Учебное пособие 429
.pdf
|
f (t)= r(t −τ)η(t −τ). |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пример. Восстановить оригинал |
f (t) по его изображению |
||||||||||||||||||||||
|
|
R(p)= |
|
|
|
e−2 p |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
(p2 |
+1)2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. 1. Восстанавливаем оригинал r(t) |
по его изобра- |
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
жению R(p)= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p2 +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Имеем |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
sin t ↔ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
p |
2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
По теореме умножения изображений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
sin t sin t ↔ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
p2 |
+1 |
|
|
p2 +1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вычисляем свертку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||||
sin t sin t = ∫sin(t −τ)sinτ dτ = |
|
t cost − |
sin t. |
||||||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
r(t)= |
1 |
t cost − |
1 |
sin t. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. По теореме запаздывания искомый оригинал определяется формулой
f (t)= r(t −2)η(t −2)= 12 [(t −2)cos(t −2)−sin(t −2)−sin(t −2)]η(t −2)
Ответ.
f (t)= 12 [(t − 2)cos(t − 2)−sin(t − 2)−sin(t − 2)]η(t − 2).
Условия задач. Восстановить оригинал f (t) по его изображению F(p).
19
1. |
F(p)= |
|
e− p |
|
. |
|
|
|||
|
p2 +1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
F(p)= |
e−7 p |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
p −3 |
|
|
|
||||
5. F(p)= |
|
e−3 p |
|
|
|
|||||
p(p2 +9) |
|
|
||||||||
7. |
F(p)= |
|
pe− p |
. |
|
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
p2 −3 |
|
|
|
||||
9. F(p)= |
|
|
pe−6 p |
|||||||
|
|
. |
||||||||
|
(p2 + 4)(p2 +1) |
2. |
F(p)= |
|
pe−4 p |
. |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p2 +1 |
||||
4. |
F(p)= |
|
|
2e−5 p |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
p2 − 4 |
||||||
|
|
e |
− |
p |
|
|
|
|
|
||
6. |
F(p)= |
|
2 |
|
|
. |
|
|
|||
p4 |
|
−1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
F(p)= |
|
e−3 p |
|
||
8. |
|
. |
|
|||
p2 (p2 −1) |
|
|||||
10. |
F(p)= |
pe−πp |
. |
|||
(p2 +16)2 |
||||||
|
|
|
|
12. Решение линейных дифференциальных уравнений
Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
an x(n) + an−1 xn−1 +... + a1 x′+ a0 x = f (t)
с начальными условиями
x(0) = x0 , x′(0) = x0′, ..., x(n−1) (0) = x0(n−1) .
План решения. Если f(t) – оригинал, то искомое решение дифференциального уравнения x(t) также является оригиналом. Обозначим его изображение X (p).
1. Находим изображение левой части уравнения. По теореме о дифференцировании оригинала
′ |
′′ |
2 |
|
′ |
x (t) ↔ pX ( p) − x(0), |
x (t) ↔ p |
|
X ( p) − px(0) − x (0) , …, |
|
x(n) (t) ↔ pn X ( p) − pn−1 x(0) −... − xn−1 (0). |
||||
По свойству линейности |
|
|
|
|
an x(n) + an−1 x(n−1) +... + a1 x′+ a0 x ↔ |
|
|
|
|
↔ (an pn + an−1 pn−1 +... + a1 p + a0 )X (p)− pn−1 x0 |
− pn−2 x0′ −... − x0(n−1). |
20
2. Находим изображение правой части уравнения f (t)↔ F(p).
3. Составляем операторное уравнение
(an pn + an−1 pn−1 +... + a1 p + a0 )X (p)=
= F(p)+ pn−1 x0 + pn−2 x0′ +... + x0(n−1).
4.Решаем операторное уравнение относительно X (p).
5.По найденному изображению X (p) восстанавливаем оригинал x(t).
6.Проверяем, удовлетворяет ли x(t) исходному диффе-
ренциальному уравнению и начальным условиям. Записываем ответ.
Пример. Решить задачу Коши
x |
′′ |
+ 4x = cos 2t , x(0)=1, |
′ |
|
x (0)= −1. |
||
Решение. |
|
Так как f (t)= cos 2tη(t) |
- оригинал, то искомое |
решение дифференциального уравнения x(t) также является оригиналом. Обозначим его изображение X (p).
1. Находим изображение левой части уравнения. По теореме о дифференцировании оригинала
x′(t) ↔ pX ( p) − x(0) = pX (p)−1,
x′′(t) ↔ p2 X ( p) − px(0) − x′(0) = p2 X (p)− p +1.
