Учебное пособие 616
.pdfГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы
по курсу "Высшая математика" для студентов специальностей 280103 "Защитавчрезвычайныхситуациях", 280101 "Безопасностьжизнедеятельности"
и направления 280200 "Защитаокружающейсреды" очной формы обучения
Воронеж 2010
Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев
УДК 681.3.06
Функции нескольких переменных: Методические указания для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая математика" для студентов специальностей 280103 "Защита в чрезвычайных ситуациях", 280101 "Безопасность жизнедеятельности" и направления 280200 "Защита окружающей среды" / Воронеж. гос. техн. ун-т; Сост. И.Н. Пантелеев.
Воронеж, 2010. 51 с.
Настоящие методические указания предназначены в качестве руководства для организации самостоятельной работы
по курсу "Высшая математика" при изучении в 1 семестре раздела «Функции нескольких переменных» для студентов специальностей 280103 (ЧС), 280101 (БЖ) и 280200 (ЗС). В
работе приведен теоретический материал, необходимый для выполнения заданий и решение типовых примеров.
Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и содержатся в файле Vmfmm_FNP1.pdf.
Ил. 4. Библиогр.: 5 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Ломакин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
© ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2010
I. Краткие теоретические сведения Определение функции нескольких переменных
Переменная z называется функцией двух переменных х и у,
если каждой паре (х; у) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области D соответствует определенное значение z.
Обозначения: z= f(х; у), z = F(х; у), z= z(х; у) и так далее.
Переменная величина u называется функцией от n переменных х; у; z; . . . ;t, если каждому набору этих переменных соответствует единственное значение переменной u:
u= f(х; у;z; . . . ;t).
Всякая функция нескольких переменных становится функцией меньшего числа переменных, если часть переменных (аргументов) зафиксировать. Например, функции u= f(х;у;z),
u= f(х;у;а), u= f(х;b;а), где а и b— постоянные, являются функциями соответственно трех, двух и одной переменной.
В дальнейшем, в основном, будем рассматривать функции двух переменных z= f(х; у) или z= z(х; у). Под функцией
z= f(х; у) будем понимать также функцию точки М (х; у) с координатами х и у.
Множество D всех точек (х; у), при которых z= f(х; у) имеет смысл, называется областью определения, а множество значений z, принимаемых функцией z= f(х; у) при (х;у) D, назы-
вается областью изменения или множеством значений функ-
ции.
График функции двух переменных. Линии уровня
Множество точек пространства R 3 с координатами (х; у; z) = (х; у; f(х, у)) при всех (х; у) D называется графиком функ-
ции z= f (х;у). Для наглядного геометрического представления используют линии уровня для функции двух переменных и поверхности уровня для функции трех переменных.
Линей уровня функции z= f(х; у) называется множество всех точек плоскости Оху, в которых функция z принимает постоянное значение, т.е. f(х; у) = с, где с - постоянная.
Поверхностью уровня функции трех переменных
u= f(х;у;z) называется множество всех точек пространства Охуz, в которых функция u принимает постоянное значение,
т. е. f(х; у;z) = с, где с = const.
Предел функции в точке
Под (d-окрестностью точки М0 (х0 ; y 0 ) будем понимать круг (открытый) радиуса d с центром в точке М0 (х0 ; y 0 ) т. е.
(х - x 0 ) 2 + (у - y 0 ) 2 < d 2 .
Если из этого круга удалить его центр, то получим проколотую d- окрестность точки М0 (х0 ; y 0 ) , т. е.
0 < (х - х0 ) 2 + (у - y 0 ) 2 < d 2 .
Предположим, что функция двух переменных z= f(х; у) определена в некоторой проколотой d-окрестности точки М0 .
Число А называется пределом функции z = f (х; у) в точке М0 (х0 ; y 0 ), если для любого ε >0 (сколь угодно малого) най-
дется число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех М(х; у), отличных от М0 (х0 ; y 0 ) и отстоящих от М0 меньше, чем на δ , выполняется неравенство f (x; y) − А < ε .
