Учебное пособие 518
.pdf12. Решение дифференциальных уравнений
Рассмотрим применение правил и теорем операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем.
Пусть дано дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
a |
x( n ) (t) + ... + a x '(t) + a |
0 |
x(t) = f (t) . |
|
||||
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Требуется |
найти |
решение |
уравнения t ³ для0 |
при |
||||
начальных условиях: |
|
|
,..., x( n -1) (0) = x( n-1) . |
|
||||
x(0) = x ; x '(0) = x' |
|
|||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
Предполагаем, |
что |
|
искомое |
решениеx(t) , его |
||||
производные |
и |
правая |
частьf (t) |
дифференциального |
уравнения являются оригиналами.
Схема решения дифференциального уравнения.
1.Заменяем искомую функцию, ее производные, входящие
вданное дифференциальное уравнение и правую часть их изображениями. В результате получается так называемое операторное уравнение.
2.Решаем операторное уравнение относительно изображения искомой функции.
3.Переходим от изображения искомой функции к оригиналу.
Схема решения систем дифференциальных уравнений такая же.
Пример1. Найти решение дифференциального уравнения x "+ x '-12x = 3 , если x(0) = 1, x '(0) = 0 .
Решение. Пусть x(t) Û X ( p) , тогда
x '(t) Û pX ( p) - x(0) = pX ( p) -1;
x "(t) Û p2 X ( p) - px(0) - x '(0) = p2 X ( p) - p; 3 = 3 . p
Переходя в уравнении от оригиналов к изображениям, получим операторное уравнение
21
p2 X ( p) - p + pX ( p) -1 -12 X ( p) = 3 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда X ( p) = |
|
3 + p + p2 |
|
= |
|
|
|
|
3 + p + p2 |
|
|
|
|
= |
A( p) |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
p3 + p2 |
-12 p |
|
p( p - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B( p) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)( p + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Так как корни знаменателя B( p) |
|
различны, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x(t) = |
A(0) |
e0t + |
A(-4) |
e-4t |
+ |
|
A(3) |
|
e3t |
= - |
1 |
+ |
15 |
e-4t + |
5 |
e3t . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
B '(0) |
|
|
|
B '(-4) |
|
|
B '(3) |
|
|
4 |
|
28 |
|
|
7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Ответ: |
x(t) = - |
1 |
|
|
+ |
15 |
|
e-4t |
+ |
5 |
|
e3t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
28 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 2. Найти частное решение дифференциального |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения x¢¢ - 3x¢ + 2x = 2e3t , |
|
x (0) = x¢(0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x (t ) Û X ( p); x¢(t ) Û pX ( p) - x (0) = pX ( p ); |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x¢¢(t ) Û p2 X ( p) - px (0)- x¢(0) = p2 X (p ); |
e3t Û |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Запишем операторное уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p - |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
p2 X ( p )+ 3 pX ( p )+ 2X ( p )= |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p - |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Откуда |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
X ( p )= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||
|
( p - 3)(p2 - 3 p + 2) |
|
( p - 3)( p - 2)( p -1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
- |
|
2 |
|
+ |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p -1 p - 2 p - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Используя |
теорему |
линейности |
и |
|
формулы соответствия, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
x (t ) = et - 2e2t + e3t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
|
Пример 3. |
|
Найти |
|
|
|
|
решение |
|
дифференциальног |
|||||||||||||||||||||
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) = -1, x '(0) = 1. |
|||||||||||
x "+ 4x '+ 4x = e-2t (cos t + 2 sin t) , если |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. Пусть x(t) Û X ( p) , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x '(t) Û pX ( p) - x(0) = pX ( p) +1; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x "(t) Û p2 X ( p) - px(0) - x '(0) = p2 X ( p) + p -1; |