По свойству линейности
x′′+ 4x ↔ (p2 + 4)X (p)− p +1
2. Находим изображение правой части уравнения cos 2t ↔ p2 p+ 4 .
3.Составляем операторное уравнение
(p2 + 4)X (p)− p +1 = p2 p+ 4 .
4. Решаем операторное уравнение относительно X (p):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (p)= |
|
|
|
p |
|
|
+ |
|
p |
− |
|
|
1 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p2 |
+ 4)2 |
|
p |
2 + 4 |
|
|
p |
2 + |
4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
5. |
|
По |
найденному изображению |
X (p) |
восстанавливаем |
|||||||||||||||||||||||||||
оригинал x(t): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t)= |
1 |
t sin 2t + cos 2t − |
1 |
sin 2t . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
6. |
|
При подстановке |
в исходное дифференциальное |
|||||||||||||||||||||||||||||
уравнение |
|
оно |
|
обращается |
в |
тождество. |
Вычислив x(0) и |
|||||||||||||||||||||||||||
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяет начальным услови- |
||||||||||||||
x |
(0), убеждаемся, что x(t) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ям. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. x(t)= |
|
t sin 2t + cos 2t − |
sin 2t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Условия задач. Решить задачи Коши для дифференциаль- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ных уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
x′+ 2x = 2 −3t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0)= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. |
x′− x = t −1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0)= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
x′+3x = 3t − 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0)= 0 . |
|
|
′ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
′′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
x −3x + 2x = |
|
2e |
, |
|
|
|
|
|
|
x(0)=1, x (0)= 3 . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
5. |
x |
′′ |
+ x |
′ |
= t cos 2t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0)= 0 , |
|
|
x |
′ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0)= 0 . |
|
||||||||||||||||||||
6. |
x |
′′ |
+9x =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0)= 0 , |
|
|
′ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (0)= 0 . |
|
||||||||||||||||||
7. |
x |
′′ |
+ 4x |
= sin 3t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0)= 0 , |
|
|
′ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (0)= 0 . |
|
||||||||||||||||||||||
8. |
x |
′′′ |
− x |
′′ |
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0)= 2 , |
|
|
′ |
|
|
|
′′ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
(0)= 0 , |
x (0)=1. |
||||||||||||||||
9. |
x |
′′′ |
+ 6x |
′′ |
+11x |
′ |
+ 6x = 0 |
|
|
|
x(0)=1, |
|
|
′ |
|
|
|
′′ |
||||||||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
x (0)= −3 , |
x (0)= 9 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
′′′ |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′′ |
||
10. x |
|
|
−3x |
|
+3x − x = e |
, |
|
|
|
x(0)=1, |
|
x (0)= −1, |
x (0)=1. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
13 Решение систем линейных дифференциальных уравнений
Постановка задачи. Решить задачу Коши для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами:
х = Ах(t)+f(t)
с начальными условиями
х(0)=х0,
где х={x1,…,xn} – вектор неизвестных, х0={x01,…,xn0} – вектор начальных значений,
a11 |
a12 |
… a1n |
||
А = a21 |
a22 |
… a2n |
||
|
|
|
|
|
|
|
an2 |
… |
|
an1 |
ann |
|||
- матрица коэффициентов и f(t) = {f1 (t),..., fn (t)} - заданная |
||||
вектор-функция. |
f1 |
(t),..., fn (t) являются оригиналами, |
||
План решения. Если |
||||
то функции x1 (t),..., xn (t) |
также являются оригиналами. Обо- |
значим их изображения X1 (p),..., X n (p).
1.По теореме о дифференцировании оригинала и по свойству линейности находим изображения левых и правых частей всех уравнений системы.
2.Составляем систему операторных уравнений
pX – x0=AX(p) + F(p).
3. Решаем систему операторных уравнений. X(p)=(pE – A)-1(F(p)+x0),
где Е – единичная матрица n-го порядка.
4.По найденным изображениям X(p) = {X1(p), X2(p),…, Xn(p)} восстанавливаем оригиналы x1 (t), x2 (t)..., xn (t)
5.Проверяем, удовлетворяют ли x1 (t), x2 (t)..., xn (t)исходной системе дифференциальных уравнений и начальным условиям.
