Учебное пособие 790
.pdfРешим теперь задачу Коши. Согласно первому начальному
условию |
имеем 1 = C1 +C2 0, C1 =1. |
Находим |
производную |
||||||
y ' = −4C1 sin 4x +4C2 cos 4x. |
|
Согласно |
второму |
начальному |
|||||
условию |
2 = −4C 0 +4C |
, C |
|
= |
1 |
. Подставляя найденные зна- |
|||
2 |
|
||||||||
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
чения произвольных постоянных в общее решение, получим
частное решение y = cos 4x + 1 sin 4x.
2
7.2. Найти решение уравнений: а) y′′′−6 y′′+13y′ = 0 ;
d 4 y |
VI |
IV |
′′ |
|
|
|
б) dx4 − y = 0 ; |
в) y +4 y +4 y |
= 0 ; |
|
|
||
|
|
|
||||
Решение. а) |
Составляем |
характеристическое |
уравнение |
|||
k3 −6k 2 +13k = 0 |
и находим |
его корни k = 0, k |
2,3 |
= 3 ±2i . |
||
|
|
|
|
1 |
|
Поскольку один корень действительный, а два комплексносопряженные, то общее решение имеет вид
y = C1 +e3x (C2 cos 2x +C3 sin 2x).
б) Составляем характеристическое уравнение k 4 −1 = 0 и находим его корни (k 2 −1)(k 2 +1)= 0, k1,2 = ±1, k3,4 = ±i . Два
корня действительные и разные, а два корня мнимые, следовательно, решение имеет вид
y = C1ex +C2e−x +C3 cos x +C4 sin x .
в) Данному дифференциальному уравнению соответствует
характеристическое |
уравнение |
k 6 +4k 4 +4k 2 = 0 |
или |
|
k 2 (k 4 +4k 4 +4k 2 )= 0 . |
Находим |
корни: |
два действительных |
|
кратных корня k1 = k2 = 0 и |
два |
двукратных мнимых |
сопряженных корня k3,4 = i 2 , |
k5,6 = −i 2 . Таким |
образом, |
решение, согласно пунктам 2,4, примет вид |
|
|
y = C1 +C2 x +(C3 +C4 x)cos |
2 x +(C5 +C6 x)sin |
2 x . |
30
8. Линейные неоднородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
Линейным неоднородным уравнением называется уравнение первой степени относительно функции и ее производных
y(n) + P1 y(n−1) +... + Pn−1 y′+ Pn y = q(x) . |
(1) |
Это уравнение отличается от однородного уравнения наличием в правой части некоторой известной функции q от независимой переменной х.
Общий интеграл у линейного неоднородного уравнения равен сумме какого-либо его частного интеграла y1 и общего
интеграла u, соответствующего однородного уравнения (получающегося из неоднородного при q = 0), т. е. y = u + y1 .
1°. Для некоторых специальных видов функции q(x) частный интеграл y1 , можно найти методом неопределенных коэффициентов. По виду правой части q(x) можно заранее указать вид частного интеграла y1 , где неизвестны лишь
числовые коэффициенты. Рассмотрим эти случаи:
1) q(x) = emx P(x) , где P(x) – многочлен. В частности, если
m = 0, то q(x) = P(x), а если P(x) есть постоянная величина С (многочлен нулевой степени), то q(x) - показательная функция
Cemx .
2)q(x) = eax (Acos bx + B sin bx).
3)q(x) = P(x) cos bx + f (x)sin bx; P(x) и f (x) - многочлены.
4)q(x) – есть сумма рассмотренных выше случаев.
В этих случаях y1 , есть функция, подобная q(x), т. е.
отличающаяся от q(x) только числовыми коэффициентами. Если число m (для первого случая) или числа а±bi (для второго случая) являются корнями характеристического уравнения кратности r (соответствующего однородного уравнения), то
y1 , отличается от q(x) множителем xr .
31
Написав по виду правой части q(x) выражение функции y1
с неопределенными буквенными коэффициентами, находят производные y1′, y1′′ и т. д. и подставляют y1, y1′, y1′′,... в данное
неоднородное уравнение. Сравнивая коэффициенты у подобных членов из обеих частей, составляют систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов, решение которой и определяет частное решение неоднородного уравнения.
