Учебное пособие 609
.pdfТак как предел |
3 |
>1, то, согласно признаку Коши, ряд |
|
2 |
|
расходится.
Замечание. Расходимость этого ряда можно доказать иначе. Ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости:
|
3n +1 n |
|
|
3 + |
1 |
n |
|
|
= lim |
|
n |
|
= ∞. |
||
lim |
|
|
|
|
|||
|
1 |
||||||
n→∞ |
2n −1 |
n→∞ |
|
2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1.3. Знакопеременные ряды
Числовой ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным.
∞ |
|
Пусть дан знакопеременный ряд ∑an |
(1) |
n=1
Рассмотрим ряд (2), составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
∞ |
|
∑an = a1 + a2 +... + an +... |
(2) |
n=1
Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Ряд (1) в этом случае называется абсолютно сходящимся.
Если ряд (2) расходится, то из этого не следует, вообще говоря, что и (1) расходится: ряд (1) может оказаться как сходящимся, так и расходящимся. Возможен случай, когда ряд
(1) сходится, а (2) расходится; тогда ряд (1) называется
условно (неабсолютно) сходящимся.
Признак Лейбница для знакопеременных рядов. Если члены знакочередующегося ряда
∞ |
|
∑(−1)n an = a1 −a2 +... +(−1)n an +... (an > 0) |
(3) |
n=1
1)монотонно убывают по абсолютной величине:
10
an+1 > an (n = 1,2,3,...)
2) и стремятся к нулю: lim an = 0, то ряд (3) сходится,
n→∞
сумма его S положительна и не превосходит первого члена ряда:
0 < S < a1.
Если знакочередующийся ряд начинается с отрицательного члена:
−a1 +a2 −a3 +... ( an > 0 ),
идля этого ряда выполнены условия 1) и 2) теоремы Лейбница, то и такой ряд сходится, сумма его S отрицательна
иудовлетворяет неравенству
|
|
|
−a1 < S < 0. |
|
|
|
|
При |
замене |
суммы |
S ряда, |
|
удовлетворяющего |
||
признаку Лейбница, суммой п его |
первых членов (Sn ) |
||||||
абсолютная |
величина |
ошибки |
|
rn |
|
не превышает |
|
|
|
абсолютного значения первого из отброшенных членов: rn ≤ an+1 .
Знак ошибки (знак rn ) |
совпадает со знаком первого из |
|||||
отброшенных членов. Здесь rn = S −Sn |
(см. п. 1.1). |
|
||||
∞ |
(−1) |
n+1 |
|
|
|
|
Пример 1. Ряд ∑ |
|
=1− 1 |
+ 1 |
−... +(−1)n+1 1 |
+..., |
|
n |
|
|||||
n=1 |
2 |
3 |
n |
|
называемый рядом Лейбница, сходится по признаку Лейбница. В то же время ряд, составленный из абсолютных величин его членов
∞ |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
∑ |
=1+ |
+ |
+... + |
+... |
|||||
n |
2 |
3 |
n |
||||||
n=1 |
|
|
|
|
расходится (гармонический ряд). Таким образом, ряд Лейбница - условно (неабсолютно) сходящийся ряд.
11
∞ |
n+1 |
|
Пример 2. Ряд ∑(−1)p (р > 0) |
(4) |
|
n=1 |
n |
|
является знакочередующимся. При р > 0 он удовлетворяет условиям признака Лейбница:
1) |
1 |
|
< |
1 |
(n=1,2,3,…), |
||
(n +1)p |
n p |
||||||
|
|
|
|||||
2) |
lim |
1 |
|
= 0 |
|
||
|
|
||||||
|
n→∞ n p |
|
|
|
и, следовательно, сходится.
Если заменить все члены их абсолютными величинами, получим ряд Дирихле:
∑∞ 1p ,
n=1 n
который сходится при р > 1 и расходится при р ≤ 1 (см. п. 1.2). Таким образом, ряд (4) при р > 1 сходится абсолютно, а при 0 < р ≤ 1 сходится условно.