Записываем ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример. Решить задачу Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x′ = x + |
2 y −9t, |
|
|
|
x(0)=1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = 2x + y + 4et , y(0)= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Решение. Предполагая, что функции x(t)и |
y(t)являются |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оригиналами, обозначим их изображения X ( p) и Y ( p) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. По теореме дифференцирования оригинала |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
↔ pY ( p) − y(0) = pY ( p) − 2 |
||||||||||||||
x (t) ↔ pX ( p) − x(0) = pX (p)−1, |
|
|
y (t) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По свойству линейности находим изображения правых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частей уравнений системы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x + 2 y −9t ↔ X (p)+ 2Y |
(p)− |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2x + y + 4et ↔ 2X |
(p)+Y (p)+ |
|
|
|
4 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p −1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Составляем систему операторных уравнений: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
pX (p)−1 |
= X (p)+ 2Y (p) |
− |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
pY (p)− 2 = 2X (p) |
+Y (p)+ |
. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Решаем систему операторных уравнений: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
X (p)= |
|
4 |
|
|
− |
3 |
|
− |
3 |
|
− |
|
|
8 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
4 |
|
|
, |
|||
p −1 |
p |
|
|
|
|
p(p −1) |
|
(p −1)(p +1) |
(p |
−3)(p −1) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Y (p)= − |
4 |
+ |
6 |
|
+ |
|
|
4 |
|
+ |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
p |
p2 |
|
|
p |
+1 |
p |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. Восстанавливаем оригиналы по изображениям |
X ( p) и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Y ( p) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t)= 2e3t − 4e−t − 2et +5 −3t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
y(t)= −4 + 6t + 4e−t + 2e3t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
5. При подстановке x(t)и y(t) в исходную систему оба уравнения обращаются в тождества. Вычислив x(0) и y(0), убеждаемся, что x(t) и y(t) удовлетворяют начальным условиям.
Ответ.
x(t)= 2e3t − 4e−t − 2et +5 −3t , y(t)= −4 + 6t + 4e−t + 2e3t .
Условия задач. Решить задачи Коши для систем дифференциальных уравнений.
1. |
x′ = y −1, |
x(0)=1, |
|
|
2. |
x′ = −y + 2, x(0)= −1, |
||
|
′ = −x − 2y, y(0)= −1. |
|
|
|
y(0)= 0. |
|||
|
y |
|
|
|
y′ = x +1, |
|||
3. |
3x′+ 2x + y′ |
=1, x(0)= 0, |
4. |
x′− 2 y = 0, x(0)= 2, |
||||
|
|
= 0, y(0)= 0. |
|
|
||||
|
x′+ 4 y′+3y |
|
|
y′− 2x = 0, y(0)= 2. |
||||
5. |
x′ |
= 3x + 4 y, x(0)=1, |
|
6. |
x′ = 2x +3y +1, x(0)= −1, |
|||
|
|
|
|
|
y′ = 4x − 2 y, |
y(0)= 0. |
||
|
y′ = 4x −3y, y(0)=1. |
|
|
|
||||
7. |
x′ = −x +3y +1, x(0)=1, |
|
x′+ y = 0, |
x(0)=1, |
||||
|
y′ = x + y, |
y(0)= 2. |
8. |
|
||||
|
|
|
y′+ x = 0, y(0)= −1. |
|||||
9. |
x′ = −y, |
x(0)=1, |
10. |
|
x′ |
+ y′− y = et , |
x(0)= 0, |
|
|
′ = 2x + 2 y, |
y(0)=1. |
|
|
|
|
||
|
y |
|
2x′+ y′+ 2 y = cos t, y(0)= 0. |
|||||
|
|
|
|
|
25 |
|
|
14. Решение интегральных уравнений
Интегральными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестная функция x(t) стоит под знаком интеграла. В некоторых случаях такие уравнения тоже могут быть решены средствами операционного исчисления.
Уравнения вида
t |
|
|
f (t) = ∫ |
k(t, τ)x(τ)dτ |
(7) |
0 |
|
|
и |
|
|
|
t |
|
x(t) = f (t) |
+ ∫ k(t, τ)x(τ)dτ |
(8) |
|
0 |
|
называются уравнениями Вольтерра соответственно первого и второго рода. Здесь f (t) , k(t, τ) - заданные функции, x(t) -
неизвестная функция. Функция k(t, τ) называется ядром инте-
грального оператора.
