Учебное пособие 582
.pdfФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
472 - 2015
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы
по курсу "Высшая математика" для студентов направления 20.03.01 «Техносферная безопасность»
(«Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды») очной формы обучения
Воронеж 2015
Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев
УДК 681.3.06
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений:
методические |
указания |
для |
организации самостоятельной |
||||||
работы |
по |
|
курсу"Высшая |
математика" |
для |
студентов |
|||
направления 20.03.01 |
«Техносферная безопасность» («Защита |
||||||||
в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в |
|||||||||
техносфере», |
«Защита |
|
окружающей |
среды») очной |
формы |
||||
обучения |
/ |
ФГБОУ |
ВПО «Воронежский |
государственный |
|||||
технический |
университет»; Сост. |
И.Н. Пантелеев. Воронеж, |
|||||||
2015. 50 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Настоящие |
методические |
указания |
предназначены в |
||||||
качестве руководства для организации самостоятельной работы |
|||||||||
по курсу "Высшая математика" при изучении во1 семестре |
|||||||||
раздела |
«Дифференциальные |
уравнения» |
для |
студентов |
|||||
специальности |
ТБ. |
В |
работе |
приведен |
теоретический |
||||
материал, |
необходимый |
для выполнения заданий |
и решения |
типовых примеров.
Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редактореMicrosoft Word 2003 и
содержатся в файле Vmfmm_DifUr_15.pdf.
Ил.2. Библиогр.: 5 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Ломакин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ã ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2015
1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
1.1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения
|
Во многих задачах науки и техники требуется находить |
|
||||||
неизвестную функцию, которая удовлетворяет уравнению, |
|
|||||||
связывающему эту функцию, ее производные и независимую |
|
|||||||
переменную. |
Простейшая |
такая |
задача |
встречалась |
в |
|||
интегральном исчислении, где находили функцию по данной |
|
|||||||
ее |
производной, |
то |
есть |
находили |
, функци |
|||
удовлетворяющую уравнению |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y ' = f (x) . |
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Найти у, если y ' |
= x3 |
|
знаем, что |
|
|||
|
РЕШЕНИЕ. |
Из интегрального исчисления мы |
|
|||||
уравнению |
y ' = x3 |
удовлетворяет |
множество |
функций |
|
y ' = x4 + C , где С — произвольная постоянная. 4
Чтобы из этого множества выделить одну определенную функцию, нужно задать дополнительное условие. Например, найдем функцию, которая при х = 1 принимает значение у = 2, то есть у(1) = 2. Подставляя х = 1, у
|
|
|
x4 |
|
1 |
|
|
. Отсюда C = |
7 |
. |
||||||
= 2 в формулу y ' = |
|
+ C , получим 2 = |
|
|
+ C |
|
||||||||||
4 |
4 |
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, функция, |
удовлетворяющая |
уравнению |
||||||||||||||
y ' = x |
3 |
и условию у(1) = 2, имеет вид y = |
|
x4 |
7 |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенной между осями координат, делится пополам в точке касания.
РЕШЕНИЕ. Пусть у = f(x) — уравнение искомой кривой, М(х,у) — произвольная точка этой кривой, а АВ -- касательная
к кривой в точкеМ. Угол, образованный касательной с осью Ох, обозначим через j . Из дифференциального исчисления мы знаем, что угловой коэффициент касательной к кривой равен
k = tgj , tg(1800 -j) = PM Þ tgj = - PM Þ tgj = - y (1)
PA |
|
|
AM |
x |
и получаем уравнение |
|
y |
|
|
|
y ' = - |
, |
(2) |
|
|
|
|||
|
|
x |
|
которое связывает неизвестную функцию, ее производную и
независимую переменную. |
|
|
|
|
|
Проверкой |
можно |
убедиться, что |
уравнению (2) |
||
удовлетворяет |
любая функция видаy = |
C |
. |
Таким образом, |
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
мы получили семейство гипербол. Найдем гиперболу, которая проходит через точку М0(2, 3). Подставляя координаты точки
в формулуy = |
C |
, получим |
3 = |
C |
, С = 6. Следовательно, |
|
|
||||
|
x |
2 |
|
уравнение гиперболы, проходящей через точку М0(2, 3), имеет
вид y = 6 . x
Пример 3. Груз, масса которого т, закреплен на верхнем конце вертикально расположенной пружины(рессоры). Его отклоняют от точкиО на некоторое расстояние, а затем отпускают. Определить закон движения груза, если сила, действующая на него со стороны пружины, пропорциональна сжатию (растяжению) пружины и направлена в сторону точки О (точки, в которой находился верхний конец пружины, когда она была в свободном состоянии).