Обозначения |
|
|
|
|
|
|
lim |
f (M ) = А, lim |
f (M ) = А, lim f (x; y) = А( r = |
|
М0М |
|
). |
|
|
|||||
M →M 0 |
x→x0 |
r →0 |
|
|
|
|
|
y→y0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Очевидно, что процесс поиска предела функции двух переменных, а тогда и доказательство равенства
А = lim f (x; y)
x→x0 y→y0
существенно сложнее случая одной переменной хотя бы потому, что условия
M → M 0 |
x → x |
0 |
r → 0 |
|
|||
|
y →y0 |
|
сложнее и разнообразнее: в них заложено произвольное приближение точки М (х;у) к точке М0 (х0 ; y 0 ) .
Наряду с определением предела, приведенным выше, который также называется двойным пределом, имеет смысл рассматри-
вать и так называемые повторные пределы lim ( lim f (x; y)) и
x→x0 y→y0
lim ( lim f (x; y)) . При определенных условиях эти пределы мо-
y→y0 x→x0
гут оказаться равными и совпадающими с двойным.
Замечание. Данное определение двойного предела будем сохранять и в том случае, когда функция f (х; у) определена только на некотором множестве Е, имеющем предельную точку М0 . Точка М0 называется предельной точкой (или точкой
сгущения) множества Е, если каждая окрестность М0 содер-
жит хотя бы одну точку множества Е. В таком случае x → x0 , y → y0 или (x; y) → (x0 ; y0 ) означает, что точка М(х;у) принадлежит только множеству Е.
При вычислении двойных пределов можно и нужно использовать известные теоремы о пределах для функции одной переменной, для краткости, будем писать f(М) вместо f(х; у).
Теорема 1 (о пределах). Пусть f(М) и g(М) — две функции,
определенные в некоторой проколотой окрестности точки М0
и lim f (M ) = А, |
lim g(M ) = B . Тогда |
|||||
M →M 0 |
|
|
|
M →M 0 |
||
1) |
lim ( f ± g)(M ) = А± B; |
|||||
|
M →M 0 |
|
|
|
|
|
2) |
lim ( f g)(M ) = А B; |
|||||
|
M →M 0 |
|
|
|
|
|
3) |
lim |
f |
(M ) = |
|
А |
(В ≠ 0); |
|
|
|
||||
|
M →M 0 |
g |
В |
|||
4) |
lim ( f (M ))g (M ) = АВ (А > 0). |
|||||
|
M →M 0 |
|
|
|
|
|
Непрерывность функции в точке
Функция z= f(М) называется непрерывной в точке М0 , если она удовлетворяет следующим трем условиям:
1) f(М) определена в некоторой окрестности точки М0 ,
2)имеет предел в этой точке: M →M 0 f (M ) = А,
3)этот предел равен значению функции в этой точке: А=f(М0 ).lim
Замечание. Данное определение непрерывности функции в точке М0 будем сохранять и в том случае, когда f(х; у) опреде-
лена только на некотором множестве Е, содержащем точку М0 . В этом случае условие 2) определения предела имеет вид
lim f (M ) = А.
M →M 0
М Е
4
3
Если функция f(х;у) не определена в точке М0 (х0 ; y 0 ) или
lim f (x; y) ≠ f (x0 ; y0 ), то М0 (х0 ; y 0 ) называется точкой раз-
x→x0 y→y0
рыва. Имеют место свойства, аналогичные свойствам непрерывных функций одной переменной.
Теорема 2 (о переходе к пределу). Если f(М) непрерывна в
точке М0 |
, то lim |
f (M ) = f ( lim M ). |
|
M →M 0 |
M →M 0 |
Теорема 3 (о сохранении знака). Если f(М) непрерывна в точ-
ке М0 и f(М0 ) > 0 (f(М0 ) <0), то найдется d-окрестность точки
М0 в которой f(М0) > 0 (f(М0 ) <0).