Рассмотрим случаи, когда функция k(t, τ) = k(t − τ) зави-
сит только от разности t-τ, то есть рассмотрим уравнения Вольтерра вида
t |
|
|
f (t) = ∫ |
k(t − τ)x(τ)dτ |
(9) |
0 |
|
|
и |
|
|
|
t |
|
x(t) = f (t) + ∫ k(t − τ)x(τ)dτ, |
(10) |
|
|
0 |
|
причем будем предполагать, |
что функции f (t) и |
k(t) явля- |
ются оригиналами. Применим преобразование Лапласа к правой и левой частям уравнений (9) и (10), при этом воспользуемся теоремой об умножении изображений. В результате получим
F( p) = K( p) X ( p) |
для уравнения (9) |
и |
26 |
X ( p) = F( p) + K( p) X ( p) для уравнения (10).
Отсюда следует, что
X ( p) = |
F( p) |
или X ( p) = |
|
|
F( p) |
. |
|
K( p) |
1 |
− K( p) |
|||||
|
|
|
Неизвестная функция x(t) находится с помощью обратного преобразования Лапласа.
Пример 1. Решить интегральные уравнения:
t |
t |
а) ∫et −τ x(τ)dτ = t ; б) |
x(t) − ∫(t −τ)x(τ)dτ =sin t . |
0 |
0 |
Решение: а) Интеграл, стоящий в левой части уравнения, представляет собой свертку функций е t и x(t). Пусть x(t) ↔ X(p). Тогда по теореме о свертке получим изображение интеграла
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
∫et −τ x(τ)dτ |
= et * x(t) ↔ |
|
|
|
X ( p) ; |
||||||||||||
|
|
|
p −1 |
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим теперь операторное уравнение: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
X ( p) = |
|
1 |
|
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
p −1 |
p 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
откуда |
X ( p) = |
p −1 |
= |
1 |
− |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
p2 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, x(t) = 1 – t.
б) Пусть x(t) ↔ Х(р). По таблице изображений находим
t ↔ |
1 |
и sin t ↔ |
1 |
|
p2 |
p2 +1 |
|||
|
|
По теореме о свертке получим изображение интеграла:
t |
1 |
|
|
∫(t −τ)x(τ)dτ = t * x(t) ↔ |
X ( p) . |
||
2 |
|||
0 |
p |
||
|
|
Составляем операторное уравнение
X ( p) − |
1 |
X ( p) = |
1 |
. |
p 2 |
|
|||
|
|
p 2 +1 |
Решая его относительно функции Х(р), находим
|
|
|
p 2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||
X ( p) = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
. |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
( p |
−1)( p |
+1) |
|
2 |
|
−1 |
|
p |
+1 |
|
|||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
Находя оригинал для функции X (р), получаем решение исходного интегрального уравнения
x(t) = 12 (sh t + sin t).
Пример 2. Найти решение интегрального уравнения
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
= sin t |
+ ∫ |
(t − τ)x(τ)dτ. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Это уравнение Вольтерра второго рода. Так как |
||||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ (t − τ)x(τ)dτ = t * x(t) , то переходя к изображениям, |
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
X ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
X ( p) = |
|
|
+ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
p2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда находим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X ( p) = |
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
. |
||
( p |
2 |
− |
1)( p |
2 |
+1) |
|
2 |
|
2 |
−1 |
p |
2 |
+1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||||||||||||
Следовательно, x(t) = |
1 (sh t +sin t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия задач: Решишь интегральные уравнения: |
|
|||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. ∫et −τ x(τ)dτ = sin t. 2. |
∫cosτ x(t −τ)dτ =sin t. |
|||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
|
t |
|
t |
|
3. |
∫cos(t −τ)x(τ)dτ = t 2 . 4. ∫e2(t −u) x(u)du = t 2 et . |
|||
|
0 |
|
0 |
|
|
t |
|
|
|
5. |
∫(t −τ)x(τ)dτ − x(t) = −cos t. |
|||
|
0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
6. |
x(t) = ∫et −τ x(τ)dτ + cos t . |
|||
|
0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
7. |
∫(t −τ)2 x(τ)dτ − 2x(t) + 2et = 0. |
|||
|
0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
8. |
x(t) − 2∫[(t − u) − sin(t − u)]x(u)du = t . |
|||
|
0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
9. |
∫(1 − 2(t −τ))x(τ)dτ − x(t) = 2(1 + t − et ) . |
|||
|
0 |
1 t |
||
|
|
|||
10. x(t) =1 + |
|
∫(t − u)3 x(u)du . |
||
6 |
||||
|
|
0 |
15. Нахождение изображений функций, заданных графиком
При решении прикладных задач оригинал часто задан графиком. Это может быть, например, входной сигнал, действующий на систему автоматического регулирования. В этом случае рекомендуется сначала записать аналитическое выражение оригинала с помощью единичной ступенчатой функции, привести полученное выражение к виду, удобному для применения табл.1 и свойств преобразования Лапласа.