Пример 3. Доказать сходимость ряда ∑∞ sin3n.
n=1 n
Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда, т.е. ряд
∑ sin3n |
|
= sin13 |
+ sin3 |
2 +... + sin3n +... |
(5) |
||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n=1 |
|
n |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||
Так как |
|
sin n |
|
≤1, |
|
то |
каждый член ряда (5) не |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
превышает соответствующего члена ряда |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
= |
|
+ |
+... + |
+... |
|
(6) |
||||||||||||
|
|
|
|
3 |
2 |
|
3 |
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
n |
1 |
|
1 |
|
|
|
n |
|
Ряд (6) является рядом Дирихле, т. е. рядом вида ∑∞ 1p , где
n=1 n
p = 3. Так как p > 1, то ряд (6) сходится. Согласно первому признаку сравнения, ряд (5) также сходится. Тогда, по теореме
12
об абсолютной сходимости, данный знакопеременный ряд сходится абсолютно.
Пример 4. Сколько членов ряда
∞ |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
n |
|
∑(−1)n+1 |
=1− |
+ |
− |
+... + |
(−1)3 +... |
|||||
3 |
3 |
3 |
3 |
|||||||
n=1 |
n |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
n |
нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до
0,001? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данный |
ряд |
является |
|
знакочередующимся |
рядом, |
|||||
удовлетворяющим всем условиям признака Лейбница: |
|
|||||||||
|
1 > |
1 |
> |
1 |
> |
1 |
>...; lim |
1 |
= 0. |
|
|
23 |
|
43 |
|
|
|||||
|
|
33 |
|
n→∞ n3 |
|
Следовательно, данный ряд сходится, притом абсолютно. Чтобы вычислить сумму этого ряда с указанной точностью, необходимо найти такой член, абсолютная величина которого
меньше 0, 001, т.е. |
1 |
< 0,001 или |
n3 >1000, иначе говоря, |
|
n3 |
||||
|
|
|
n > 10. Следовательно, нужно просуммировать 10 первых членов данного ряда. Так как
a11 = 1113 < 0,001,
то получаем следующую оценку для ошибки:
r10 ≤ a11 < 0, 001.
Пример 5. Исследовать, сходится или расходится ряд
∞ |
n+1 |
|
|
1 |
n |
|
∑(−1) |
|
|
||||
|
1 |
+ |
|
. |
||
|
|
|||||
n=1 |
|
|
|
n |
|
Данный ряд знакочередующийся. Абсолютная величина его общего члена
13
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
an = 1+ |
|
|
. |
|
||
|
n |
|
|||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
||
lim an = lim 1 |
+ |
|
|
|
|
= e, |
|
|
n |
||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
т.е. общий член ряда к нулю не стремится, ряд расходится (не выполнен необходимый признак сходимости).
В заключение темы "Числовые ряды" напомним, какие признаки сходимости можно применять к рядам с положительными членами, и какие - к знакопеременным рядам:
Необходимый признак сходимости
Ряды с положительными |
Знакопеременные ряды |
членами |
|
Признаки сравнения |
Теорема Лейбница |
Признак Даламбера |
(знакочередующиеся ряды) |
Признак Коши |
Теорема об абсолютной |
Интегральный признак |
сходимости |
|
(знакопеременные ряды) |
2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
2.1. Сходимость функциональных рядов
Ряд
∞ |
|
∑un (x) = u1 (x) +u2 (x) +... +un (x) +... |
(1) |
n=1
называется функциональным, если его члены являются функциями от аргумента х. При каждом фиксированном
14
значении x = x0 , |
функциональный |
ряд (1) |
становится |
||
числовым рядом |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∑un (x0 ) = u1 (x0 ) +u2 (x0 ) +...+un (x0 ) +... |
(2) |
||||
n=1 |
|
|
х0 |
|
|
Если ряд (2) сходится, то |
называется точкой |
||||
сходимости ряда (1). Совокупность |
всех точек |
сходимости |
|||
х функционального |
ряда (1) |
называется его областью |
|||
сходимости, а функция |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(x) = lim Sn (x) = lim |
∑uk (x) - суммой данного ряда. |
||||
n→∞ |
n→∞ |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция
rn (x) = S(x) −Sn (x)
называется остатком ряда (1).