Теорема 4 (о непрерывных функциях). Пусть f(М) и g(М) —
две функции, определенные в некоторой окрестности точки М0 и непрерывных в этой точке. Тогда в этой точке непрерыв-
ны также функции (f ± g )(М), (fּg)(М), gf (M ), ( f (M ))g (M ) при
f(М0 )>0.
Теорема 5 (о непрерывности сложной функции). Пусть f(М)
определена в некоторой окрестности точки М0 и непрерывна в точке М0 , при этом значения f(М) попадают в некоторую окрестность точки P 0 , причем f(М0 ) = P 0 . Пусть g(Р) определена в окрестности точки P 0 и непрерывна в этой точке. Тогда сложная функция (суперпозиция) g[f (M )]=ϕ(M ) непрерывна в точке М0 .
Функции непрерывные на множестве
Функция, непрерывная в каждой точке некоторого множе-
ства точек Е называется непрерывной на этом множестве.
Для функций непрерывных на множестве имеют место аналоги теорем для функций одной переменной.
Множество Е называется связным, если две любые его точки можно соединить некоторой непрерывной кривой, полностью принадлежащей этому множеству.
Теорема 6 (Коши об обращении в ноль). Если z = f(М) не-
прерывна на связном множестве Е и в двух различных его точках принимает значения разных знаков, то на Е найдется точка Р такая, что f(Р)=0.
Множество Е называется ограниченным если оно целиком принадлежит некоторому кругу x2 + y2 ≤ R2 .
Множество Е называется открытым, если каждая точка принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью.
Открытое связное множество называется областью. Если к точкам области D присоединить точки ее границы, то такая
_
область называется замкнутой и обозначаетсяD .
Под граничной точкой области D имеется в виду такая точка Р, в каждой окрестности которой имеются как точки области D, так и точки не принадлежащие D. Граница области обознача-
_
ется ∂D . Следовательно, D = D ∂D.
Для функций непрерывных в замкнутых областях имеют место теоремы Вейерштрасса, которые объединены в одну.
Теорема 7 (Вейерштрасса). Если функция z = f(х, у) непре-
_
рывна в замкнутой области D , то она ограничена в ней. При этом непрерывная функция достигает в замкнутой области свои наибольшее и наименьшее значения.
6
5
Определение частных производных
Рассмотрим функцию двух переменных |
z= f(х; у), опреде- |
ленную и непрерывную в некоторой области D. Считаем, что |
|
точки с координатами (х; у), (х + х; у),(х;у + |
у), |
(х + x; у + y), где х, y — приращения аргументов, также принадлежат области D.
Частными |
приращениями функции |
z = f (х; у) по незави- |
||
симым переменным х и у называются разности |
||||
x z=f(х + |
х; у) - f(х; у), |
y z = f(х; у + у) - f(х; у). |
||
Полным приращением функции z = f(х; у), соответствую- |
||||
щим приращениям аргументов |
х и |
у, называется разность |
||
|
z= f(х + х; у + у) - f (х; у). |
|||
Заметим, что в общем случае |
z ≠ |
x z+ |
y z. |
Частной производной функции z = f(х;у) по переменным х и у называется предел отношения соответствующего частного приращения x z или y z к приращению данной перемен-
ной, при условии, что приращение переменной стремится к нулю:
z′x = lim |
x |
z |
, |
z′y = lim |
|
|
y z |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→0 |
|
|
|
y |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Приняты обозначения: z′ |
, |
∂z , |
∂f |
, |
∂f |
(x; y), |
∂ |
z, |
∂ |
f , |
∂ |
f (x; y) |
|||||
|
∂x |
∂x |
∂x |
∂x |
|||||||||||||
|
|
|
x |
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
(аналогично по другой переменной).