. Если по виду правой части q(x) указать вид частного интеграла y1 затруднительно, то его можно найти с помощью п квадратур по формуле
y1 = ek1x ∫e(k2 −k1 ) x ∫e(k3 −k2 ) x ...∫e(kn −kn−1 ) x ∫q(x)e−kn x dxdx...dxdx , |
(2) |
где k1, k2 ,..., kn - корни характеристического уравнения. |
|
В частности, если уравнение второго порядка, то |
|
y1 = ek1x ∫e(k2 −k1 ) x ∫q(x)e−k2 x dxdx , |
(3) |
если третьего порядка, то |
|
y1 = ek1x ∫e(k2 −k1 ) x ∫e(k3 −k2 ) x ∫q(x)e−k3x dxdxdx . |
(4) |
В случае комплексных сопряженных корней бывает удобнее выражать тригонометрические функции через показательные по формулам Эйлера
eiα = cosα +i sinα ; |
|
e−iα = cosα −i sinα |
|
|
(5) |
|||||||
или |
( |
|
) |
|
|
2i |
( |
|
) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
cosα = |
1 |
|
eiα +e−iα |
|
; |
sinα = |
1 |
|
eiα −e−iα |
|
. |
(6) |
|
|
|
|
|
|
3°. Метод вариации произвольных постоянных. Пусть требуется решить неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка
y′′+ P1 y′+ P2 y = q(x) . |
(7) |
Запишем решение соответствующего |
однородного |
уравнения в виде |
|
y = C1 y1 +C2 y2 , |
(8) |
32
где y1 и y2 — частные решения однородного уравнения. Будем считать C1 и C2 неизвестными функциями х. Для их определения необходимо решить систему
|
C′y +C′y |
|
= 0, |
(9) |
|
|
1 1 |
2 |
2 |
|
|
C1′y1 +C2′y2 = q(x). |
|
||||
Решая систему относительно |
C1′ |
и C2′ найдем C1′ =ϕ1 (x) , |
|||
C2′ =ϕ2 (x) . Откуда |
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
_ |
|
C1 = ∫ϕ1 (x) dx +C1; |
C2 |
= ∫ϕ2 (x) dx +C2 . |
|
Подставляя C1 и C2 в выражение (8), получим общее
решение.
Если решается неоднородное уравнение n-го порядка и известна фундаментальная система решений y1, y2 ,..., yn
соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения (1) берем в виде
y(x) = C1 (x) y1 +C2 (x) y2 +... +Cn (x) yn , |
(10) |
где C1 (x),C2 (x),...,Cn (x) определяются из системы уравнений
C1′y1 +C2′y2 +... +Cn′yn = 0,C1′y1′+C2′y2′ +... +Cn′yn′ = 0,
.....................................................
C1′y(n−2)1 +C2′y(n−2)2 +... +Cn′y(n−2)n = 0,C1′y(n−1)1 +C2′y(n−1)2 +... +Cn′y(n−1)n = q(x).
8.1. Найти решение уравнений: а) y′′−2 y′−3y = 3x −1 ;
б) y′′−2 y′ = 2 −5x2 ; в) y′′+6 y′+5y =8e3x ; г) y′′−6 y′+9 y = 4e3x ;
д) y′′−3y′+2 y = (x2 + x)ex ; |
е) y′′+4 y′−5y = 3x −8ex ; |
||||
y(0) = 0, |
′ |
= − |
4 |
. |
|
|
|
||||
y (0) |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
33
Решение. а) Найдем решение соответствующего
однородного |
уравнения y′′ - 2y′ – 3y = |
0. Составляем |
||
характеристическое уравнение k 2 −2k −3 = 0 |
и находим его |
|||
корни k1 = 3, |
k2 = −1. Общее решение имеет вид |
|
||
|
u = C e3x +C |
e−x . |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Поскольку правая часть неоднородного уравнения представляет многочлен второй степени, то частное решение y1 следует искать в полной форме многочлена второй степени
y = Ax2 + Bx +C , |
где |
А, В, С |
— |
неопределенные |
1 |
|
|
|
|
коэффициенты. Так как предположили, что |
y1 есть решение |
|||
заданного уравнения, то подставив |
y1, y1′, y1′′ |
в это уравнение, |
||
получим тождество относительно х |
|
|
2A −4Ax −2B −3Ax2 −3Bx −3C = 3x2 −1 .
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и в правой части
x2 |
3 = −3A, |
x |
0 = −4A −3B, |
x0 |
−1 = 2A −2B −3C. |
Отсюда А = - 1, В = 4 , С = −11 . Следовательно, имеем
3 3
y = −x2 + 4x − 11 .
|
|
3 |
9 |
|
|
|
|
Общее решение исходного уравнения примет вид |
|||||||
y = C e3x +C |
e−x − x2 |
+ |
4x |
− |
11 |
. |
|
|
|
||||||
1 |
2 |
|
3 |
9 |
|
||
|
|
|
|
||||
б) Соответствующее |
однородное уравнение имеет вид |
y′′ - 2y′ = 0. Составляем характеристическое уравнение k2-2k=0 и находим его корни k1=0, k2=2. Общее решение получаем в
форме u = C1 +C2e2 x .