Если ряд (2) расходится, то значение х0 называется точкой расходимости ряда.
В простейших случаях для определения области сходимости ряда (1) можно применять к нему известные признаки сходимости числовых рядов, считая х фиксированным.
2.2. Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
∞ |
∞ |
|
|
∑un (x) = ∑an (x −a)n = a0 +a1 (x −a) +...+an (x −a)n +... , (1) |
|||
n=0 |
n=0 |
|
|
где an (n = 0,1, 2,...) |
- числа, называемые коэффициентами |
||
ряда. При |
a = 0 ряд принимает вид |
|
|
|
∞ |
|
|
|
∑an xn |
= a0 +a1x +a2 x2 +... +an xn +... |
(2) |
n=0
Теорема Абеля:
1) Если ряд (2) сходится при x = x0 ≠ 0 , то он абсолютно сходится при любом значении х, удовлетворяющем
15
неравенству x < x0 .
2) Если ряд (2) расходится при x = x1 , то он расходится и при любом значении х, для которого x > x1 .
Область сходимости степенного ряда (2) есть симметричный относительно начала координат O интервал (-R, R), называемый интервалом сходимости ряда (2). Число
R(0 ≤ R < +∞) называется радиусом сходимости ряда (2). Радиус сходимости может быть вычислен по формулам
R = lim |
an |
|
|
|
|
(3) |
||||
a |
||||||||||
n→∞ |
|
|
||||||||
|
|
|
n+1 |
|
|
|||||
или |
1 |
|
|
|||||||
R = lim |
|
. |
(4) |
|||||||
|
|
|||||||||
n→∞ n |
|
an |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Степенной ряд (2) внутри интервала сходимости сходится абсолютно. Вне интервала сходимости ряд (2) расходится. При x = −R или x = R ряд (2) может оказаться расходящимся, сходящимся условно или сходящимся абсолютно.
Степенной ряд (1) сходится абсолютно на интервале
(a − R, a + R).
На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная функция.
Если пределы интегрирования α, β лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то определённый интеграл от суммы ряда в этих пределах равен сумме таких же интегралов от членов ряда. Интервал сходимости нового ряда остаётся прежним.
Пусть |
S(x) = a |
+a x +a x2 |
+... +a xn +... - степенной |
|
|
0 |
1 |
2 |
n |
ряд, имеющий интервал сходимости (−R, R) . Тогда ряд
16
ϕ(x) = a +2a x2 +... +na xn−1 +... сходится |
на том |
же |
||||||||||||||
|
1 |
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||
интервале, |
и его сумма ϕ(x) = S '(x) при |
|
x |
|
< R. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
Простейшим примером степенного ряда является |
||||||||||||||||
геометрическая |
|
прогрессия |
1+ x + x2 +... + xn +... |
Этот |
ряд |
|||||||||||
сходится |
при |
|
q |
|
= |
|
x |
|
<1. Следовательно, для данного ряда |
|||||||
|
|
|
|
радиус сходимости R = 1, а интервалом сходимости является интервал (-1, 1 ). Сумма этого ряда равна
S(x) = 1−1 x
(в соответствии с |
формулой |
|
|
|
S(x) = |
|
|
a |
|
, |
a = 1, q = x). |
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
−q |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поэтому |
для |
функции |
S(x) = |
1 |
|
|
|
имеем |
следующее |
|||||||||||||||||||
1− x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
разложение в степенной ряд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
=1+ x + x2 |
+... + xn +... ( |
|
x |
|
<1) . |
|
(5) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1− x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Найти радиус и интервал сходимости |
||||||||||||||||||||||||||||
степенного ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Применим формулу (3): |
|
|
n=1 n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
= lim(n +1) = ∞. |
|||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
= lim |
|
|
: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
a |
n! |
(n +1)! |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = ∞ , |