Геометрический смысл частной производной
Исходим из рис.1 на котором изображен график Г функции z = f (x; y); P0 (x0 ; y0 ; z0 ) −точка на графике, M 0 (x0 ; y0 ) -
проекция P0 на |
плоскость Oxy, |
z0 |
= M 0 P0 . |
Через прямую |
M 0 P0 проведены |
две плоскости |
p1 |
и p2 : |
p1 параллельна |
плоскости Oxz , p2 параллельна плоскости Oyz.
Рис. 1
Сечение Г с первой плоскостью представляет собой кривуюz = f (x; y0 ) =ϕ(x) - функцию переменной х, а сечение Г с
p 2 представляет кривую z = f (x0 ; y) = g( y) - функцию переменной у. На чертеже изображены также касательные t1 к
ϕ(x) в |
точке |
Р0 и t 2 - |
к g(у) |
в точке Р0 . |
Тогда |
z′x (x0 ; y0 ) =ϕ′(x0 ) = k1 = tgα - угловой коэффициент t1 ,α |
-угол |
||||
наклона t1 к Ох, |
z′y (x0 ; y0 ) = g′( y0 ) = k2 |
= tgβ - угловой коэффи- |
|||
циент t 2 , |
β - угол наклона t 2 |
к Оу. |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
7
Дифференциал функции. Линеаризация функций
Если функция f(х; у) обладает частными производными f x′ и f y′‚ непрерывными в точке M 0 (x0 ; y0 ) , то теорема Лагранжа
(конечных приращений) для функции одной переменной позволяет получить следующее приближенное равенство (при
x ~ 0, |
y ~ 0); |
|
|
|
z =f(х0 |
+ |
х; у0 + y ) - f(х0 |
; у0 )= |
|
=f( х0 + |
х; у0 + y )- f( х0 ; у0 + |
y)= f(х0 ; у0 + |
y) − f (x0 ; y0 ) = |
|
= f x′(х0 + Ө1 |
х; у0 + y ) x+ f y′(х0 ; у0 +Ө2 |
y ) у ≈ |
||
≈ f x′(х0 у0 ) |
x+ f y′(х0 у0 ) у |
|
|
(0< Ө1<1, 0< Ө2<1- некоторые числа, фигурирующие в теореме Лагранжа).
Таким образом, полное приращение функции приближен-
но равно f x′(х0 , у0 ) x+ f y′(х0 , у0 ) у.
Это выражение представляет собой главную, линейную часть приращения функции и называется дифференциалом этой функции в данной точке.
Обозначение dz = z′x dx + z′y dy (здесь dx= x,dy= у- про-
извольные приращения аргументов). Приняты также обозначения: d x z = z′x dx, d y z = z′y dy -частные дифференциалы функ-
ции z. Тогда dz = d x z + d y z - полный дифференциал функции z.
Как правило, под дифференциалом функции будем понимать полный дифференциал.
Если полное приращение z функции z= f x′(х, у ) в точке
M 0 (x0 ; y0 ) |
можно |
представить в виде |
9
z=А х+В y+ε1 |
x +ε2 |
y , где А и В не зависят от |
x и |
y , а (ε1 ;ε2 ) → (0;0) |
при ( |
x ; y ) → (0;0) ,то функция f |
(х,у ) |
называется дифференцируемой в точке M 0 .
Теорема 8. Для того, чтобы функция z= f (х, у ) была диффе-
ренцируемой в данной точке, достаточно, чтобы она обладала частными производными, непрерывными в этой точке.
Сравнивая z и dz заключаем, что они являются величинами одинакового порядка малости при x → 0 и y → 0 , т.е.
z ≈ dz( x ~0, |
y ~0). |
Это приближенное равенство (тем точ- |
нее, чем меньше |
x и |
y ), записанное в виде |
f(х0 + х; у0 + y ) ≈f(х0 ; у0 )+ f x′(х0 ; у0 ) x+ f y′(х0 ; у0 ) y
Называется линеаризацией функции z = f (x; y) в окрестности точкиM 0 (x0 ; y0 ) .
