |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n 1 |
|
|
|
4 |
n3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
2 |
|
|
|
|
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2.12. |
|
|
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|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|||
n2 |
|
|
2 n |
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
sin2 n 2.14. n2 .
n 1
|
|
sin |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.16. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
||||||
n 1 |
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.18. |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
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|||
n 0 |
|
4 n5 5n2 4 |
||||||||||||
|
|
|
sin 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.20. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n 2 |
|
|
n4 3n |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
cos n |
|
|
|
|
|
|
|||||
2.22. |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
n3 n2 3 |
|
|
|
||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.24. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3n n3 1 |
|
|
|
|
|||||||||
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(n 1) n |
2 |
||||||||||||
n 0 |
|
|
|
|
4
sin n
2.27.n 2 .n 1 n
|
3 |
|
|
||
2.29. |
|
|
. |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
n5 n 4 |
|||||
n 2 |
|
|
Задача 3. Исследовать ряд предельный признак сравнения.
1
2.28.n n .3 n7n 2
|
sin |
2n 1 |
|
|
2.30. |
. |
|||
3 |
|
|||
n 1 |
n |
n 1 |
на сходимость, используя
3 n
3.1.1.n 1 n
n2 3
3.3. n3 .
n 1
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|||||
3.5. |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n n 1 n 2 |
||||||||||||
n 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||
3.7. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
3 |
n |
|
|
|
||||||
n 1 |
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 n |
|
|
|
|
||||
3.9. |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
n 2 |
3 n3 n |
|
|
|
|
n 3
3.11.n .n 2 n2
2 n
3.13. .
n 2 4 n4 1
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.2. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n 1 |
n |
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.4. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n 1 |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.6. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n 2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.8. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n 1 |
|
|
|
|
n3 2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
||||||||
3.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
n 1 n 1 n |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3n |
3 |
|
|
|
|
||||||
3.12. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n2 n2 1 |
|
|
||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
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3.14. |
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. |
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n n 2 |
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n 1 |
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5
n2
3.15.n .n5n 1
|
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n 1 |
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3.17. |
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. |
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n |
2 |
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n |
2 |
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n 1 |
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||||||||||||||
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|
n |
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3.19. |
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n 1 |
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n7 |
4n2 5 |
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3 |
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n 6 |
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3.21. |
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. |
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||||||||||
n 1 |
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|
n |
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||||||
|
n2 |
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|
n |
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||||||||||||||
3.23. |
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|
. |
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|||||
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n |
3 |
1 |
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||||||||||||||
n 1 |
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|||||||||||||
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2n |
2 |
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3.25. |
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. |
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|||||||||
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|
3 |
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n 1 |
n |
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6 |
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|
2n 1 |
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3.27. |
|
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|
. |
|
|||||||||||||||
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|
2 |
|||||||||||||||||
n 1 |
(n 2) |
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n 1 |
|
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||||||||||||
3.29. |
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. |
|||||||||||||||
|
n |
5 |
|
|
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||||||||||||||||
n 1 |
|
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|
4n 1 |
|
n |
3 |
|
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3.16. |
. |
|
|||||||
2 |
|
|
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||||||
n 1 |
n |
|
5 |
|
|
||||
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|
n 1 |
||||
3.18. |
|
n |
|
|
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|
. |
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|
n |
3 |
|
|||||
n 2 |
|
|
|
|
|
2 |
n
3.20.3n .n5n 1 6
5 n 1
3.22. .
n 1 n
5n 3
3.24..n7n 1 3
|
|
n |
3 |
2n 1 |
|
|||
3.26. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
n |
2 |
|
||
n 1 |
|
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|
|
|
3n 2 |
|
|
|||||
3.28. |
|
|
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|
|
. |
|
|
5n |
2 |
9 |
|
|||||
n 2 |
|
|
|
|
n
3.30.2n 9 .3 n4n 1
Задача 4. Исследовать ряд на сходимость, используя признак Даламбера.