Пример 1. Найти изображения функций, заданных графиками на рис. 1.
29
а) Представим функцию в виде
f (t)= (1−t) 1(t −1)= (t −1) 1(t −1).
По формуле 3 из табл.1 и теореме запаздывания
F(p)= − p12 e−p .
б) Запишем функцию в виде
f (t)= (1−t)[1(t)−1(t −1)]= (1−t) 1(t)+(t −1) 1(t −1).
По формулам 1,3 из табл. 1
F(p)= 1p − p12 + p12 e−p .
в) Запишем изображенную функцию в виде
f (t)= −t 1(t −1)= (−t +1−1) 1(t −1)= −(t −1) 1(t −1)−1(t −1).
По формулам 1,3 из табл.1
F(p)= − p12 e− p − 1p e− p .
г) Представим функцию в виде
f (t)= (t −1)[1(t −1)−1(t − 2)]+ (3 −t)[1(t − 2)−1(t −3)]= = (t −1) 1(t −1)− 2(t − 2) 1(t − 2)+ (t −3) 1(t −3).
По формулам 3 из табл. 1
F(p) = |
e− p |
− |
2e−2 p |
+ |
e−3 p |
. |
p2 |
p2 |
|
||||
|
|
|
p2 |
|||
|
|
|
30 |
|
|
|
Рис. 1
31
д) Запишем функцию в форме
f (t)= t[1(t)−1(t −1)]+[1(t −1)−1(t − 2)]+(3 −t)[1(t − 2)−1(t −3)]=
=t 1(t)−(t −1) 1(t −1)−1(t −1)+ 1(t −1)−1(t − 2)+ + (2 −t) 1(t − 2)+ 1(t − 2)−(3 −t) 1(t −3)=
=t 1(t)−(t −1) 1(t −1)−(t − 2) 1(t − 2)+ (t −3) 1(t −3).
По формулам 3 из табл. 1
F(p)= p12 − p12 e−p − p12 e−2 p + p12 e−3 p .
е) Представим изображенную функцию в виде
f (t) = (1 −t)[1(t)−1(t −1)]−1 [1(t −1)−1(t − 2)]+ (t −3) 1(t − 2) = = (1 −t) 1(t)+ (t −1) 1(t −1)−1(t −1)+1(t − 2)+ (t − 2) 1(t − 2)−
−1(t − 2) = (1 −t) 1(t)+ (t −1) 1(t −1)−1(t −1)+ (t − 2) 1(t − 2).
По формулам 1,3 из табл. 1
F(p)= 1p − p12 + p12 e−p − 1p e−p + p12 e−2 p .
ж) Запишем функцию в форме
f (t)= sin t[1(t)−1(t − π)]= sin t 1(t)+ sin(t − π) 1(t − π).
По формуле 8 |
из табл. 1 и по теореме запаздывания |
|||||||
|
F(p)= |
1 |
|
+ |
e−πp |
|
. |
|
|
p2 +1 |
p2 +1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
з) Представим функцию в виде |
|
|
|
|
|
|||
f (t)= e |
−t [1(t)−1(t −1)]= e−t 1(t)− e−(t−1) |
1(t −1). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
По формуле 6 из табл. 1
F(p)= p1+1 − 1e p1+1 e−p = p1+1 (1 −e−p−1 ).
и) Представим функцию в виде
f (t) =1 [1(t) −1(t −1)] −1 [1(t −1) −1(t − 2)] = 1(t) − 2 1(t −1) +1(t − 2).
Используя формулы 2 из табл.1, получим
F( p) = 1p − 2p e− p + 1p e−2 p.
32
|
|
Ответы для заданий |
|
|
Раздел 1 |
1. |
F(p) = (1 – e-p)/p. |
2. F(p) = (1 - 2e-P + e-2P)/p. |
3. |
F(p) = (e-P + e-3p)/p. |
4. F(p) = (1 - e-p – pe-p/p2. |
5. |
F(p) = (l-e-P-2pe-P+p)/p2 . |
6. F(p) = (1+ e-2p+pe-2p-p)/p2. |
7. |
F(p) = (l-e-p)/(p+pe-p). |
8. F(p) = (e-p-e-2P + 2pe-2p)/p2. |
9. |
F(p) = (1 - 2e-p + e-2p)/p2. |
10. F(p) = e-p/(p+ 1). |
Раздел 2
l. F(p) = l/(p2+l). 2. F(p) = p/(p2-1). 3. F(p) = l/(p2-l).