Это соотношение применяется в приближенных вычислениях: дифференцируемую функцию можно заменить линейной функцией в окрестности, рассматриваемой точки.
Замечание. Понятие частных производных, дифференциала, линеаризации распространяются на функции трех и более переменных.
Дифференцирование сложных и неявных функций. Касательная и нормаль к поверхности
Случай одной независимой переменной. Предположим, что z = f(х; у) - дифференцируемая функция двух переменных х и у в некоторой области D, а аргументы х и у являются дифференцируемыми функциями некоторой переменной t , т. е. х = х(t), у = у( t). Тогда z = f[x(t); y(t)]=ϕ(t) - функция одной перемен-
ной t. |
10 |
Теорема 9. Имеет место равенство
z′ = dzdt = ddtϕ = ∂∂xz dxdt + ∂∂yz dydt .
Если t совпадает с одним из аргументов, скажем, t = х, то dxdz = ∂∂xz + ∂∂yz dydx .
и dxdz называется полной производной функции z по х.
Случай нескольких независимых переменных. Если аргу-
менты х и у функции z = f(х; у) являются функциями двух переменных, скажем, х=х(u;v), у=у(u;v), то
z=f [x(u;v); y(u;v)]
также является функцией двух переменных u и v. Теорема 10. Имеют место формулы
dudz = ∂∂xz ∂∂ux + ∂∂yz ∂∂uy и ∂∂vz = ∂∂xz ∂∂xv + ∂∂yz ∂∂yv .
Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных.
Дифференциал сложной функции
Дифференциал сложной функции z = z(х;у), где х = х(u;v), у = у(u;v), можно получить, если в формуле дифференциала
dz = ∂∂xz dx + ∂∂yz dy
заменить dx = ∂∂ux du + ∂∂xv dv и dy = ∂∂uy du + ∂∂yv dv .
В результате подстановки и перегруппировки членов при du и dv приходим к формуле
dz = ∂∂uz du + ∂∂vz dv ,
показывающей, что форма (вид) дифференциала не зависит от того, являются ли x и у независимыми переменными или функциями других независимых переменных. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала.
Неявная функция одной переменной
Функция у = у(х) называется неявной функцией, если она определяется уравнением F(х;у) = 0, неразрешенным относительно у.
Это значит, что при каждом значении х0 при котором неявная функция определена, она принимает единственное значение y 0 так, что F(х0 ;у0 ) = 0.
Теорема 11. Если F(х; у) - дифференцируемая функция переменных х и у в некоторой области D и Fy′(x; y) ≠ 0 , то уравне-
ние F(х;у)=0 определяет однозначно неявную функцию у (х), также дифференцируемую, и ее производная находится по формуле
y′ = dy = Fx′(x; y) dx Fy′(x; y)
В частности,
y′(x0 ) = − |
Fx′(x0 ; y0 ) |
. |
|
||
|
Fy′(x0 ; y0 ) |
|
|
12 |
|
11
Неявная функция двух переменных
Функция z = z(х; у) называется неявной функцией переменных х и у, если она определяется уравнением F(x;y;z) = 0, неразрешенным относительно z.
Теорема 12. Если функция F (х; у; z) дифференцируема по переменным х, у, z в некоторой пространственной области D и Fz′(x; y; z) ≠ 0 ; то уравнение F(х;у;z) =0 определяет однозначную неявную функцию z(х;у), также дифференцируемую и
∂z |
|
F ′(x; y; z) |
|
∂z |
|
Fy′(x; y; z) |
|
|
|
= − |
x |
; |
|
= − |
|
. |
|
∂x |
Fz′(x; y; z) |
∂y |
Fz′(x; y; z) |
|||||
|
|
|
|
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть P0 (x0 ; y0 ; z0 ) фиксированная точка на поверхности Г, заданной функцией z= f(х; у) или уравнением F(х; у; z) = 0.