||||||||||||||||||||||||||||
cos t + 2 sin t Û |
|
|
p |
+ 2 |
1 |
|
= |
p + 2 |
, |
|
и |
по |
теореме |
||||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 +1 |
|
|
p2 +1 p2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
смещения |
|
e-2t |
(cos t + 2 sin t) Û |
|
|
p + 4 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p + 2)2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Переходя в уравнении от оригиналов к изображениям, |
|||||||||||||||||||||||||||||
получим операторное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
p + 4 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
p2 X ( p) + p -1 + 4 pX ( p) + 4 + 4 X ( p) = |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p + 2)2 +1 |
|||||
Отсюда X ( p) = - |
|
p3 + 7 p2 +16 p +11 |
. Разложим |
|
изображение |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(( p + 2)2 |
+1)( p + 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
X ( p) на элементарные дроби. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
- |
|
p3 |
+ 7 p2 +16 p +11 |
|
= |
|
Ap + B |
|
. + |
|
C |
+ |
D |
|
, |
||||||||||||||||
|
(( p + 2)2 +1)( p + 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
( p + 2)2 |
p + |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( p + 2)2 +1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
или - p3 - 7 p2 |
-16 p -11 = ( Ap + B)( p + 2)2 |
+ C(( p + 2) 2 |
+1) + |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+D( p + 2)(( p + 2)2 +1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Сравнивая |
коэффициенты |
|
при |
одинаковых степенях p , |
|||||||||||||||||||||||||||
находим A = -1, B = -4,C = 1, D = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Тогда |
X ( p) = - |
p + 4 |
|
|
+ |
1 |
|
|
|
. Перейдя к оригиналу, |
|||||||||||||||||||||
( p + 2)2 |
|
+1 |
( p + 2)2 |
||||||||||||||||||||||||||||
пользуясь |
свойством |
|
|
линейности и теоремой смещения, |
|||||||||||||||||||||||||||
получаем искомое решение |
x(t) = e-2t (t - cos t - 2 sin t). |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: |
x(t) = e-2t (t - cos t - 2 sin t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
Пример 4. Найти частное решение дифференциального
уравнения x¢¢ + 4x¢ + 4x = t3e-2t , |
|
|
x (0) = 1, x¢(0) = 2 . |
|
|
||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (t ) Û X ( p); x¢(t ) Û p X ( p ) - x (0) = p X (p ) -1; |
|
|
|||||||||||||||||||
x¢¢(t ) Û p2 X ( p) - p x (0) - x¢(0) = p2 X ( p ) - p - 2; |
|
|
|||||||||||||||||||
t3e-2t |
Û |
|
|
|
3! |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
( p + 2)4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p2 X ( p )- p - 2 + 4 pX ( p )- 4 + 4X ( p )= |
3! |
; |
|
||||||||||||||||||
( p + 2)4 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X ( p ) p2 |
+ 4 p + 4 |
) |
= |
|
|
|
|
3! |
+ p + 2 + 4; |
|
|
||||||||||
|
( p + 2)4 |
|
|
||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
X ( p )= |
|
3! |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
+ |
|
4 |
. |
|
|
|
|||||
( p + 2)6 |
|
+ |
2 |
|
( p + 2)2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Используя |
|
формулы |
|
|
|
|
соответствия |
и |
теоре |
||||||||||||
линейности, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (t )= |
1 |
t5e-2t + e-2t + 4te-2t . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. Найти решение системы дифференциальных |
|
||||||||||||||||||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìx"+ 5y '- 4x = 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îy"- 5x '- 4 y = 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
удовлетворяющее начальным условиям : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x(0) = 0; x '(0) = 1; y(0) = 0; y '(0) = 0. |
|
|
|||||||||||||||||||
Решение. Пусть x(t) Û X ( p) , |
y(t) Û Y ( p) , |
тогда |
|
|
x '(t) Û pX ( p); y '(t)Û pY ( p); x"(t)Ûp2 X ( p) -1; y"(t)Ûp2Y ( p).
24
Преобразованная система имеет вид
ì ( p2 - 4) X ( p) + 5 pY ( p) = 1, íî-5 pX ( p) + ( p2 - 4)Y ( p) = 0.