4. F(p) = (cos φ+ p sin φ))/(p2 + l). 5. F(p) = (p cos φ-sin φ)/(p2 + 1).
6.F(p) = (8p2 + 6p + 5)/(p3 + 2p2 + p + 2).
7.F(p) = (p + l)/(p2 + 1). 8. F(p) = 2/(p4-l). 9. F(p) = 2p/(p4-l).
10.F(p)=(2p2 + l)/(2p3 + 2p).
Раздел 3
1. F(p) = 2/(p2 + 4). 2. F(p) = p/(p2 - 4). 3. F(p) = 2/(p2 - 4).
4. F(p) = 2/(4p2 + 1). 5. F(p) = 4p/(4p2 + 1). 6. F(p) = 2/(p3 + 4p). 7. F(p) = (p2 + 2)/(p3 + 4p).8. F(p)=(3p2+15)/(p4+26p2+25).
9. F(p)=(ωcosφ+psinφ)/(p2+ω2).10.F(p)=(pcosφ+ωsinφ)/(p2+ω2).
Раздел 4
1. F(p) = 3/(p2-4p+13). 2. F(p) = (p + 4)/(p2 + 2p+10).
3.F(p) = =(p2-2p+3)/[(p-l)(p2-2p+5)]. 4.F(p)=2/[(p-3)(p2-6p+13)]. 5.F(p) = =(p — a)/(p2 — 2ap + a2 + ω2). 6. F(p) = ω /(p2- 2ap + a2 + ω2).
7.F(p) = (ωcosφ + (p — a)sinφ)/(p2 - 2pa + a2 + ω2).
8.F(p) = [(p — a) cosφωsinφ]/(p2- 2pa + a2 + ω2). 9.F(p)=p /(p + 4 ω ).
10.F(p) = 2 ω2p/(p4 + 4 ω4).
Раздел 5
1. F(p) = e-p/p3. 2. F(p) = pe-2p/p2 + 1. 3. F(p) = (1 - 2e-p + e-2p)/p.
4. F(p) = (1 – e-2p/p2. 5. F(p) = (l-2e-p + e-2p)/p2. 6. F(p) =e-p/(p + l). 7. F(p) =e-p/(p2 +p). 8. F(p) = (l-e-p)/(p + pe-p).
9. F(p)=(1+e-πp)//[(p2+1)(1-e-πp)]. 10. F(p)=(p+e-πp/2-pe-πp)/[(p2+1)(1-e-πp)].
Раздел 6 1. F(p)=2ωр/(р2+ω2)2. 2. F(p =(p2-ω2)/(p2+ω2)2.
3. F(p =2ωp/(p2 -ω2)2. 4. F(p= (p2 + ω2)/(p2 - ω2)2. 5. F(p) = 2/(p - a)3. 6. F(p) =(6ωp2 - 2ω3)/(p2 + ω2)3. 7. F(p) = (2p3 - 6ω2p)/(p2 + ω2)3. 8.F(p) =(6ωp2 + 2ω3)/(p2 - ω2)3. 9. F(p) = (2p3 + 6ω2p)/(p2 - ω2)3. 10. F(p) = n!/(p - a)n+1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раздел 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. F(p) = ln |
|
p |
− a |
. 2. F(p)= ln |
p2 + 4 |
. 3.F(p)= arctg |
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
p2 |
|
|
|
p + a |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. F(p)= |
|
1 |
ln |
|
|
p |
2 |
|
|
. 5. F(p)= |
|
1 |
ln |
|
p |
−1 |
. 6. F(p)= |
|
1 |
|
ln |
|
p |
2 |
|
|
. |
|||||||||||||
2 |
p |
2 |
+1 |
|
2 |
|
p |
+1 |
2 |
|
p |
2 |
−1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
7. F(p)= |
|
1 |
ln |
|
|
p2 |
|
+9 |
. 8. F(p)= |
1 |
ln |
|
p2 |
+100 |
. 9. |
ln |
|
|
p − a |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
p |
2 |
+ 25 |
4 |
|
|
p2 |
+16 |
|
|
p −b |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10. ln |
|
(p − a)2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(p − a)2 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раздел 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. f(t) = e2t |
+ е-t /2. 2. f(t) = t + 2 - 2et + tet |
. 3. f(t) = -1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
+4e-2t cos3t |
|
- e-2t sin3t /3. 4. f(t) = et/9 - e2t /9 + 2te-2t /3. 5. f(t) = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= -5еt /6 + 8е-2t /15 + 13е3t/10. 6. f(t) =2et-4t -3.7. f(t)=t2et/2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
8. f(t)= (ch t - cos t) /2. 9. f(t) = (3t2 + 2t |
|
- 2)et /54+(2t+ l)e-2t /27. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. f(t) = -1/6 + et |
- 3e2t /2 + 2e3t /3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раздел 9
1. f(t)=t2et/2. 2. f(t)=-1/6+et-3e2t/2+2e3t/3. 3. f(t)=-et/3+e2t/4+e-2t/12.