Касательной плоскостью к Г в точке P0 называется плос-
кость t, в которой расположены касательные к всевозможным кривым, проведенным на Г через P0 . Нормалью называется
прямая n, проходящая через P0 перпендикулярно t .
Из определения t и n следует, что нормальный вектор касательной плоскости t и направляющий вектор прямой n совпадают.
Уравнения t и n имеют вид:
а) если Г задана явно функцией z = f(х; у), то:
(t): z − z0 = z′x (x0 ; y0 )(x − x0 ) + z′y (x0 ; y0 )( y − y0 ),
(n): |
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
; |
|
z′x (x0 ; y0 ) |
z′y (x0 ; y0 ) |
−1 |
|||||
|
|
|
|
б) если Г задана уравнением F(х; у; z) = 0, то:
(t): Fx′(x0 ; y0 ; z0 )(x − x0 ) + Fy′(x0 ; y0 ; z0 )( y − y0 ) + + Fz′(x0 ; y0 ; z0 )(z − z0 ) = 0,
(n): |
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
|
|
|
|
. |
|||
Fx′(x0 ; y0 ; z0 ) |
Fy′(x0 ; y0 ; z0 ) |
Fz′(x0 ; y0 ; z0 ) |
Частные производные и дифференциалы высших порядков. Определение частных производных второго порядка
Если задана функция z = f(х; у) и вычислены ее частные производные ∂∂fx (x; y) и ∂∂fy (x; y) , то они, вообще говоря, могут
быть также дифференцируемыми функциями двух независимых переменных х и у. Приняты обозначения:
|
∂ |
∂z |
= |
∂2 z |
|
- вторая частная производная по х; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂ |
∂z |
|
∂2 z |
|
|
∂ |
|
∂z |
|
∂2 z |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
= |
|
смешанные част- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y∂x |
|
|
∂y ∂x ∂x∂y ∂x |
∂y |
|
|
||||||||||||||
ные производные второго порядка; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
∂ |
|
∂z |
|
|
∂ |
2 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
- вторая частная производная по у. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂y |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 13 (Шварца). Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они равны между собой. Другими словами, результат смешанного дифференцирования не зависит от порядка.
14
13
Дифференциал второго порядка
Выражение |
|
|
|
|
|
|
d 2 z = d(dz) = |
∂2 z dx2 |
+ 2 |
∂2 z |
dxdy + |
∂2 z dy2 |
|
∂x∂y |
||||||
|
∂x2 |
|
|
∂y2 |
называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка для функции z.
Производные и дифференциалы высших порядков
По аналогии можно определить частные и смешанные производные высших порядков, часть которых, согласно теореме Шварца, равны между собой.
Таким образом, имеем три различных производных второго порядка, четыре различных производных третьего порядка
∂3 z |
, |
∂3 z |
, |
∂3 z |
, |
∂3 z |
|
∂x3 |
∂x2 ∂y |
∂x∂y2 |
∂y3 |
||||
|
|
|
и так далее.
Число разных частных производных порядка n от функции двух переменных равно n + 1:
∂n z |
, |
∂n z |
, |
∂n z |
,. . ., |
∂n z |
, |
∂n z |
, |
∂n z |
. |
|
∂xn |
∂xn−1∂y |
∂xn−2 ∂y2 |
∂x2 ∂yn−2 |
∂x∂yn−1 |
∂yn |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Дифференциалы высших порядков определяются по аналогии:
d 3 z = d(d 2 z) = |
∂3 z dx3 |
+3 |
∂3 z |
dx2dy +3 |
∂3 z |
dxdy2 + |
∂3 z dy3 . |
|
∂x2∂y |
∂x∂y |
|||||||
|
∂x3 |
|
|
|
∂y3 |
Выражение для d n z формально можно записать в виде
|
∂ |
|
∂ |
n |
|
d n z = |
|
dx + |
|
dy |
(z) , |
|
|
||||
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
напоминающем формулу бинома Ньютона.
