Учебное пособие 635

пружина сожмётся на Δl =3мм. На сколько сожмёт пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты h = 8см?

Решение

В соответствии с законом сохранения механической энергии, полная энергия груза, падающего на пружину, равна энергии упругой деформации пружины при её сжатии. Полная энергия груза равна его потенциальной энергии U; при этом за нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии примем положение сжатой пружины при падении груза, тогда

где m – масса груза, g – ускорение свободного падения; k – жёсткость пружины.

Если груз положить на пружину, то в соответствии с законом Гука запишем:

В состоянии равновесия сила упругости равна силе тяжести груза

mg k , откуда k mg .

Подставляя полученное выражение для k в уравнение (1), получим:

19

Уравнение (3) можно преобразовать к виду

L2 2 L l 2h 0.

Тогда решение этого уравнения, удовлетворяющее физическому смыслу задачи (решением задачи будет являться лишь положительный корень), будет иметь вид:

вязкостью воды, определить её массовый расход, если разность уровней в манометрических трубках Δh = 8 см, а сечение трубы

у оснований манометрических трубок соответственно равны S1= 6 cм2 и S2 = 12 cм2. Плотность воды ρ = 1 г/см3.

Решение

Массовый расход воды – это масса воды, протекающая через сечение трубы за единицу времени,

где ρ – плотность воды, υ2 – скорость течения воды в месте сечения S2.

20

При стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости выполняются уравнение неразрывности

ческих трубок, υ1 и υ2 – скорости течения воды в местах сечения S1 и S2. Учитывая что

p2 p1 ρg h,

И решая систему уравнений (2) и (3), получим

Подставляя это выражение в уравнение (1), найдём массовый расход воды:

Вычисляя, получим Q = 0,868 кг/с.

21

3. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

3.1. Основные законы и формулы

1.Уравнения состояния идеального газа

pV m RT M

-уравнение Менделеева – Клапейрона.

2.Уравнение состояния реального газа

a

(p VM2 )(VM b) RT

- уравнение Ван-дер-Ваальса (для 1 моля газа), где М - молярная масса газа; а и b - константы Ван-дер-Ваальса.

3. Закон Дальтона

p pi ,

i

где рi - парциальное давление газа.

4.Барометрическая формула

Mgh

p p0e RT .

5. Основное уравнение кинетической теории:

p 2n k

3

поступательного движения молекулы газа; n - число молекул газа в единице объема.

6. Cредняя кинетическая энергия молекулы газа:

i

k 2kT ,

где i - число степеней свободы молекулы.

22

7.Скорость молекул:

-средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул

ср.кв 3kT / m 3RT / M ;

-средняя арифметическая

8kT / m 8RT / M ;

-наиболее вероятная

н.в. 2kT / m 2RT / M ,

где m - масса одной молекулы, М – масса моля.

где dn - число молекул идеального газа из общего числа n, имеющих при температуре Т скорости в интервале (υ, υ + dυ).

9. Распределение частиц в силовом поле (распределение Больцмана):

U

n n0e kT ,

где U - потенциальная энергия частиц; n0 – концентрация молекул на нулевом уровне.

10. Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени:

z 2 d2n ,

где d - эффективный диаметр молекулы; n - концентрация молекул; <υ> - средняя арифметическая скорость молекул.

11. Средняя длина свободного пробега молекул газа:

23

12. Закон Фика (уравнение диффузии):

dm D S t ,

dx

где m - масса газа, перенесенная в результате диффузии через

площадку S за время t; D 1 - коэффициент

3

градиент температуры в направлении, перпендикулярном к

теплопроводности. Здесь cV - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; - плотность газа.

14. Сила внутреннего трения между движущимися слоями газа:

скорости в направлении, перпендикулярном к площадке S.

15. Первое начало термодинамики:

Q = dU + A,

24

где Q - количество теплоты, сообщенное системе; А = pdV - элементарная работа, совершенная системой против внешних

сил; dU = i m RdT - изменение внутренней энергии.

2M

16.Теплоемкость идеального газа

удельная: с = Q ; mdT

молярная: С = Q =сМ. vdT

Молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении

где i - число степеней свободы молекул газа.

17. Уравнение Пуассона для адиабатного процессса:

pV = const; TV -1 = const; Tp(1- )/ = const,

где = Ср/Сv = (i+2)/i - коэффициент Пуассона.

18. Работа, совершаемая газом:

V2

а) в общем случае А = pdV ;

V1

б) в изобарном процессе (р=const) A= p (V2 - V1);

в) в изотермическом процессе (Т=const) A = m RT lnV2 ; M V1

г) при адиабатном процессе ( Q = 0) A = - U = (m/M) Cv T,

A= p1V1/( - 1) [1 - (V1/V2) -1].

19.К.п.д. тепловой машины:

Aполезн. (Q1 Q2) ,

Q1 Q1

25

где Q1 - тепло, получаемое рабочим телом, Q2 - отдаваемое тепло.

К.п.д. цикла Карно:

(Q1 Q2 ) (T1 T2) ,

Q1 T1

где Т1 и Т2 - температуры нагревателя и холодильника соответственно.

20. Приращение энтропии системы:

S Q , T

где Q - элементарное тепло, получаемое системой.

21. Связь между энтропией и термодинамической вероятностью:

S = k lnW,

где k - постоянная Больцмана, W - термодинамическая вероятность системы.

3.2. Примеры решения задач

Пример 1. Определить молярную массу М смеси кислорода массой m = 25 г и азота массой m = 75 г.

Решение

Молярная масса смеси М есть отношение массы смеси m к количеству вещества смеси ν:

Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси: m m1 m2 .

Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов:

26

1 2 m1 m2 .

M1 M2

Подставляя в формулу (1) выражения m и ν, получим

Молярная масса кислорода М1=32·10-3 кг/моль, азота М2=28·10-3 кг/моль. Подставив значения величин в (2), получим

М = 28,9·10-3 кг/моль.

Пример 2. Определить число молекул N, содержащихся в объёме V =1мм3 воды, и массу m1 молекулы воды. Считать условно, что молекулы воды имеют форму шариков, соприкасающихся друг с другом.

Решение

Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой m, равно произведению постоянной Авогадро NA на количество вещества ν:

N=νNA.

Так как mM , где M – молярная масса, то

N mNA M . Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объём V, получим

N VNA M .

Произведём вычисления, учитывая что молярная масса воды М=18·10-3 кг/моль:

N = 3,34·1019 молекул.

Массу m1 можно найти по формуле m1 = M/NA. Подставив значения М и NA, найдём массу молекулы

воды:

m1 = 2,99·10-26 кг.

27

Пример 3. В баллоне объёмом 10л находится гелий под давлением р1=10МПа и при температуре Т1=300К. После того как из баллона было взято m=10г гелия, температура в баллоне понизилась до Т2 =290 К. Определить давление р2 гелия, оставшегося в баллоне.

Решение

Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

где m2 – масса гелия в баллоне в конечном состоянии; М – молярная масса газа; R – молярная газовая постоянная.

Из уравнения (1) выразим искомое давление:

Массу m2 выразим через массу m1, соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона:

Массу m1 найдём из уравнения Менделеева – Клапейрона, применив его к начальному состоянию газа:

Произведя вычисления , получим

р2= 3,64·105 Па = 0, 364 МПа.

28