4. f(t)=1-2et+e3t. 5. f(t)=(3-4cost+cos2t)/12. 6. f(t)=-1/6-3e-3t/2+2e-4t/3+e-2t. 7. f(t)=2et-4t-3. 8. f(t)=-1/6+et/2-e2t/2+e2t/6. 9. f(t)=(e3t-e-t)/4. 10. f(t)=1-e-t-te-t.
Раздел 10
1. f(t) = (sin2t-2t cos2t)/4. 2. f(t) = (sin3t-3t cos3t )/6. 3. f(t)= (t cht -3t sht + 2t )/2. 4. f(t) = (3sin3t - 2sin2f)/5. 5. f(t)=(ch t - cos t)/2. 6. f(t) = (sin t+ t cos 3t)/2.
7. f(t)=(1 - cost ) η (t - 1). 8. f(t) = (t -l- sin(t - l))η(t - 1).
9.f(t) = (1 - cos(t -l)-(t -l) sin(t - l)/2)η(t - 1).
10.f(t) = (l- cost)η (l - t ) + (cos(t - 1) - cost )η (t - 1).
34
33
Раздел 11
1. f(t) = sin(t - 1)η(t - 1). 2. f(t) = cos(t - 4) η (t - 4). 3. f(t) = e3(t -7) η (t - 7). 4. f(t)=sh2(t - 5) η(t - 5).
5.f(t) = (1 - cos(3t - 9))η(t - 3)/9.
6.f(t) = (sh(t -1/2)-sin(t - l/2))η(t - l/2)/2.
7.f(t) = ch( 3 (t - l)) η(t - 1).
8.f(t)=(sh(t - 3)-t -3)η(t -3). 9. f(t)= (cos(t-6)-cos(2t -12))η(t - 6).
10.f(t) = (t -π) sin(4t - 4 π) η(t - π)/8.
Раздел 12
1. x(t)=1,75-1,5t-1,75e-2t.2. x(t)=-t. 3. x(t)=e-3t+t-1. 4. x(t)=e3t. 5. x(t)=-(5/9)sint+(4/9)sin2t-(t/3)cos2t. 6. x(t)=(1/9)(1-cos3t). 7. x(t)=(3/10)sin2t-(1/5)sin3t. 8. x(t)=1-t+et. 9. x(t)=e-3t.
10. x(t)=et(t3/6+1-2t+2t2).
Раздел 13
1.x(t)=3e-t+te-t-2, y(t)=1-2e-t-te-t.
2.x(t)=2sint-1, y(t)=2-2cost.
3.x(t)=(1/2)-(1/5)e-t-(3/10)e-6t/11, y(t)=(1/5)(e-t-e-6t/11).
4.x(t)=(5/2)e2t-(1/2)e-2t, y(t)= (5/2)e2t-(1/2)e-2t.
5.x(t)=(6/5)e5t-(1/5)e-5t, y(t)= (3/5)e5t-(2/5)e-5t.
6.x(t)=-(1/8)-(9/16)e4t-(5/16)e-4t, y(t)= -(1/4)-(3/8)e4t+(5/8)e-4t.
7.x(t)=(15/8)e2t-(9/8)e-2t+(1/4), y(t)=(15/8)e2t+(3/8)e-2t-(1/4).
8.x(t)=et, y(t)=-et.
9.x(t)=et(cost+4sint), y(t)=et(cost+3sint).
10.x(t)=et-(11/34)e4t-(3/17)cost+(5/17)sint-1/2,
y(t)=-(2/3)et+(22/51)e4t+(4/17)cost-(1/17)sint.