Производная по направлению. Градиент. Определение производной по направлению
Частные производные |
∂f |
и |
∂f |
представляют собой произ- |
|
∂x |
|
∂y |
|
водные от функции z =f (х; у) по двум частным направлениям осей Ох и Оу.
Пусть z = f (х; у) - дифференцируемая функция в некоторой области D, M( x0 ; y0 ) D . Пусть l - некоторое направление (вектор с началом в точкеM 0 , а e = (cosα;sinα) - орт этого на-
правления. Пусть |
M (x0 |
+ x; y0 |
+ y) - |
точка |
в направлении |
|||||||||||
l |
от |
|
M 0 . |
Обозначим |
p = |
x2 + |
|
y2 . |
|
Тогда |
||||||
|
x |
= cosα, |
y |
= sinα, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Предел отношения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
lim |
l f |
= lim |
f (x0 + |
x; y0 + |
y) − f (x0 ; y0 ) |
= |
∂f (x |
0 |
; y |
0 |
) |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
p→0 |
p |
|
p→0 |
|
|
p |
|
|
|
∂l |
|
|
называется производной функции f по направлению l .
Существование этого предела и выражение его через ∂∂fx и ∂∂fy , cosα, sinα, вытекает из следующего соотношения:
16
15
l f |
= |
f (x0 |
+ p cosα; y0 + |
p sinα) − f (x0 ; y0 + |
p sinα) |
cosα + |
||||
p |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
p cosα |
|
|
|
|
|
||
f (x0 ; y0 + |
p sinα) − f (x0 ; y0 ) |
sinα → |
∂f |
cosα + |
∂f |
sinα , |
||||
|
|
∂x |
∂y |
|||||||
|
|
|
p sinα |
|
|
|
|
|
p → 0.
Таким образом,
∂∂fl = ∂∂fx cosα + ∂∂fy sinα .
Теорема 14. Производная по направлению, касательному к линии уровня поверхности z=f(x;y) равна нулю.
Случай нескольких переменных
По аналогии со случаем функции двух переменных можно определить производную по направлению для функции трех переменных u=f(х; у; z). Окончательная формула такова:
∂∂ul = ∂∂fx cosα + ∂∂fy cos β + ∂∂fz cosγ ,
гдеe = (cosα;cos β;cosγ ) - орт направления; l или cosα;cos β;cosγ - направляющие косинусы направления l .
Теорема 15. Производная по направлению касательному к поверхности уровня функции u = f(х;у;z), равна нулю.
Градиент
Градиентом функции z=f(x;y) (скалярного поля) называется
вектор с координатами |
∂f |
, |
∂f |
∂f |
; |
∂f |
|
|
|
. Обозначениеgrad z= |
|
. |
|||
|
∂x |
|
∂y |
∂x |
|
|
|
|
|
|
∂y |
||||
|
|
|
|
17 |
|
|
|
Теорема 16. Имеет место равенство ∂∂fl = gradz e , т.е. произ-
водная по направлению l равна скалярному произведению векторов градиента и орта направления l .
Следствие. Векторgradz e в каждой точке направлен по
нормали к линии уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции.
При этом
max |
∂f |
= gradz = |
|
∂f 2 |
|
∂f |
2 |
|
|
|
+ |
. |
|||
{l} ∂l |
|
∂x |
|
|
|
||
|
|
∂y |
|
Теорема 17. Скорость изменения функции f по некоторому
направлению l равна проекции вектора градиента на это направление, т.е.
∂∂fl = прi grad f .
Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума
Рассмотрим функцию z= f(x,y), непрерывную в точке М0(x0,y0) и некоторой ее окрестности.
|
|
z |
|
|
z |
|
f(M) |
f(M0) |
|
f(M) |
|
|
|
|
f(M0) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
y0 |
x0 |
|
y |
|
x0 |
y |
|
M0 |
|
M0 |
||
|
x |
|
x |
||
|
|
|
|
||
|
|
Рис. 2. |
18 |
|
Рис. 3. |
|
|
|
|
|