Определяем форму частного решения y1 . Поскольку в правой части неоднородного уравнения m = 0 и m совпадает
34
с корнем характеристического уравнения, то частное решение y1 в форме многочлена второй степени умножается на х, т. е.
y1 = x (Ax2 + Bx +C ).
Находим y1′ = 3Ax2 +2Bx +C, y1′′= 6Ax +2B и подставляем y1, y1′, y1′′ в заданное уравнение
6Ax +2B −6Ax2 −4Bx −2C = 2 −5x2 .
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х
x2 |
−6A = −5, |
x |
6A −4B = 0, |
x0 |
2B −2C = 2. |
Решая эту систему |
уравнений, |
находим |
A = |
5 |
, B= |
5 |
, |
C = |
1 |
. |
|||||||||||||||||
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
4 |
|
|||||
Следовательно, y |
= x |
|
5 |
x2 |
+ |
|
5 |
x + |
1 |
|
, а |
|
|
общее |
решение |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
6 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
заданного уравнения примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y = C +C |
e2 x |
+ |
x |
|
5 |
x2 |
+ |
5 |
x + |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
в) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y′′ + 6y ′ + 5y = 0. Составим характеристическое
уравнение k 2 +6k +5 = 0 и найдем его корни |
k = −1, |
k |
2 |
= −5 . |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
Тогда общее решение примет вид |
u = C e−x +C |
e−5 x . |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
Поскольку правая часть уравнения представляет показательную функцию, то частное решение ищем в
подобном |
виде только с неопределенным коэффициентом |
|||||
y1 = Ae3x . |
|
Находим |
производные y1′ = 3Ae3x , y1′′= 9Ae3x и |
|||
подставляем y1, y1′, y1′′ |
в исходное уравнение |
|||||
|
|
|
9Ae3x +18Ae3x +5Ae3x =8e3x , |
|||
откуда A = |
1 |
. Следовательно, y = |
1 |
e3x . |
||
|
|
|||||
|
4 |
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
Общее решение неоднородного уравнения имеет вид
35
y = C1e−x +C2e−5 x + 1 e3x .
4
г) Найдем решение соответствующего однородного уравнения у'' - 6у' + 9y = 0. Составляем характеристическое
уравнение k 2 −6k +9 = 0 и находим его корни k1,2 = 3 . Так как корни кратные, то решение имеет вид u = (C1 +C2 x)e3x .
Поскольку в правой части m = 3 и совпадает с обоими корнями характеристического уравнения, то частное решение
ищем в виде |
y = Ax2e3x . Находим |
производные |
|
1 |
|
y1′ = A(2x +3x2 )e3x , |
y1′′= A(2 +12x +9x2 )e3x и |
подставляем в |
исходное уравнение. После приведения подобных членов
получим |
2Ae3x = 4e3x , откуда A = 2. Общее решение |
исходного уравнения имеет вид |
|
|
y = (C1 +C2 x +2x2 )e3x . |
д) Составляем характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения k 2 −3k +2 = 0 . Его корни k1 =1, k2 = 2 . Решение однородного уравнения будет
u = C1ex +C2e2 x .
Поскольку правая часть уравнения представляет произведение многочлена второй степени на показательную функцию и m = 1 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение ищем в
виде y1 = (Ax3 + Bx2 +Cx)ex . Находя производные y1′ и y2′′ и подставляя их в исходное уравнение, будем иметь
(6Ax +2B +3Ax2 +2Bx +C +3Ax2 +2Bx +C + Ax3 + Bx2 +Cx)ex −
−(9Ax2 +6Bx +3C +3Bx2 +3Cx)ex +(2 Ax3 +2Bx2 +2Cx)ex =
= (x2 + x)ex .
Приведя подобные члены и сравнивая неопределенные коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему относительно А, В и С, решая которую, будем иметь
36
A = −1 , B = − 3 , C = −3 .
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, частное решение примет вид |
|||||||||||
x2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
y1 = −x |
|
+ |
|
x |
+3 |
ex . |
|
||||
|
2 |
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Окончательно решение будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
3 |
|
|
|
||
y = C1ex +C2e2 x − x |
|
|
+ |
|
|
|
x +3 |
ex . |
|||
3 |
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
е) Для соответствующего однородного уравнения |
|||||||||||
составляем характеристическое уравнение |
k 2 +4k −5 = 0 . Его |
корни k1 =1, k2 = −5 . Общее решение однородного уравнения примет вид u = C1ex +C2e−5 x .