N f(t)
1 2
1I (t)
2C
3t
4t n
5δ(t)
6eat
7t neat
8sin at
9cos at
10t sin at
11t cosat
Таблица преобразований Лапласа
Таблица 1
|
|
|
F(p) |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
F(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
eat sin bt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p −a) |
2 |
+b |
2 |
|
|
|
||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
eat |
|
cosbt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p − a |
|
|
|
|
|||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p − a)2 |
+ b2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
14 |
|
1 e−t / a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + ap |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n! |
15 |
1 |
(e |
at |
−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p(p − a) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
p |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
eat −ebt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a −b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p − a)(p − b) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
17 |
|
1 |
(1−cos at) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(p2 + a2 ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
p −a |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n! |
|
18 |
|
1 |
|
(eat −1 − at) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
(p − a) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
( p −a)n+1 |
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
a |
19 |
|
shat |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
− a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
p2 +a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
p |
20 |
chat |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
− a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
p2 +a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 pa |
|
21 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
at |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
( p2 +a2 )2 |
|
t |
+ |
|
2 |
|
at |
|
e |
|
|
|
|
|
|
(p −a) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
p2 −a2 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
2 |
|
at |
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(1+ 2at + |
|
a |
t |
|
)e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p − a)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
( p2 +a2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
36 |
Продолжение табл. 1
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
(1+ at)eat |
|
|
|
|
p |
|
|
|
32 |
aeat |
−bebt |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( p − a)( p −b) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(p − a)2 |
|
|
|
|
|
|
|
a −b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
24 |
|
cos |
2 |
at |
|
|
p |
2 |
|
+2a |
2 |
|
|
33 |
asin bt −bsin at |
|
|
|
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 −b2 |
|
( p2 + a2 )( p2 +b2 ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p( p2 +4a2 ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
25 |
sin 2 at |
|
|
|
|
|
2a2 |
|
|
|
34 |
cosbt −cosat |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 −b2 |
|
( p |
|
+ a )( p |
|
+b |
|
) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p( p2 +4a2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
26 |
|
|
|
a |
a |
|
a2 p |
|
|
|
35 |
asin at −bsin bt |
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
sin |
|
2 t sh |
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 −b2 |
|
( p2 + a2 )( p2 +b2 ) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
p4 +a4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
27 |
|
|
|
a |
a |
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
a2 cosat −b2 cosbt |
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
cos |
|
2 t ch |
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 −b2 |
|
( p2 + a2 )( p2 + b2 ) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
p4 +a4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
28 |
|
1 (shat −sin at) |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
bshat −ashbt |
|
( p |
2 −a |
2 )( p2 |
−b2 ) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 −b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p4 −a4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
29 |
|
1 (chat −cos at) |
|
a |
|
|
|
p |
|
|
|
38 |
chat −chbt |
|
( p |
2 −a |
2 )( p2 |
−b2 ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 −b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
p4 −a4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
30 |
1 |
(shat +sin at) |
|
ap |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
ashat −bshbt |
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
−b |
2 |
|
|
( p2 −a2 )( p2 −b2 ) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p4 −a4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
31 |
|
1 (chat +cos at) |
|
|
p |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
a |
chat −b |
|
chbt |
|
( p2 − a2 )( p2 −b2 ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
−b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
p4 −a4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 1
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
41 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
t − |
|
|
sin at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 ( p 2 |
+ a 2 ) |
|||||||||||||||||||
42 |
1 |
shat −t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 ( p 2 |
− a 2 ) |
||||||||||||||||||
43 |
1 −cos at − |
at |
sin at |
|
|
a 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p( p 2 + a 2 )2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
44 |
1 −chat + |
at |
shat |
|
|
a4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
p( p2 − a2 )2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
45 |
|
|
|
1 + |
b |
2 |
cos at |
|
− a |
2 |
cosbt |
|
|
|
|
a |
2 |
b |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
a2 −b2 |
|
|
|
|
|
|
p( p 2 + a 2 )( p 2 + b2 ) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
46 |
|
|
|
1 + |
b |
2 |
chat − a |
2 |
chbt |
|
|
|
|
a |
2 |
b |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
a2 −b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p( p 2 − a 2 )( p 2 − b2 ) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
47 |
|
(c −b)eat + (a −c)ebt + (b − a)ect |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p − a)( p − b)( p − c) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a −b)(a −c)(c −b) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
48 |
|
a(b −c)eat +b(c − a)ebt + c(a −b)ect |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a −b)(b −c)(a −c) |
|
( p − a)( p − b)( p − c) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
49 |
|
a2 (b −c)eat +b2 (c − a)ebt + c2 (a −b)ect |
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a −b)(b −c)(a −c) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p − a)( p − b)( p − c) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
1 |
|
|
|
(sin at − at cos at) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2a3 |
|
|
( p 2 + a 2 )2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
51 |
1 |
(sin at + at cos at) |
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( p 2 + a 2 )2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37