Определим X ( p),Y ( p) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
X ( p) = |
|
|
|
|
|
p2 - 4 |
|
|
|
|
; Y ( p) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 p |
|
. |
|
||||||||||||||||||||
( p2 |
+16)( p2 |
+1) |
|
( p2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+16)( p2 +1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Найдем по X ( p) и |
Y ( p) |
оригиналы x(t) |
и y(t) . |
Пусть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A( p) = p2 - 4; B( p) = p4 +17 p2 |
|
+16; p1,2 |
= m4i, |
p3,4 = mi, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B '( p) = 4 p3 + 34 p. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x(t) = |
A(4i) |
e4it + |
A(-4i) |
|
e-4it + |
|
A(i) |
eit + |
A(-i) |
e-it = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
B '(4i) |
|
|
|
|
|
B '(-4i) |
|
B '(i) |
|
B '(-i) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= 2 Re(- |
i |
e4it ) + 2 Re( |
i |
eit ) = 2 Re(- |
i |
(cos 4t + i sin 4t)) + |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
i |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
+ 2 Re( |
(cos t + i sin t)) = |
(sin 4t - sin t) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
5 p |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Y ( p) = |
|
|
|
|
; A( p) = 5 p; B( p) = p4 +17 p2 |
+16. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( p2 +16)( p2 + |
1) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y(t) = 2 Re(- |
1 |
e4it ) + 2 Re( |
1 |
eit ) = - |
1 |
|
Re(cos 4t + i sin 4t) + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
Re(cos t + i sin t) = |
1 |
(cos t - cos 4t) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: x(t) = |
1 |
(sin 4t - sin t); y(t) = |
1 |
(cos t - cos 4t). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
dx |
|
= 2 y - x, |
x (0 )= 1, |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример 6. Решить систему |
ï |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
dy |
|
= -x - 4 y, |
y (0 )= 1. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
Решение. Пусть x (t ) Û X ( p) , y (t ) Û Y ( p) , тогда x¢(t ) Û pX ( p) -1 , y¢(t ) Û pY ( p) -1.
Система операторных уравнений имеет вид
|
ï( |
|
|
p |
|
|
) |
|
( |
p |
) |
- |
2Y |
( |
p |
) |
= 1, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ì |
|
|
|
+1 X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
í |
|
|
X |
( |
p |
+ |
p + 4 |
) |
Y |
|
p |
|
= 1 и является СЛАУ. |
|||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
) |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решим ее по формуле Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
D = |
|
p +1 -2 |
4 |
|
= p2 + p + 4 p + 4 + 2 = p2 - 5 p + 6. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
p + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Dx |
= |
|
|
1 |
|
|
|
-2 |
4 |
|
|
= p + 4 + 2 = p + 6. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
p + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Dy |
= |
|
p +1 |
|
1 |
|
|
= p +1-1 = p. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X ( p )= |
|
|
p + 6 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
p + 6 |
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||
p2 - 5 p + 6 |
|
|
( p + 2)( p + 3) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Y ( p )= |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( p + 2)( p + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Раскладывая на простейшие дроби, имеем |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
X ( p )= |
4 |
- |
3 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
Y ( p )= |
3 |
- |
2 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p + 3) |
|
|||||||||||||
|
|
p + 2 p + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p + 2 |
Используя теорему линейности и таблицу соответствия, получаем
x (t ) = 4e-2t - 3e-3t , y (t ) = 3e-3t - 2e-2t .