значит, |
ряд сходится при всех х, т. |
е. |
в интервале |
(−∞; +∞) . Заметим для дальнейшего, что из сходимости ряда
вытекает: lim |
xn |
= 0 при всех х. |
|
||
n→∞ n! |
|
Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда
17
|
|
∞ |
|
n |
xn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Радиус сходимости найдём по признаку Даламбера: |
|
|
|
|
|||||||||||
R = lim |
nn (n +1)! |
= lim |
|
|
n +1 |
= |
1 |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
n |
e |
|
|
|
|||||||
n→∞ n! (n +1)n+1 |
|
n→∞ |
+ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
(n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 . |
|
Таким образом, |
ряд сходится |
|
на |
интервале − |
< x < |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
Исследуем сходимость ряда на концах интервала:
∞ |
nn |
|
− |
1 n |
т. е. |
||
1) На левом конце ряд принимает вид ∑ |
n! |
|
e |
|
, |
||
n=1 |
|
|
|
|
|
является знакочередующимся. |
|
Абсолютная величина его |
|||||||
общего члена |
n n |
с учётом формулы Стирлинга (см. п.1.1) |
|||||||
n!en |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
эквивалентна при |
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
nn |
|
|
= |
1 |
→ 0. |
|
|
|
|
n n |
e |
n |
2πn |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2πn |
|
|
|
|
||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
По теореме Лейбница, ряд на левом конце интервала сходится.
2) На |
правом |
конце |
|
интервала |
|
ряд |
принимает вид |
||||||||||||||
∞ |
n |
n |
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
∑ |
|
|
; an = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
||||
n! e |
n |
|
n! e |
n |
|
|
|
n |
n |
|
|
1 2 |
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
n |
2π n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πn |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|||
Это - ряд Дирихле при |
p = |
, |
поэтому данный ряд на правом |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конце своего интервала сходимости расходится. Таким образом, область сходимости ряда есть промежуток
18
−1 ; 1 .e e
2.3. Ряд Тейлора
Пусть функция f (х) имеет на некотором отрезке непрерывные производные до (n + 1)-го порядка включительно, а точка а находится внутри этого отрезка. Тогда для любого х из этого отрезка имеет место формула Тейлора:
f (x) = f (a) + |
f '(a) |
(x −a) +... + |
f (n) (a) |
(x −a)n + R |
(x), |
(1) |
|||
|
|
||||||||
|
|
1! |
|
|
|
n! |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где остаточный член Rn (x) может быть записан в виде |
|
||||||||
R |
(x) = |
f (n+1) (ξ) |
(x −a)n+1 |
|
|
(2) |
|||
|
|
|
|||||||
n |
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(форма Лагранжа), причём ξ |
лежит между a и x. |
|
|
Очевидно, число ξ можно записать также в виде |
a +θ(x −a), |
|||||
где 0 <θ <1. |
|
|
|
|
|
|
В случае а = 0 формула Тейлора принимает вид: |
|
|||||
f (x) = f (0) + |
f '(0) |
x +... + |
f (n) (0) |
xn + R (x), |
(3) |
|
|
|
|||||
|
1! |
|
|
n! |
n |
|
где |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
R (x) = |
f (n+1) (θ x) |
xn+1 (0 <θ <1). |
(4) |
|||
|
||||||
n |
(n +1)! |
|
|
|
||
|
|
|
|
Формула (3) носит название формулы Маклорена.
Если функция f (х) имеет производные всех порядков на некотором отрезке, содержащем внутри себя точку а, и выполняется условие
lim R (x) = 0 |
(5) |
n→∞ n |
|
для всех x из указанного отрезка, то функция на этом отрезке является суммой степенного ряда
f (x) = f (a) + |
f '(a) |
(x −a) +... + |
f (n) (a) |
(x −a) |
n |
+... |
(6) |
1! |
n! |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
19