Поскольку правая часть исходного уравнения равна сумме двучлена и показательной функции и m = 1 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение запишем также в виде суммы двучлена и показательной функции, причем показательную функцию
умножаем на x то есть |
y = Ax + B +Cxex . |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Находя производные |
y1′ и |
y2′′ и подставляя их в исходное |
||||||
уравнение, будем иметь |
|
+Cxex )−5(Ax + B +Cxex )= 3x −8ex . |
||||||
Cex +Cex +Cxex +4(A +Cex |
||||||||
Приравнивая |
неопределенные |
|
коэффициенты при |
|||||
одинаковых степенях |
х |
и |
при |
показательной функции, |
||||
находим, что A = − |
3 |
, B = − |
12 |
, |
C = − |
4 |
. |
|
|
25 |
3 |
||||||
5 |
|
|
|
|
|
Таким образом, частное решение будет
y1 = −53 x + 54 − 43 xex ,
а общее решение исходного уравнения примет вид y = C1ex +C2e−5 x − 53 x + 54 − 43 xex .
37
Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями. Находя производную
|
|
|
y′ = C1ex −5C2e−5 x − |
3 |
− |
4 |
ex − |
4 |
xex |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||
и значения у |
и у' при х = 0, получим систему |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C +C |
|
|
|
= |
12 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
−5C |
|
= |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда C = |
1 |
, C |
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, частное решение исходного уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
1 |
|
−5 x |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
x |
|
||||||||||||
|
|
|
y = |
|
|
e |
|
+ |
|
|
e |
|
|
− |
|
|
|
x + |
|
|
|
|
− |
|
|
|
xe |
|
. |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
50 |
|
|
|
5 |
5 |
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8.2. Найти общее решение уравнений: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
y′′−2 y′+10 y = 2sin 3x +5cos x ; б) |
|
y′′−3y =sin 2x ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) |
y′′+ y = cos x ; |
|
г) |
y′′− y = sin x −e−x ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
д) |
y′′−7 y′+6 y = ex sin x ; е) |
|
y′′− y′ = x cos x . |
|
Решение. а) Найдем общее решение соответствующего
однородного уравнения y′′−2 y′+10 y = 0 . Его |
характери- |
стическое уравнение k 2 −2k +10 = 0 имеет корни |
k =1±3i . |
|
1,2 |
Так как α =1, β = 3 , то общее решение имеет вид |
|
u = ex (C1 cos 3x +C2 sin 3x). |
|
Правая часть неоднородного уравнения представляет тригонометрический многочлен с разными аргументами у тригонометрических функций, поэтому частное решение ищем в полной форме двух тригонометрических многочленов
y1 = Acos 3x + B sin 3x +C cos x + D sin x .
Находим производные
y1′ = −3Asin 3x +3B cos 3x −C sin x + D cos x ,
38
y2′′ = −9Acos 3x −9B sin 3x −C cos x − D sin x .
Подставляем y1, y1′, y1′′ в исходное уравнение и прирав-
ниваем неопределенные коэффициенты у одинаковых тригонометрических функций
−9Acos 3x −9B sin 3x −C cos x − D sin x +6 Asin 3x −6B cos 3x + +2C sin x −2D cos x +10Acos 3x +10B sin 3x +
+10C cos x +10D sin x = 2sin 3x +5cos x ;
cos 3x |
0 = −9A −6B +10A, |
||||||||
sin 3x |
2 = −9B +6A +10C, |
||||||||
cos x |
5 = −C −2D +10C, |
||||||||
sin x |
0 = −D +2C +10D. |
||||||||
Из решения системы имеем |
|
|
|
|
|
|
|||
A = |
12 |
; B = |
2 |
; C = |
9 |
; |
D = − |
2 |
. |
|
|
|
|
||||||
37 |
37 |
17 |
|
17 |
|
Общее решение неоднородного уравнения примет вид
y = ex (C1 cos 3x +C2 sin 3x)+ 372 (6cos 3x +sin 3x)+171 (9 cos x −2sin x).
б) Найдем общее решение однородного уравнения y′′−3y = 0 . Характеристическое уравнение k 2 −3 = 0 имеет
коpни |
k |
= ± 3 . Общее решение будет u = C e 3 x +C |
e− 3 x . |
|
|
1,2 |
1 |
2 |
|
Несмотря на то, что правая часть неоднородного уравнения одна тригонометрическая функция, частное решение ищем в полной форме тригонометрического многочлена y1 = Acos 2x + B sin 2x .
Находим производные
y1′ = −2Asin 2x +2B cos 2x; y1′′= −4Acos 2x −4B sin 2x .
Подставляем y1 и y1′′ в исходное уравнение, тогда
−4Acos 2x −4B sin 2x −3Acos 2x −3B sin 2x = sin 2x .
Приравниваем коэффициенты у одинаковых тригонометрических функций
39