26
Упражнения. Решить следующие дифференциальные уравнения при заданных начальных условиях:
1. x "+ 3x ' = et ; x(0) = 0; x '(0) = -1. |
|
Ответ: |
1 |
et |
+ |
5 |
e-3t - |
2 |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
12 |
|
|
|||||||||
2. x "- 2x ' = 2e2t ; x(0) = x '(0) = 0. |
|
Ответ: |
1 |
(1 - e2t + 2te2t ). |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
- |
3 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. 4x"+12x '+ 9x = 144e 2 ; x(0) = 1, x '(0) = 0, 5. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
- |
3 |
t |
(18t2 + 2t +1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Ответ: e 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4. x "- 2x ' = et (t2 + t - 3); |
x(0) = 2, x '(0) = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: et (et |
- t 2 - t +1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. x"+ 4x '+ 3x = sh t sin t; x(0) = 0, x '(0) = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
- |
79 |
e-3t + 0, 3e-t - |
3 |
et cos t + |
7 |
|
et sin t + 0, 2e-t cos t + 0,1e-t |
sin t. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
170 |
|
|
|
|
85 |
|
|
|
|
170 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. x"+ 2x '+ x = e-t (cos t + t); x(0) = 1, x'(0) = -1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: 2e-t |
+ |
1 |
e-t t3 - e-t cos t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. x"+ 6x '+ 8x = 2e-t (cos 3t +1); x(0) = 2, x'(0) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: - |
25 |
e-4t + |
69 |
e-2t |
+ |
2 |
e-t - |
1 |
e-t cos 3t + |
1 |
e-t sin 3t. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
12 |
20 |
|
|
|
3 |
|
|
30 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
8.x"+ 2x '+ 2x = 2e-t sin t; x(0) = x '(0) = 1. Ответ: e-t (3sin t + (1 - t) cos t).
9.x '"- 3x '+ 2x = 8te-t ; x(0) = x '(0) = 0; x"(0) =1.
Ответ: 2te-t + tet - et + e-2t .
10. x '"- x "+ 4x '- 4x = 5e-t sin t; x(0) = 0; x '(0) = 0; x"(0) =1.
Ответ: |
13 |
sin 2te - |
1 |
cos 2t + et ( |
5 |
- cos t - |
1 |
sin t). |
|
|
|
|
|||||
20 |
5 |
6 |
2 |
|
11.x '"+ 2x "+ x '+ 2e-2t = 0; x(0) = 2; x '(0) = x"(0) =1.
Ответ: 4 - 3e-t + e-2t .
27
Решение типового варианта контрольной работы
Задача 1. Является ли оригиналом функция f (t )= et2 ? Решение. Данная функция не является оригиналом, так как
неравенство et2 |
< Mest не может выполняться ни при какихs |
|||||
для всех t > 0, так как lim |
et2 |
|
= lim |
1 |
et (t -s )= ¥ , что для любого |
|
|
|
|||||
|
t ®¥ Mest |
t ®¥ M |
||||
s выполнено |
неравенство et2 |
> Mest , начиная с некоторого |
||||
значения t. |
|
|
|
|
|
|
Задача 2. Найти изображения оригинала: f (t ) = 2 + t3 + t cos 2t -3t
Решение. По таблице изображений найдем:
2 |
; t |
3 |
3! |
; t cos 2t Û |
p2 - 4 |
|
t |
= e |
t ln 3 |
1 |
. |
||||||||||
2 Û |
|
|
Û |
|
|
|
|
; |
3 |
|
Û |
|
|||||||||
p |
|
p4 |
( p2 + 4)2 |
|
|
p - ln 3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 3! |
|
|
p2 - 4 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F ( p )= p + p4 + ( p2 + 4)2 + |
|
p - ln 3 |
|
|
|
Задача 3. Найти оригиналы, соответствующие изображению:
|
4 |
|
|
|
3 p -1 |
|
|
|
e- p |
|
|||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
. |
|
||
|
|
( p +1)4 |
|
p2 + 4 p + 29 |
|
( p - 2)3 |
|
||||||||
Решение: Преобразуем F ( p) таким образом, чтобы можно |
|||||||||||||||
было воспользоваться таблицей изображений: |
|
||||||||||||||
|
4 |
|
|
= |
4 |
× |
3! |
|
|
Û e-t ×t3 ; |
|
||||
|
|
|
( p +1)4 |
|
( p +1)4 |
|
|
||||||||
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|||||||
Прежде чем преобразовывать второе слагаемое выделим |
|||||||||||||||
полный |
квадрат |
|
в |
|
знаменателе |
для, чтобытого |
|||||||||
воспользоваться |
свойством |
|
|
|
линейности |
преобразования |
|||||||||
Лапласа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
3 p -1 |
= |
3 p -1 |
= |
3( p + 2)- 7 |
Û 3e-2t cos 5t - |
7 |
e-2t sin 5t . |
|
|
( p + 2)2 + 25 |
|
||||
p2 + 4 p + 29 |
( p + 2)2 + 25 |
5 |
|
При построении оригинала, соответствующего третьему слагаемому, сначала найдем оригинал для функции
1 |
Û |
1 |
e2t t 2 = f (t ), |