РЕШЕНИЕ. Если груз движется2 прямолинейно вдоль оси Ох, то согласно закону Ньютона
n |
|
ma = åFk , |
(3) |
k =1
2
где a = |
d 2 x |
ускорение груза, х = x(t) — искомый закон |
||
dt |
2 |
|||
|
|
движения груза, Fk (k = 1, 2, ..., n) — проекции сил на ось Ох,
действующих на груз.
r r
В нашем случае на груз действуют две силы: F = mgi -
1
rr
вес |
груза |
и F2 |
= (-cx)i |
|
— сила, действующая со |
стороны |
||||||||||||||||||||||||||
пружины, где с — коэффициент жесткости |
|
|
|
|
|
r |
— |
|||||||||||||||||||||||||
пружины, i |
||||||||||||||||||||||||||||||||
единичный вектор, направленный вдоль осиОх. Проекции |
||||||||||||||||||||||||||||||||
этих сил равны F1 = mg , |
F2 = -cx . Получаем уравнение |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
d 2 x |
= -cx + mg , |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
содержащее |
|
|
|
неизвестную |
|
|
функциюх |
и |
|
|
ее |
вторую |
||||||||||||||||||||
производную. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Проверкой можно убедиться, что уравнению |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 x |
|
+ k |
2 |
x |
= g , |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
k 2 = |
, |
удовлетворяет функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = c cos kt + c |
|
sin kt + |
, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
k 2 |
|
|
|
где c1 и c2 — произвольные постоянные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Действительно, подставим |
|
значение х |
в |
|
|
левую |
часть |
|||||||||||||||||||||||
уравнения (4): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
d 2 x |
+ k |
2 |
x = -ck |
2 |
cos kt -c k |
2 |
sin kt + c k |
2 |
cos kt +c k |
2 |
sin kt + g = g . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x = c cos kt + c |
|
sin kt + |
g |
|
|
|
удовлетворяет уравнению (4). |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
k 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Поскольку х зависит от двух произвольных постоянных, |
||||||||||||||||||||||||||||||
то для получения определенного закона |
|
движения |
нужно |
|||||||||||||||||||||||||||||
задать два дополнительных условия. Например, |
найдем закон |
3
движения груза, если в момент времени t = 0 его отклонили на величину х и придали ему скорость v0 . Тогда получим
|
x = c + |
|
g |
|
Þ c = x - |
g |
. |
|
|
||||||||
k 2 |
|
||||||||||||||||
0 |
1 |
|
|
|
1 0 |
|
k 2 |
||||||||||
Далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= -c k sin kt + c k cos kt , |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
dt |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
v0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
v |
= c k Þ c = |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
2 |
|
|
|
2 |
|
k |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, искомый закон движения |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x = (x |
- |
g |
) cos kt + |
v0 |
sin kt + |
g |
. |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
k 2 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
k 2 |
|||
В каждой из |
рассмотренныхзадач |
мы получили для |
искомой функции уравнение, которое содержит производную искомой функции.
1.2 Основные определения
Определение 1. Дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое связывает неизвестную функцию, ее производные и независимую переменную.
Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной неизвестной
функции, входящей в дифференциальное уравнение. |
|
|
|||
Определение 3. |
Функция у = у(х), определенная |
на |
|||
некотором |
интервале (а, b), |
называется |
решением |
дифференциального уравнения, если после подстановки этой функции и ее производных в уравнение, оно обращается в тождество на всем интервале.
В некоторых случаях решениеу = у(х) дифференциального уравнения удается найти в виде неявной функции, заданной равенством j (х, у) = 0. В тех случаях, когда равенство j (х, у) = 0 можно разрешить относительно y, мы получим решение уравнения виде у = у(х). Если же
4
выразить у явно из равенстваj (х, у) = 0 не удается, то решение оставляют в виде j (х, у) = 0.
Определение 4. Равенство j (х, у) = 0, которое неявно определяет решение у = у(х) дифференциального уравнения, называется интегралом дифференциального уравнения.
Определение 5. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.
1.3. Об интегрировании дифференциальных уравнений
При интегрировании дифференциальных уравнений мы
находим |
их |
решения, которые |
выражаются |
через |
|||||
элементарные функции и интегралы от них. Однако доказано, |
|
||||||||
что |
во |
многих |
|
случаях |
решения |
дифференциальны |
|||
уравнений, хотя и существуют, но не выражаются в виде |
|
||||||||
конечной комбинации элементарных функций и интегралов от |
|
||||||||
них. Например, решение уравнения y ' = x2 + y2 |
нельзя найти в |
|
|||||||
таком виде. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
нахождения |
частных |
решений |
в |
таких |
случаях |
|||
широко |
|
применяются |
различные |
|
численные , |
методы |
|||
эффективность которых существенно возросла с развитием |
|||||||||
компьютерных технологий. В настоящее время численные |
|||||||||
методы позволяют находить решения дифференциальных |
|||||||||
уравнений практически с любой требуемой точностью. |
|
||||||||
Отметим, |
что |
|
имеются |
|
|
справочники |
|||
дифференциальным |
уравнениям, |
в |
которых |
приведены |
решения большого числа встречающихся дифференциальных уравнений.