|
|
|
n 1 |
|
||
4.1. |
|
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|
. |
|
2 |
n |
|
|
|||
n 2 |
|
n 1 ! |
||||
|
|
|
n |
|
||
4.3. |
|
4 |
. |
|
||
|
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n 1 |
n ! |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
4.2. |
|
|
|
3 |
|
|
. |
4 |
n |
n |
|
|
|||
n 1 |
|
2 ! |
|||||
|
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7 |
2n |
|
|
|
4.4. |
|
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|
|
. |
|
|
|
|
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|
|
|
||
n 1 |
2n 1 ! |
6
4.5. 2 |
n 1 |
|
n |
3 |
1 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
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n 1 |
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|
n 1 ! |
|
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|||||||||||||||||
|
2n ! |
|
|
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4.7. |
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. |
|
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|||||||||||||||
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|
n |
|
|
|
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|
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n 1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
|
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n |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
||
4.9. |
10 |
|
|
n! |
. |
|
|
|
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n 1 (2n)! |
|
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|
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n! |
|
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|
|
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|
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|
2 |
|
|
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||||||
4.11. |
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
3n |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n 1 |
2n ! |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
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|
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|
5 |
n |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
4.13. |
|
|
|
|
|
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|
. |
|
|
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|
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||||||||||||
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||||||||
n 1 |
n 1 ! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
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6n n2 |
|
1 |
|||||||||||||||||||||
4.15. |
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|
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||||
|
|
|
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|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5n n 1 ! |
|||||||||||||||||||||||
4.17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
2n ! |
|
|
||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7n 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
4.19. |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
3 |
|
|
n 2 ! |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||
4.21. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||
n 1 |
n 2 ! |
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||
4.23. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n 1 |
n 1 ! |
|
|
|
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|
|
|
4 |
n |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
4.6. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||
n 1 |
3n ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3n 2 ! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
10 |
n |
n |
2 |
|
|
|
|
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||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2n 2 ! |
|
|
||||||||||||||
4.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
2 |
n |
|
3n |
5 |
|||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.12. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||
n 1 |
3 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n! 2n 1 ! |
||||||||||||||||
4.14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
3n ! |
|
|
|
|
|||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
n |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.16. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n 1 |
n 2 ! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
3n n 2 ! |
|
|
||||||||||||||
4.18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
n |
5 |
|
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n 2 ! |
|
|
|
|
|
|||||||||||
4.20. |
|
|
|
n |
n . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.22. |
|
|
|
3 n |
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n 1 |
2n 3 ! |
|
|
2n 1
4.24..
n 1 2n n
7
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
2n 1 . |
|
n 1 . |
||||||||||||||||
4.25. |
|
4.26. |
||||||||||||||||
n 1 |
|
2n ! |
|
|
|
n 1 |
|
n! |
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
3n 1 |
|
|
|||||||
4.27. |
|
|
|
|
|
. |
4.28. |
. |
|
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||
2n 1 |
|
|
2 |
|||||||||||||||
n 1 |
5 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2n 1 ! |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
4.29. |
|
|
|
|
. |
|
4.30. |
n |
|
|
1 |
. |
||||||
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n 3 ! |
Задача 5. Исследовать ряд на сходимость, используя радикальный признак Коши.
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|||||||
5.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n 1 |
3 |
n |
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
2n |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
3n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2n |
2 |
|
1 |
n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
5.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n2 |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.7. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
n |
|
|
|
4 |
n |
||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
3n |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 1 |
3n |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
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n |
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5.11. |
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3 |
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2n 1 |
n |
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n 1 |
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2n |
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n |
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1 |
2 |
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5.2. |
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3n |
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n 1 |
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1 |
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2 |
n 1 |
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5.4. |
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n |
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n 1 |
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n |
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5.6. sinn |
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n 1 |
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2n |
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2n 1 |
2n |
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5.8. |
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3n |
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n 1 |
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2 |
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n2 |
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1 |
4 |
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5.10. 1 |
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n 1 |
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3n |
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3 4n 3 3n
5.12. . n 1 5n 1
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