( p - 2)3 |
|
||
2 |
|
а затем применим теорему запаздывания для оригинала:
|
e- p |
Û f (t -1) = |
1 |
e2(t -1 )(t -1 2)c t -( 1 . ) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
( p - 2)3 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 4. Не вычисляя интегралы, найти изображение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò0t t × et dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Воспользуемся |
|
|
теоремой |
|
|
|
об |
интегрировании |
|||||||||||||||||||||||||
оригинала: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
t ×e |
Û |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( p -1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
И, значит, |
ò0t t ×et dt Û |
|
|
1 |
|
|
: |
p = |
|
|
1 |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
( p -1) |
2 |
|
p ( p -1) |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Задача 5. Вычислить интеграл ò0t |
et -t sintdt |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
Интеграл ò0t |
et -t sintdt |
|
представляет собой свертку |
|||||||||||||||||||||||||||||
функций sint и et . Ее изображением, согласно теореме о |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
свертке, будет функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 æ |
|
1 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
1 |
|
|
ö |
||||||||
|
F ( p )= |
|
|
|
|
× |
|
|
|
= |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
÷ . |
||
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
+1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
+1 p -1 2 |
è p -1 p |
|
|
+1 p |
|
ø |
Мы привели дробь, представляющую изображения в виде алгебраической суммы дробей таким образом, чтобы для каждой части существовал оригинал в таблице. Тогда
29
убедимся, |
что |
|
|
|
оригиналом |
этого |
изображения |
служит |
||||||||||||||||||
следующая функция f |
(t )= |
1 |
(et |
- cos t - sin t ). И, значит, |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ò0t |
et -t |
sintdt = |
1 |
(et - cos t - sin t ). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 6. Найти решение задачи Коши |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x¢ - x = 1; x (0) = -1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. Пусть функция x (t ) |
имеет изображение X ( p ) . |
|
||||||||||||||||||||||||
Тогда по теореме о дифференцировании оригинала получим |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x¢(t ) Û pX ( p )- x (0) = pX ( p )+1 . |
|
|
||||||||||||||||||||||
Применим |
|
преобразование |
Лапласа |
|
|
к |
обеим |
частя |
||||||||||||||||||
уравнения. Выпишем получившееся операторное уравнение |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
pX ( p )+1 - X ( p )= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
Откуда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
X ( p )= - |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (t ) = -1 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача 7. Решить систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ì |
|
|
+ y = |
2e |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ïx¢ |
x(0) = y(0) = 1 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ï |
|
¢ |
+ x = |
2e |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
îy |
|
|
|
|
|
|
|
y (t ) Û Y ( p ). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. Пусть |
|
x (t ) Û X ( p) |
и |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Учтя, что |
et Û |
1 |
|
, получим операторную систему линейных |
|
|||||||||||||||||||||
p -1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p +1 |
|
|
|||||
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ï pX ( p )-1 + Y |
( p )= |
|
|
|
|
|
|
|
|
ï pX (p )+ Y ( p )= |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
p -1 |
|
p -1 |
|
|
||||||||||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Þ í |
|
|
|
|
|
|
|
p +1 |
|
|
|
|||||
ï pY ( p )-1 + X |
( p )= |
2 |
|
ï pY ( p )+ X ( p )= |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
p -1 |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
p -1 |
|
|
||||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30