5
2. Дифференциальные уравнения первого порядка
2.1. |
Метод изоклин |
Дифференциальное |
уравнение у' = f(x,y) геометрически |
устанавливает связь между координатами точки и угловым коэффициентом касательной, проведенной к интегральной кривой в этой точке, причем сама интегральная кривая нам
неизвестна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение 1. |
Геометрическое |
место |
точек |
плоскости |
||||||
(x,y), |
в которых наклон касательных к решениям уравнения |
|||||||||
у' = f(x,y) один и тот же, называется изоклиной. |
|
|
||||||||
Каждой точке (x,y) ставится в |
соответствие |
некоторое |
||||||||
направление; мы получаем поле направлений. |
|
|
|
|||||||
Уравнение изоклины имеет видf(x,y) = k , где k |
= const. |
|||||||||
Чтобы приближенно построить решение уравнения у' = f(x,y), |
||||||||||
можно |
начертить |
достаточное |
число |
изоклин, а |
затем |
|||||
провести решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 1. |
Методом |
изоклин |
построить |
интегральные |
||||||
кривые уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y ' = x - y2 |
|
|
|
|
||
РЕШЕНИЕ. |
Изоклинами |
данного |
дифференциального |
|||||||
уравнения являются линии, уравнения которых |
|
|
||||||||
|
|
|
|
x - y2 = k . |
|
|
|
|
||
Для |
нескольких |
значенийk , |
например, для k = 0, ±1, ±2 , |
|||||||
проведем |
изоклины x - y2 |
= k . |
Это |
— параболы. Каждую |
||||||
изоклину |
x - y2 = k |
пересечем |
короткими |
отрезками |
под |
|||||
углом |
a , |
tga = k , |
к оси |
Ох, |
не |
доходящими |
до |
других |
изоклин. Проведем интегральные кривые, например, через точки (1, 1), (0, 0), (1, -1), (-1, -1), согласуясь, как указано выше, с направлениями отрезков на изоклинах. Полученный рисунок (Рис. 1) дает общие6 представление о решениях уравнения x - y2 = k .
6
Рис. 1 Пример 2. Методом изоклин построить интегральные
кривые уравнения
dy = x2 + y2 . dx
РЕШЕНИЕ. Изоклинами |
этого |
дифференциального |
уравнения являются линии |
|
|
x2 + y2 = k .
Построим изоклины и расставим стрелки, определяющие поле направлений (Рис. 2).
у' = 0, имеем х = у = 0 (начало координат);
у' = |
1 |
, |
x2 + y2 = |
1 |
(окружность радиусом |
1 |
с центром в |
|
|
2 |
|||||
2 |
|
2 |
|
|
начале координат);
у' = 1, x2 + y2 = 1 (окружность радиусом 1).
7
Рассмотрим |
дифференциальное |
уравнение |
первого |
порядка |
F (x, y, y ') = 0 |
|
(5) |
|
|
||
|
8 |
|
|
или в виде, разрешенном относительно у': |
|
|
|
|
|||||||
где F |
|
|
|
|
y ' = f (x, y) , |
|
|
(6) |
|
||
— заданная |
непрерывная |
функция |
|
трех |
своих |
||||||
аргументов, f — непрерывная заданная функция от x, y. |
|
||||||||||
Определение |
2. |
Функция |
y = y(x, c) , где |
c |
— |
||||||
произвольная |
|
постоянная, |
называется |
общим |
|
решением |
|||||
дифференциального уравнения первого порядка, если при |
|||||||||||
любом |
значении с |
функция y = y(x, c) |
является |
решением |
|||||||
дифференциального уравнения. |
|
|
|
|
|
||||||
Определение 3. |
Равенство j(x, y, c) = 0 , которое |
неявно |
|||||||||
определяет |
общее |
решение y = y(x, c) |
дифференциального |
||||||||
уравнения, |
|
называется |
|
|
общим |
|
|
интегр |
|||
дифференциального уравнения. |
|
|
|
|
|
||||||
Если |
|
равенство j(x, y, c) = 0 |
можно |
|
разрешить |
||||||
относительно у, то получим общее решение в виде y = y(x, c) . |
|||||||||||
Определение |
4. |
Если |
в |
общем |
решенииy = y(x, c) |
||||||
произвольной |
постоянной |
придать |
конкретное |
значение |
|||||||
c = c0 , |
то |
полученное |
решениеy = y(x, c0 ) |
называется |
|||||||
частным решением дифференциального уравнения. |
|
|
|
||||||||
Определение |
|
5. |
Нахождение |
решенияy = y(x) , |
удовлетворяющего условию y(x0 ) = y0 , где x0 , y0 - заданные
числа, называется задачей Коши.
Возникает вопрос, каким условиям должна удовлетворять функция f(x,y), чтобы уравнение y’ = f(x,y) имело единственное решение задачи Коши. Ответ на этот вопрос дает теорема существования и единственности решения.
Теорема. Если в некоторой областиD изменения переменных х и у функция f(x,y) и ее частная производная df
|
|
|
dy |
непрерывны, |
то для всякой точки(x0 , y0 ) |
области D |
|
существует |
единственное |
решениеy = y(x) |
уравнения |
y’ = f(x,y), удовлетворяющее условию y(x0 ) = y0 .
9